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56 6.3 Spezielle Anwendungen der Differentialrechnung Definition 6-20 Unter dem (totalen, vollständigen) Differential einer differenzierbaren Funktion verstehen wir die Größe dy = f ′( x)dx für beliebige Zahlen (Zuwächse) dx. f : D → W Abb. 6-1 Linearer Zuwachs dy einer Funktion y(x) Satz 6-13 (Regel von Bernoulli-L’Hospital) Es sei D ⊆ R ein Intervall und D x 0 ∈ . Es seien ,g : D \ { x } W f 0 → differenzierbare Funktionen. Es gelte: lim f ( x) = 0,lim g( x) = 0, oder lim f ( x) = ±∞,lim g( x) = ±∞ Ferner sei g ( x) ≠ 0 x→x0 x→x 0 x→x0 x→x 0 ′ für x ∈ D . Existiert dann der Grenzwert von existiert auch der Grenzwert von f g ( x) ( x) für x → x 0 und es ist f lim →x g ( x) ( x) f ′ = lim x→ g x 0 x 0 ′ ( x) ( x) f ′ g′ ( x) ( x) . für x → x 0 , dann
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 57 6.4 Extremwerte bei Funktionen einer Veränderlichen Definition 6-21 Es sei D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Ein Punkt x 0 ∈ D heißt lokales (relatives) Maximum (Hochpunkt) von f [lokales(relatives)Minimum(Tiefpunkt) von f], wenn es eine Zahl h > 0 gibt mit ( x) f ( x 0 ) [ ( x) f ( ) f ≤ für alle x ∈ D mit − h < x < x h x 0 x 0 0 + f ≥ für alle x ∈ D mit − h < x < x h ] x 0 0 + Satz 6-14 Es sei f : D → W eine Funktion, die an einer inneren Stelle x 0 ∈ D differenzierbar ist. Wenn f in x 0 einen Extremwert besitzt, dann gilt f ( x 0 ) = 0 ′ . (Notwendige Bedingung für ein Extremum) Definition 6-22 Es sei f : D → W eine differenzierbare Funktion, dann heißt jede Lösung der Gleichung stationärer Punkt der Funktion f. ( x) 0 f ′ = Satz 6-15 Es sei f : D → W eine differenzierbare Funktion. a) (Notwendige Bedingung für einen inneren Extremwert) Ist x 0 ein innerer Extremwert, dann gilt f ′( x 0 ) = 0 b) (Hinreichende Bedingung für Hoch- oder Tiefpunkt) (i) Es gilt f ( x 0 ) = 0 ( x) 0 ( x) 0 ′ und mit h > 0 gilt weiter f ′ > für x 0 − h < x < x 0 und f ′ < für < x < x h x 0 0 + dann hat f am Punkte x 0 einen Hochpunkt. (ii) Es gilt f ( x 0 ) = 0 ( x) 0 ′ und mit h > 0 gilt weiter f ′ < für x 0 − h < x < x 0 und
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