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6.8 Extremwerte bei Nebenbedingungen
Satz 6-22 (Lagrangesche Multiplikatorregel für n = 2)
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine partiell differenzierbare Funktion mit = f (x ,x ) und
y
1 2
die Nebenbedingung laute ( x , x ) 0
g
2
1
= .
Die notwendigen Bedingungen für relative Extremwerte von f unter der Nebenbedingung g
ergeben sich als stationäre Punkte der Lagrangefunktion
L
( λ , x , x ) = f ( x , x ) + λg( x , )
1 2 1 2
1
x
2
λ heißt Lagrangemultiplikator. Es muss also folgendes Gleichungssystem gelöst werden
L
λ
:
g( x1,
x
2
) = 0
L
x
:
f ( ) ( )
1
x
x1,
x
2
+ λg
x
x1,
x
2
= 0
1
1
L :
f x , x + λg
x , x =
x 2
x 2
( ) ( ) 0
1
2
x 2
1
2
Hinreichende Bedingungen:
Ist die Determinante der Hesse-Matrix von L am stationären Punkt positiv, so liegt ein Maximum
vor, ist sie negativ, dann liegt ein Minimum vor.
H =
L
L
L
λλ
x1λ
x 2λ
L
L
L
λx1
x1x1
x 2x1
Satz 6-23 (Lagrangesche Multiplikatorregel für n > 2)
Es sei
D ⊆ R und : D W
L
L
L
λx
2
x1x
2
x 2x
2
f → eine partiell differenzierbare Funktion mit f ( x)
m(< n) Nebenbedingungen lauten g ( x) 0,g ( x) = 0, ,g ( x) 0
1 2
m
=
y = und die
= … . Die notwendigen Bedingungen
für relative Extremwerte von f unter den m Nebenbedingungen ergeben sich als stationäre
Punkte der Lagrangefunktion
L
( λ , x) = f ( x) + λ g ( x)
Zur Bestimmung der hinreichenden Bedingungen sind die Unterdeterminanten entlang der
Hauptdiagonalen -beginnend mit der Ordnung 2m+1 - der Hesse Matrix von L.
m
∑
i=
1
i
i