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7 Komplexe Zahlen
Definition 7-1
Komplexe Zahlen 1 sind Ausdrücke der Form
z = x + iy (x, y ∈ )
Das Symbol i bedeutet die imaginäre Einheit: i 2 = −1
( i ∉.). Es sind x der Realteil und y
der Imaginärteil der komplexen Zahl z
x = Re( z) ; y = Im( z)
;
z = Re( z) + iIm( z)
Ist speziell y = 0, dann wird mit z = x + i ⋅ 0 die reelle Zahl x identifiziert; ist x = 0 und y ≠ 0 ,
dann ist z = 0 + iy = iy eine rein imaginäre Zahl.
Definition 7-2
Zwei komplexe Zahlen z
1
= x1
+ iy1
und z
2
= x
2
+ iy
2
sind nur dann einander gleich
x +
1
+ iy1
= x
2
iy
2
wenn x
1
= x
2
und y
1
= y
2
gilt, also Real- und Imaginärteil je für sich gleich sind.
Definition 7-3
Die zu
Damit sind:
z = x + iy konjugiert komplexe Zahl z wird definiert durch:
a) Re ( z) = Re( z)
;
b) Im( z) = − Im( z)
c) z = z ⇔ z ∈ Ñ
d) z = z
e) z
1
+ z
2
= z1
+ z
2
z = x − iy
1 Geronimo Cardano, latinisiert Hieronymus Cardanus, italien. Mathematiker, Arzt u. Philosoph, 1501-1576