1.Zahlen - auf Matthias-Draeger.info
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1.Vorlesung MafI II, SoSe 2008, 15.04.2008<br />
Thema: Gruppe, Ringe, Körper<br />
<strong>1.Zahlen</strong><br />
Die Menge der ganzen Zahlen: = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}<br />
Definition: Gegeben sei eine Menge M und eine zweistellige Operation .<br />
(M, ) ist eine Gruppe, wenn gilt:<br />
(1) a,b,c: (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetz)<br />
(2) n: a M: a n = a = n a (neutrales Element)<br />
(3) a M: a M: a a = n = a a (inverses Element)<br />
→ es handelt sich um eine Halbgruppe, wenn nur (1) gilt<br />
→ es handelt sich um ein Monoid, wenn (1) und (2) gilt<br />
Wenn überdies gilt:<br />
(4) a,b M: a b = b a (Kommutativgesetz)<br />
dann spricht man von einer kommutativen Gruppe (Abel’sche Gruppe).<br />
Beispiel:<br />
(, +) → Abel’sche Gruppe, da:<br />
n = 0<br />
(neutrales Element)<br />
a<br />
(inverses Element)<br />
abba<br />
(kommutativ)<br />
a b cab c (assoziativ)<br />
(, ·) → keine Gruppe, sondern Monoid, da nur:<br />
n = 1<br />
(neutrales Element)<br />
a · b = b · a (kommutativ)<br />
(a · b) · c = a · (b · c) (assoziativ)<br />
(Einfache) Sätze über Gruppen:<br />
1. Das neutrale Element ist eindeutig.<br />
2. Das inverse Element ist immer eindeutig.<br />
Definition:<br />
Eine Menge (M, , ) mit zwei Operationen und : MM M heißt ein Ring,<br />
wenn folgendes gile:<br />
1. (M, ) ist eine kommutative Gruppe<br />
2. (M, ) erfüllt das Assoziativgesetz (Halbgruppe)<br />
3. ist distributiv über :<br />
(a b) c = (a c) (b c)<br />
a (b c) = (a b) (a c)<br />
• Das neutrale Element bezüglich heißt Nullelement.<br />
• Ein neutrales Element bezüglich , wenn es existiert, heißt Einselement.<br />
• Wenn kommutativ ist, spricht man von einen kommutativen Ring.<br />
Beispiel:<br />
(, +, ·) bilden einen kommutativen Ring.<br />
1
Einige einfache Rechenregeln:<br />
1. Verallgemeinerung des Distributivgesetz:<br />
(a b) (c d) = (a c) (a d) (b c) (b d)<br />
2. 0 sei das Nullelement:<br />
a 0 = 0 a = 0 (0 ist ein absorbierendes Element)<br />
3. (- a) b = a (- b) = - (a b)<br />
Bemerkung: Mithilfe von 2. kann man aus 1. und (Def. Ring) 3. schließen,<br />
indem man z.B. d = 0 setzt.<br />
Definition:<br />
Eine Menge (M, , ) mit zwei Operationen und heißt ein Körper, wenn gilt:<br />
1. (M, ) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0<br />
2. M * = M \ {0} (M * , ) ist eine kommutative Gruppe<br />
3. Distributivgesetze (wie Def. Ring 3.)<br />
Beispiele für Körper: (, +, · ) (, +, · ) (, +, · )<br />
rational reell komplex<br />
Die Menge der rationalen Zahlen<br />
= , , <br />
, … ,4.25, <br />
<br />
(a,b) ~ (c,d) ⇔ a · d = b · c<br />
(a,b) und (c,d) stellen dieselbe rationale Zahl dar.<br />
~ ist eine Äquivalenzreation.<br />
Die Äquivalenzklassen von ( \ {0}) bezüglich ~ sind die rationalen Zahlen.<br />
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