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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 59
Definition 6-25
Es sei
D ⊆ R, und : D W
f → eine Funktion mit zwei Veränderlichen, y = f ( x , )
1
x 2
. Höhenlinien
oder Niveaulinien sind die geometrischen Orte aller Punkte (x 1 ,x 2 ), für die
konstant ist. Die Gleichung der Höhenlinie ist implizit gegeben durch
( x , x ) y 0
f
1 2
=
− .
y =
y
Definition 6-26
r
f(x) ist homogen vom Grade r, wenn gilt: f ( x) = λ f ( x) , λ > 0
λ .
Beispiel 6-1
2 2
2
2 2
( x) = f ( x , x ) = x , f ( λx) = f ( λx
, λx
) = ( λx
) + ( λx
) = f ( x)
f +
1 2 1
x
2
→ ,
1 2 1
2
λ
d.h. f(x) ist homogen vom Grade 2
6.6 Partielle Ableitungen
Definition 6-27
Es sei
D ⊆ R und f : D → W und x 0
∈ D . Für ein i, 1 ≤ i ≤ n heißt der Grenzwert (falls er
existiert)
lim
0i
x i −x
f
0 0
0 0 0 0 0
( x ,…,
x , x ,…
x ) − f ( x ,…,
x , x ,…
x )
1
i−1
i
n
x
i
− x
1
0
i
i−1
i
n
die i-te partielle Ableitung der Funktion im Punkte
0
x . Für diese Ableitung schreiben wir
∂f
oder f
x
, i = 1,2, …,
n . f heißt (partiell) differenzierbar, wenn f
i
x
für alle x 0 ∈ D und
i
∂x i
alle i = 1,2, …,
n existiert.