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Hinweis: Mit den obigen Definitionen ist eine geometrische Interpretation der Multiplikation
und der Division komplexer Zahlen möglich. Es gilt nämlich für die beiden komplexen Zahlen
z 1 und z 2 :
z =
dann gilt für das Produkt z1 ⋅ z
2
einerseits
und andererseits
Daraus folgt
z ⋅ z
1
2
=
z
i argz
i arg
1
= z1
e , z
2
z
2
e
1
e
z
1
⋅ z
2
=
1 z 2
z
1
⋅ z
2
e
iarg(z ⋅z
)
i argz 1 i argz2
e i(arg z1+
arg z2
)
⋅ z
2
e = z1
⋅ z
2
1
2
Definition 7-11
arg( z1
⋅ z
2
) = arg z1
+ arg z
2
+ 2kπ
Abb. 7-4 Multiplikation komplexer Zahlen
Abb. 7-5 Division komplexer Zahlen
Aus den obigen Betrachtungen ergeben sich nun einfache geometrische Darstellungen der
Multiplikation und der Division komplexer Zahlen.
Multiplikation:
Wir drehen den Vektor z 2 im positiven Sinne um den Winkel ϕ und strecken ihn im
Verhältnis 1:ρ = 1: z
1
Der neue Vektor stellt dann das Produkt z1 ⋅ z
2
dar.
Die Multiplikation komplexer Zahlen entspricht einer Drehstreckung (Abb. 7-4).
Division: Für den Quotienten z 1 /z 2 erhalten wir