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( x) 0
f ′ > für < x < x h
x
0 0
+
dann hat f am Punkte x 0 einen Tiefpunkt.
c) (Hinreichende Bedingung für Hoch- oder Tiefpunkt)
Gilt f ′( x
0
) = 0 und f ′( x
0
) ≠ 0
′ , dann hat f an der Stelle x
0
(i) einen Hochpunkt (Maximum), wenn f ( x
0
) < 0
(ii) einen Tiefpunkt (Minimum), wenn f ( x
0
) > 0
′′
′′ ist.
Satz 6-16
Ist
f : D → W eine differenzierbare Funktion, die in D konkav (konvex) verläuft, und die einen
inneren Punkt
(Minimum).
x 0
∈ D mit f ′( x
0
) = 0 hat, dann besitzt f in x 0 ein globales Maximum
Definition 6-23
Ein Punkt, in dem eine Rechts- und eine Linkskurve (oder eine Links- und eine Rechtskurve)
ohne Knick ineinander übergehen, heißt Wendepunkt.
Satz 6-17
Es sei
Punkt
f : D → W eine mindestens dreimal differenzierbare Funktion. Gilt für einen inneren
x 0
∈ D f ( x
0
) = 0
′′ und f ′′ ( x
0
) ≠ 0
′ , so ist x 0 ein Wendepunkt von f.
6.5 Funktionen von mehreren Veränderlichen
Definition 6-24
Es sei n eine natürliche Zahl. Ist
D ⊆ R, dann heißt eine Vorschrift f : D → W , die jedem n-
dimensionalen Vektor x
mit n Veränderlichen (Variablen).
∈ D genau ein Element y ∈ W mit W ⊆
R zuordnet eine Funktion