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Definition 6-28
Eine (partiell) differenzierbare Funktion mit n Veränderlichen besitzt n partielle Ableitungen
(1. Ordnung). Jede dieser n partiellen Ableitungen ist wieder eine Funktion von n Veränderlichen.
Sind diese Funktionen wieder differenzierbar, dann können wieder partielle Ableitungen
(2. Ordnung, insgesamt n 2 ) gebildet werden. Analog können partielle Ableitungen 3., 4. und
höherer Ordnung gebildet werden.
Satz 6-18
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion mit z = f (x, y)
. f sei zweimal partiell differenzierbar.
Sind die Ableitungen f xy und f yx stetig, so gilt:
f
xy
(x, y) = f
yx
(x, y) für alle ( x,
y) ∈ D
Definition 6-29
Es sei
D ⊆ R und f : D → W mit y = f (x)
. Das vollständige (totale) Differential von f ist
gegeben durch
( x) = f
x
dx1
+ f
x
dx
2
+ f
x
dx
n
dy = df
…
+
1 2
n
6.7 Extremwerte bei Funktionen von mehreren Veränderlichen
Satz 6-19
Es sei
Wenn f in
D ⊆ R,
0
x ein innerer Punkt von D und
0
x einen Extremwert besitzt, dann gilt:
f
0
0
0
( x ) = f ( x ) = … = f ( x ) 0
x
x
x
=
1 2
n
(Notwendige Bedingung für ein relatives Extremum)
f : D → W sei partiell differenzierbar in
0
x .
Definition 6-30
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine partiell differenzierbare Funktion. Die Lösungen des Gleichungssystems
f
( x) = 0,f ( x) = 0, …,f
( x) 0
x
=
1 x2
xn