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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 61
heißen stationäre Punkte.
Satz 6-20
(Hinreichende Bedingung für einen relativen Extremwert im Fall n = 2)
Es sei D ⊆ R und f : D → W mit z = f (x, y)
eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen
2. Ordnung und ( , )
x sei ein innerer Punkt aus D. Gilt
0
y 0
a) f
x
( x
0
, y
0
) = 0 und f ( x
0
, y
0
) 0
f
xx
( x
0
, y
0
) f
xy
( x
0
, y0
)
b) ( , y0
):
=
f ( x , y ) f ( x , y )
y
= und
2
( x , y ) f ( x , y ) − f ( x , y ) 0
∆ x
0
= f
xx 0 0 yy 0 0 xy 0 0
> ,
dann hat f an der Stelle ( , )
yx
0
0
0
y 0
yy
0
0
x ein relatives Extremum.
Diese ist ein Maximum, falls f
xx
( x
0
, y
0
) < 0 ist und ein Minimum, falls f ( x
0
, y
0
) 0
Gilt dagegen a) und ∆ ( , y ) 0 , dann ist ( , )
x kein Extremum, sondern es liegt ein Sattelpunkt
vor.
x
0 0
<
0
y 0
xx
> ist.
Satz 6-21
(Hinreichende Bedingung für einen relativen Extremwert im Fall n > 2)
Es sei
f → mit y f ( x , x ,…,
)
D ⊆ R, : D W
= eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen
2. Ordnung und
1 2
x
n
0
x sei ein innerer Punkt aus D. Es gelte
0
0
0
x
x
x
=
1 2
n
a) f ( x ) = 0,f ( x ) = 0, …,f
( x ) 0
Gilt
0
b) ∆ ( x )
i
=
f
f
f
x x
1 1
x x
2 1
x x
i 1
0
0
0
( x ) f
x x
( x ) … f ( x )
1 2
x1xi
0
0
0
( x ) f ( x ) … f ( x )
⋮
x x
2
0
0
0
( x ) f ( x ) … f ( x )
x x
i
2
2
⋮
x x
2 i
x x
i
i
⋮
> 0
für alle
i = 1,2, …,
n , dann hat f an der Stelle
0
x ein Minimum.
c) Gilt ( 1) ∆ ( x ) > 0
i
i
0
− für alle i = 1,2, …,
n , dann hat f an der Stelle
0
d) Ist f
x i x i
( x ) < 0 und f
x x
( x ) 0
0
x keinen Extremwert.
0
( )
j
j
0
> , 1 ≤ i, j ≤ n , dann hat f an der Stelle
∆ heißt Determinante der Hesse-Matrix von f im Punkt
0
x .
n x
0
x ein Maximum.