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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 57
6.4 Extremwerte bei Funktionen einer Veränderlichen
Definition 6-21
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Ein Punkt x 0
∈ D heißt lokales (relatives)
Maximum (Hochpunkt) von f [lokales(relatives)Minimum(Tiefpunkt) von f], wenn es eine
Zahl h > 0 gibt mit
( x) f ( x 0
)
[ ( x) f ( )
f ≤ für alle x ∈ D mit − h < x < x h
x 0
x
0 0
+
f ≥ für alle x ∈ D mit − h < x < x h ]
x
0 0
+
Satz 6-14
Es sei
f : D → W eine Funktion, die an einer inneren Stelle x 0
∈ D differenzierbar ist. Wenn
f in x 0 einen Extremwert besitzt, dann gilt f ( x
0
) = 0
′ . (Notwendige Bedingung für ein Extremum)
Definition 6-22
Es sei
f : D → W eine differenzierbare Funktion, dann heißt jede Lösung der Gleichung
stationärer Punkt der Funktion f.
( x) 0
f ′ =
Satz 6-15
Es sei f : D → W eine differenzierbare Funktion.
a) (Notwendige Bedingung für einen inneren Extremwert)
Ist x
0
ein innerer Extremwert, dann gilt f ′( x
0
) = 0
b) (Hinreichende Bedingung für Hoch- oder Tiefpunkt)
(i) Es gilt f ( x
0
) = 0
( x) 0
( x) 0
′ und mit h > 0 gilt weiter
f ′ > für x
0
− h < x < x
0
und
f ′ < für < x < x h
x
0 0
+
dann hat f am Punkte x 0 einen Hochpunkt.
(ii) Es gilt f ( x
0
) = 0
( x) 0
′ und mit h > 0 gilt weiter
f ′ < für x
0
− h < x < x
0
und