¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Statistische ... - komet 337
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Übungsaufgaben <strong>zur</strong> <strong>Vorlesung</strong><br />
<strong>Statistische</strong> Thermodynamik“<br />
<strong>”</strong><br />
Prof. Dr. Peter van Dongen<br />
KOMET <strong>337</strong>, Institut für Physik, Johannes Gutenberg-Universität<br />
Aufgabenblatt 04, Abgabe: 22. 05. 2006<br />
Aufgabe 9. Thermodynamik des schwarzen Strahlers (3 Punkte)<br />
Wir betrachten elektromagnetische Strahlung in einem abgeschlossenen Hohlraum (einem sogenannten<br />
<strong>”</strong><br />
schwarzen Strahler“) und nehmen an, dass die Strahlung mit den Wänden des<br />
Hohlraums im Gleichgewicht ist; die Temperatur der Wände sei T. Man findet experimentell,<br />
dass die innere Energiedichte ausschließlich von der Temperatur abhängt, U/V = e(T), und dass<br />
die Funktion e(T) auch den Strahlungsdruck auf die Wände vollständig bestimmt: P = 1 3 e(T).<br />
Bestimmen Sie die Temperaturabhängigkeit von U, P und der Entropie S, ausgehend von diesen<br />
experimentellen Befunden und rein aufgrund thermodynamischer Überlegungen.<br />
Aufgabe 10. Innere Energie (3 Punkte)<br />
Eine Spiralfeder erfülle das Hook’sche Gesetz, d.h. die Ausdehnung x sei proportional <strong>zur</strong> Kraft<br />
K = −κx. Der Koeffizient κ möge gemäß<br />
κ(T) =<br />
a<br />
T 0 + T , a > 0 , T 0 ≥ 0<br />
von der Temperatur abhängen. Wie ändert sich die innere Energie U des Systems, wenn die<br />
Spiralfeder reversibel bis <strong>zur</strong> Ausdehnung x bei konstanter Temperatur gedehnt wird?<br />
Aufgabe 11. (Ir)reversible Expansion realer Gase (7 Punkte)<br />
Als einfaches Modell für ein reales Gas betrachten wir ein Van-der-Waals-Gas mit der inneren<br />
Energie U = 3 2 Nk BT − a N2<br />
V , das die Zustandsgleichung P = Nk BT<br />
V −Nb − aN2 erfüllt. Hierbei<br />
V 2<br />
bezeichnen N,T,V und P die Teilchenzahl, die Temperatur, das Volumen und den Druck, und a<br />
und b sind zwei positive Konstanten. Wir nehmen an, dass das Van-der-Waals-Gas sich stets auch<br />
tatsächlich in der Gasphase befindet, und betrachten zwei unterschiedliche Expansionsvorgänge,<br />
wobei das Gas anfangs das Volumen V i und nach Abschluss des Vorgangs das Volumen V f > V i<br />
einnimmt.<br />
Zunächst untersuchen wir die irreversible adiabatische Expansion des Van-der-Waals-Gases. Das<br />
Gesamtsystem (Volumen V f ) ist isoliert. Das Gas (Temperatur T i ) befindet sich anfangs in einem<br />
Teil des Systems (Volumen V i ) und ist durch eine isolierende Wand vom komplementären Teil<br />
(Volumen V f −V i ) getrennt, der zunächst leer ist. Dann wird die Trennwand plötzlich weggezogen,<br />
das Gas dehnt sich aus und erreicht nach einiger Zeit einen neuen Gleichgewichtszustand.<br />
(a) Berechnen Sie ∆W, ∆Q, ∆U, ∆T und ∆S, wobei ∆A ≡ A f − A i die Differenz der Werte<br />
einer Größe A im End- bzw. Anfangszustand des Gases ist.<br />
Nun betrachten wir die reversible isotherme Expansion des Gases. Das Gesamtsystem (Volumen<br />
V f ) befindet sich in thermischem Kontakt mit einem Wärmebad der Temperatur T. Das Gas<br />
befindet sich in einem Teil des Systems, dessen Volumen im Laufe des Expansionsvorgangs<br />
reversibel von V i auf V f anwächst.<br />
(b) Berechnen Sie ∆W, ∆Q, ∆U, ∆T und ∆S für das Gas sowie die Entropieänderung ∆S B<br />
des Wärmebads.
Aufgabe 12. Carnot-Prozess mit einem realen Gas (7 Punkte)<br />
Wir nehmen wiederum an, dass das reale Gas die Van-der-Waals’sche Zustandsgleichung erfüllt,<br />
) (P + a N2<br />
V 2 (V − Nb) = Nk B T ,<br />
und sich stets auch tatsächlich in der Gasphase befindet. Die Teilchenzahl N wird im Folgenden<br />
festgehalten, so dass die innere Energie U und der Druck P bei festem N als Funktionen der<br />
zwei Veränderlichen T und V aufgefasst werden können.<br />
(a) Zeigen Sie allgemein: ( ∂U<br />
∂V<br />
)<br />
T = T ( ∂P<br />
∂T<br />
)<br />
V − P.<br />
Wir definieren die spezifische Wärme C V als C V ≡ ( )<br />
∂U<br />
∂T V .<br />
(b) Zeigen Sie, dass für das Van-der-Waals-Gas gilt:<br />
1. C V (V,T) = C V (T)<br />
2. U(V,T) − U(V 0 ,T 0 ) = aN 2 (<br />
1<br />
V 0<br />
− 1 V<br />
)<br />
+ ∫ T<br />
T 0<br />
dT ′ C V (T ′ ) .<br />
Das Van-der-Waals-Gas wird nun als Arbeitssubstanz in einem Carnot-Prozess verwendet. Der<br />
Carnot-Prozess enthält die üblichen Arbeitsschritte:<br />
1. isotherme Expansion von (T + ,V 1 ) zu (T + ,V 2 ),<br />
2. adiabatische Expansion von (T + ,V 2 ) zu (T − ,V 3 ),<br />
3. isotherme Kompression von (T − ,V 3 ) zu (T − ,V 4 ) und<br />
4. adiabatische Kompression von (T − ,V 4 ) zu (T + ,V 1 ) .<br />
(c) Bestimmen Sie die Effizienz dieser Carnot-Maschine durch eine konkrete Berechnung der<br />
absorbierten Wärme und der geleisteten Arbeit, und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem<br />
bekannten Ergebnis für den Prozess mit einem klassischen idealen Gas als Arbeitssubstanz.