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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 69
Hinweis: Oftmals ist es zweckmäßig, in der komplexen Ebene statt des beschriebenen Punktes,
den Vektor-Pfeil zu betrachten, der vom Nullpunkt zum betrachteten Punkt hinweist
(Ortsvektor). Bei dieser Betrachtungsweise addieren sich zwei komplexe Zahlen wie die Kräfte
in einem Kräfteparallelogramm. Die Differenz zweier komplexer Zahlen hat dann die Länge
und Richtung der zweiten Diagonalen im Paralleleogramm (Abb. 7-2).
Der Zahl i entspricht der Punkt (0,1) der imaginären Achse und die Zahl 1 dem Punkt (1,0)
der reellen Achse. In der Geometrie der Ebene ist es üblich, neben den kartesischen Koordinaten,
auch Polarkoordinaten zu benutzen. Ein Punkt in der Ebene wird dann beschrieben durch
seinen Abstand r = OP vom Koordinatenursprung 0 und dem Winkel ϕ , den der Fahrstrahl
von 0 nach P mit der positiven x-Achse einschließt (Abb. 7-3).
Abb. 7-3 Polarkoordinaten r, ϕ
Der Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten ist
gegeben durch
x = r cosϕ
y = r sin ϕ
iϕ
Unter Beachtung der Euler-Identitäten e = cosϕ + isin ϕ;e
die komplexen Zahlen auch in Polarkoordinaten darstellen.
Definition 7-9
Definition 7-10
iϕ
( cosϕ + isin ϕ) = re
−iϕ
= cos ϕ − isin ϕ
2 2
z = x + iy = r
mit r = x + y = z
lassen sich
Der zur komplexen Zahl z ≠ 0 gehörige Winkel ϕ (Abb. 7-3) heißt Argument der komplexen
Zahl z und wird
arg z
= ϕ + 2πk
(k = 0,1, 2 ,..) geschrieben. Das Argument von z ist nicht
eindeutig bestimmt, sondern nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π. Es ist also
z =
i
z e
argz