12. Übungsblatt

Universität Karlsruhe 5.7.2007
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Frank Herrlich
Hendrik Kasten
Aufgabe 1
Lineare Algebra II für Mathematik – Übungsblatt 12
(4 Punkte)
Sei K ein Körper der Charakteristik ungleich 2 oder 3 und weiter
E := {(x, y) ∈ A 2 (K) | y 2 = x 3 − x}.
(a) Geben Sie drei verschiedene Punkte von E an.
(b) Skizzieren Sie E für K = R.
(c) Seien P und Q zwei verschiedene Punkte in E . Bestimmen Sie die Koordinaten
aller Punkte von E ∩ P Q in Abhängigkeit von den Koordinaten von P und Q .
Aufgabe 2
(4 Punkte)
In einer affinen Ebene seien drei paarweise verschiedene Geraden G 1 , G 2 und G 3 gegeben,
die entweder alle parallel sind oder sich alle drei in einem gemeinsamen Punkt P
schneiden. Für 1 ≤ i ≤ 3 seien Q i und R i Punkte auf G i , die, falls es P gibt, ungleich
P sind. Zeigen Sie:
Ist −−−→ Q 1 Q 2 || −−−→ R 1 R 2 und −−−→ Q 1 Q 3 || −−−→ R 1 R 3 , so auch −−−→ Q 2 Q 3 || −−−→ R 2 R 3 .
Aufgabe 3
(4 Punkte)
Sei A ein affiner Raum über einem Körper K , O ∈ A ein Punkt und P 0 , . . . , P k ∈ A
Punkte in allgemeiner Lage. Die Richtungsvektoren −−→ OP i mit i ∈ {0, . . . , k} seien mit v i
bezeichnet.
(a) Zeigen Sie, dass für jeden Punkt Q ∈ [P 0 , . . . , P k ] genau ein k + 1-Tupel
(λ 0 , . . . , λ k ) ∈ K k+1 existiert, für das gilt:
−→
OQ =
k∑
λ i v i und
i=0
k∑
λ i = 1.
λ 0 , . . . , λ k heißen die baryzentrischen Koordinaten von Q im Koordinatensystem
(O; v 0 , . . . , v k ) .
(b) Sei k + 1 teilerfremd zur Charakteristik von K . Zeigen Sie, dass der Punkt B :=
O+ 1 (v k+1 0 +· · ·+v k ) nicht von der Wahl von O abhängt. B heißt das Baryzentrum
oder auch der Schwerpunkt von P 0 , . . . , P k .
(c) Seien nun I, J ⊆ {0, . . . , k} zwei disjunkte Mengen, so dass die Kardinalitäten
von I , J und I ∪ J in K invertierbar sind. Wir bezeichnen mit R , S bzw. T
die Baryzentren der Punkte P i mit i ∈ I , J bzw. I ∪ J . Zeigen Sie, dass T in
[R, S] liegt und berechnen Sie die baryzentrischen Koordinaten von T bezüglich
(O; −→ OR, −→ OS) .
i=0
Bitte wenden!

Aufgabe 4
(4 Punkte)
Auf einem n -dimensionalen affinen Raum A mit n > 1 sei eine Affinität ϕ mit folgenden
Eigenschaften gegeben:
(i) ϕ(P ) ≠ P für alle Punkte P von A ,
(ii) für je zwei Punkte P, Q ∈ A sind P ϕ(P ) und Qϕ(Q) parallel.
Zeigen Sie, dass ϕ eine Translation ist.
Zusatzaufgabe
Sechsundzwanzig Zwerge hatten sich in eine Höhle verirrt, wo sie sehr schnell von einer
Menge von Zauberern festgehalten wurden. Diese Zauberer konnten die Zwerge vertauschen,
wobei folgende Regeln galten:
Der Chefzauberer hatte alles vergessen und kümmerte sich nur noch um die Organisation.
Er pflegte zu sagen: ”
Nur Chefs dürfen trivial vertauschen.“ Mit jedem Fingerschnippen
tat er nichts. Jeder andere Zauberer konnte die Zwerge auf genau eine Art bewegen,
und zwar so, dass jeder Zwerg mit einem anderen die Plätze tauschte und keiner der
sechsundzwanzig am Platz blieb. Für beliebige zwei Zauberer gab es einen dritten, der
bewirken konnte, was passiert wäre, wenn erst der erste und dann der zweite seinen Trick
ausgeführt hätte.
Nachdem die Zauberer eine Zeitlang so mit den Zwergen gespielt hatten, jeder Zwerg
hatte mittlerweile schon mit jedem den Platz tauschen müssen, wurde es den Zwergen
langsam unheimlich, bis . . .
. . . Rumpel auf einmal aufwachte und erleichtert feststellte, dass alles nur ein Traum gewesen
war. Diesen erzählte er allen anderen, worauf Oberschlau sagte: ”
Dass das ein Traum
war, hättest du doch schon während des Traums merken müssen, denn deine Geschichte
ist unmöglich. Schließlich waren deine Zauberer ja ein Vektorraum über dem Körper mit
zwei Elementen, und wir Zwerge wären ein affiner Raum gewesen, was nicht sein konnte.“
Präzisieren Sie, was Oberschlau gemeint hat.
Abgabe: Bis Donnerstag, den 12. Juli 2007, um 13.00 Uhr in die Einwurfkästen bei
Zimmer 328 des Mathematikgebäudes.