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54 x→x ( x) − f ( x ) f lim 0 x − x existiert. Dieser Grenzwert wird mit f ′( x 0 ) bezeichnet und heißt Ableitung oder Differentialquotient von f in x 0 . f heißt differenzierbar, falls f ′( x 0 ) für alle x 0 ∈ I existiert. 0 0 Ableitungen spezieller Funktionen f ( x) f ′( x) f ( x) f ′( x) a = konst. 0 α x α x x e x e ln x 1 x sin x cos x tan x 1 2 cos x cos x − sin x cot x 1 − 2 sin x arcsin x 1 1 arctan x 2 2 1− x 1+ x arccos x − 1 1 arc cot x − 2 2 1− x 1+ x sinh x cosh x tanh x cosh x sinh x coth x ar sinh x ar cosh x 1 x 1 x 2 + 2 − 1 1 1 2 cosh x 1 − 2 sinh x 1 ar tanh x 2 1− x 1 ar coth x 2 1− x Satz 6-7 Es sei f : D → Wf und : D Wg g → . Existieren die Ableitungen f ′( x) und ( x) f D, dann sind auch kf mit k ∈ Ñ, f ± g , fg und g ′ a) [ kf ( x) ] = kf ′( x) ′ b) [ f ( x) ± g( x) ] = f ′( x) ± g′ ( x) ′ c) [ f ( x) g( x) ] = f ′( x) g( x) + f ( x) g′ ( x) ′ ⎡f ( x) ⎤ f ′ x g x − f x g′ x d) ⎢ g( x) ⎥ = ⎣ ⎦ [ g( x) ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) g′ für alle x aus (für g ≠ 0 ) differenzierbar und es gilt:
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 55 Satz 6-8 Sind f(x) und g(x) differenzierbar und kann g(x) in f(x) eingesetzt werden, dann ist auch f(g(x)) differenzierbar und es gilt Satz 6-9 Für die Ableitung der Umkehrfunktion ′ [ f ( g(x) )] = f ′( g(x) ) g′ ( x) 1 f − an der Stelle 0 f ( x 0 ) −1 ′ ( f )( y ) 0 1 = f ′ ( x ) 0 y = gilt Satz 6-10 Ist f differenzierbar in x 0 , dann ist f auch stetig in x 0 . Definition 6-19 Ist f ′( x) differenzierbar, dann heißt die Ableitung von f :[ f ′( x) ] = f ′′ ( x) von f. Allgemein lässt sich schreiben Satz 6-11 ( n−1 [ ) ′ ( n f ( x) ] = f ) ( x) , n = 2,3, … ′ ′ zweite Ableitung Es sei D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Es sei I ⊆ D ein Intervall und f differenzierbar auf I. Dann gilt: ∈ ′ ist. a) f ist genau dann monoton wachsend auf I, wenn für alle x I f ( x) ≥ 0 ∈ ′ ist. b) f ist genau dann monoton fallend auf I, wenn für alle x If ( x) ≤ 0 ′ für alle x ∈ I bis auf endlich viele x, dann ist f streng monoton wachsend auf c) Ist f ( x) > 0 I. ′ für alle x ∈ I bis auf endlich viele x, dann ist f streng monoton fallend auf I. d) Ist f ( x) < 0 Satz 6-12 Es sei D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Es sei I ⊆ D ein Intervall und f zweimal differenzierbar auf I. Dann gilt: a) f ist genau dann konvex auf I, wenn f ( x) > 0 b) f ist genau dann konkav auf I, wenn f ( x) < 0 ′ für alle x ∈ I (Linkskurve). ′ für alle x ∈ I (Rechtskurve).
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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 55<br />
Satz 6-8<br />
Sind f(x) und g(x) differenzierbar und kann g(x) in f(x) eingesetzt wer<strong>de</strong>n, dann ist auch f(g(x))<br />
differenzierbar und es gilt<br />
Satz 6-9<br />
Für die Ableitung <strong>de</strong>r Umkehrfunktion<br />
′<br />
[ f ( g(x) )] = f ′( g(x) ) g′<br />
( x)<br />
1<br />
f − an <strong>de</strong>r Stelle<br />
0<br />
f ( x 0<br />
)<br />
−1<br />
′<br />
( f )( y )<br />
0<br />
1<br />
=<br />
f ′<br />
( x )<br />
0<br />
y = gilt<br />
Satz 6-10<br />
Ist f differenzierbar in x 0 , dann ist f auch stetig in x 0 .<br />
Definition 6-19<br />
Ist f ′( x)<br />
differenzierbar, dann heißt die Ableitung von f :[ f ′( x)<br />
] = f ′′ ( x)<br />
von f. Allgemein lässt sich schreiben<br />
Satz 6-11<br />
( n−1<br />
[ ) ′ ( n<br />
f ( x)<br />
] = f )<br />
( x) , n = 2,3, …<br />
′<br />
′<br />
zweite Ableitung<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Es sei I ⊆ D ein Intervall und f differenzierbar<br />
auf I. Dann gilt:<br />
∈ ′ ist.<br />
a) f ist genau dann monoton wac<strong>hs</strong>end auf I, wenn für alle x I f ( x) ≥ 0<br />
∈ ′ ist.<br />
b) f ist genau dann monoton fallend auf I, wenn für alle x If ( x) ≤ 0<br />
′ für alle x ∈ I bis auf endlich viele x, dann ist f streng monoton wac<strong>hs</strong>end auf<br />
c) Ist f ( x) > 0<br />
I.<br />
′ für alle x ∈ I bis auf endlich viele x, dann ist f streng monoton fallend auf I.<br />
d) Ist f ( x) < 0<br />
Satz 6-12<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Es sei I ⊆ D ein Intervall und f zweimal differenzierbar<br />
auf I. Dann gilt:<br />
a) f ist genau dann konvex auf I, wenn f ( x) > 0<br />
b) f ist genau dann konkav auf I, wenn f ( x) < 0<br />
′ für alle x ∈ I (Linkskurve).<br />
′ für alle x ∈ I (Rechtskurve).
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