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62 6.8 Extremwerte bei Nebenbedingungen Satz 6-22 (Lagrangesche Multiplikatorregel für n = 2) Es sei D ⊆ R und f : D → W eine partiell differenzierbare Funktion mit = f (x ,x ) und y 1 2 die Nebenbedingung laute ( x , x ) 0 g 2 1 = . Die notwendigen Bedingungen für relative Extremwerte von f unter der Nebenbedingung g ergeben sich als stationäre Punkte der Lagrangefunktion L ( λ , x , x ) = f ( x , x ) + λg( x , ) 1 2 1 2 1 x 2 λ heißt Lagrangemultiplikator. Es muss also folgendes Gleichungssystem gelöst werden L λ : g( x1, x 2 ) = 0 L x : f ( ) ( ) 1 x x1, x 2 + λg x x1, x 2 = 0 1 1 L : f x , x + λg x , x = x 2 x 2 ( ) ( ) 0 1 2 x 2 1 2 Hinreichende Bedingungen: Ist die Determinante der Hesse-Matrix von L am stationären Punkt positiv, so liegt ein Maximum vor, ist sie negativ, dann liegt ein Minimum vor. H = L L L λλ x1λ x 2λ L L L λx1 x1x1 x 2x1 Satz 6-23 (Lagrangesche Multiplikatorregel für n > 2) Es sei D ⊆ R und : D W L L L λx 2 x1x 2 x 2x 2 f → eine partiell differenzierbare Funktion mit f ( x) m(< n) Nebenbedingungen lauten g ( x) 0,g ( x) = 0, ,g ( x) 0 1 2 m = y = und die = … . Die notwendigen Bedingungen für relative Extremwerte von f unter den m Nebenbedingungen ergeben sich als stationäre Punkte der Lagrangefunktion L ( λ , x) = f ( x) + λ g ( x) Zur Bestimmung der hinreichenden Bedingungen sind die Unterdeterminanten entlang der Hauptdiagonalen -beginnend mit der Ordnung 2m+1 - der Hesse Matrix von L. m ∑ i= 1 i i
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 63 ⎛ L λ1 ⎜ ⎜ L λ2 H = ⎜ ⋮ ⎜ ⎝L x n λ λ λ 1 1 1 L L L λ λ 1 2 λ λ 2 ⋮ x λ an den stationären Punkten zu untersuchen. m 1 Weisen die Unterdeterminanten alternierende Vorzeichen beginnend mit ( 1 ) + n 2 2 … … … − auf, so liegt ein Maximum vor. Weisen die Unterdeterminanten alle ein einheitliches Vorzeichen gegeben durch ( − 1) m auf, so liegt ein Minimum vor. L L L λ x 1 1 λ x 2 1 ⋮ x x n 1 … … … L L L λ x 1 n λ x 2 ⋮ n n x x n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 6.9 Integralrechnung Definition 6-31 Es seien in einem Intervall f ( x) und F ( x) gegeben. Es sei ( x) dort stets ( x) f ( x) F ′ = . F dort differenzierbar und es sei Dann heißt F ( x) eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral von ( x) mit bezeichnet. Satz 6-24 ∫ f ( x)dx , so hat jede an- Ist in einem Intervall F ( x) Stammfunktion (unbestimmtes Integral) von f ( x) dere Stammfunktion von f ( x) die Form F ( x) + C mit ∈ C R. f und wird Satz 6-25 n ∫∑ i= 1 n ∑ ∫ k i f i(x)dx = k i f i(x)dx = ∑ k iF i(x) + C i= 1 n i= 1 Satz 6-26 1 α + 1 α α+ 1 a) [ f ( x) ] f ′( x) dx = [ f ( x) ] + C, α ≠ −1 ∫
Seite 1 und 2:
1 Mathematische Hilfsmittel
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Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubrand
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