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x→x
( x) − f ( x )
f
lim
0 x − x
existiert. Dieser Grenzwert wird mit f ′( x 0
) bezeichnet und heißt Ableitung oder Differentialquotient
von f in x 0 . f heißt differenzierbar, falls f ′( x 0
) für alle x 0
∈ I existiert.
0
0
Ableitungen spezieller Funktionen
f ( x)
f ′( x)
f ( x)
f ′( x)
a = konst.
0
α
x
α x x
e
x
e
ln x
1
x
sin x
cos x
tan x
1
2
cos x
cos x
− sin x
cot x
1
−
2
sin x
arcsin x
1
1
arctan x
2
2
1−
x
1+
x
arccos x
−
1
1
arc cot x
−
2
2
1−
x
1+
x
sinh x
cosh x
tanh x
cosh x
sinh x
coth x
ar sinh x
ar cosh x
1
x
1
x
2 +
2 −
1
1
1
2
cosh x
1
−
2
sinh x
1
ar tanh x
2
1−
x
1
ar coth x
2
1−
x
Satz 6-7
Es sei
f : D → Wf
und : D Wg
g → . Existieren die Ableitungen f ′( x)
und ( x)
f
D, dann sind auch kf mit k ∈ Ñ, f ± g , fg und g
′
a) [ kf ( x)
] = kf ′( x)
′
b) [ f ( x) ± g( x)
] = f ′( x) ± g′
( x)
′
c) [ f ( x) g( x)
] = f ′( x) g( x) + f ( x) g′
( x)
′
⎡f
( x)
⎤ f ′ x g x − f x g′
x
d) ⎢
g( x)
⎥ =
⎣ ⎦ [ g( x)
] 2
( ) ( ) ( ) ( )
g′ für alle x aus
(für g ≠ 0 ) differenzierbar und es gilt: