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48 ⎛1⎞ Mit x 1 = s beliebig reell folgt x 2 = s . Damit ist jeder Vektor x 2 = s⎜ ⎟ Eigenvektor zu ⎝ 1 ⎠ λ 2 = 5. Die auf den Betrag 1 normierten Eigenvektoren sind: = 1 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟; 2 ⎝ −1⎠ e e1 2 = 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝1⎠ Satz 5-10 Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind orthogonal. Definition 5-5 Die n unabhängigen Eigenvektoren x i lassen sich in folgender Reihenfolge zu der regulären Matrix X = e ,e ,…, , ( ) 1 2 e n die Eigenvektormatrix oder auch Modalmatrix genannt wird, zusammenfassen. Definition 5-6 Für die Modalmatrix gilt: − X 1 ⋅ A ⋅ X = Λ , wobei ⎛λ1 ⎜ ⎜ 0 Λ = ⎜… ⎜ ⎝ 0 0 λ 2 … 0 … … λ n−1 0 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ λ n ⎠ = Diag ( λ ) ii Diagonalmatrix der Eigenwerte genannt wird. ⎛ 1 1 ⎞ ⎛3 2⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛1⎞ 1 ⎛ 1 1⎞ ⎜ − ⎟ −1 ⎡1 −1⎤ A = ⎜ ⎟ ; e1 = ⎜ ⎟; e 2 = ⎜ ⎟ ; X = ⎜ ⎟; X = 2⎜ 2 2 ⎟ = ⎝2 3⎠ 2 ⎝−1⎠ 2 ⎝1 ⎢ ⎥ ; ⎠ 2 ⎝−1 1⎠ ⎜ 1 1 ⎟ ⎣1 1 ⎦ ⎝ 2 2 ⎠ X −1 ⎛1 ⋅ A ⋅ X = Λ = ⎜ ⎝0 0⎞ ⎛λ1 ⎟ = ⎜ 5⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎟ λ 2 ⎠
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 49 6 Analysis Definition 6-1 Unter einer Funktion f verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Element x einer gegebenen Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet. D heißt Definitionsbereich und W heißt Wertebereich. Schreibweise: f : D → Wmity = f (x) Definition 6-2 Es sei f : D → W eine Funktion. a) f ist geradsymmetrisch, wenn f(-x) = f(x) für alle x ∈ D gilt. b) f ist ungeradsymmetrisch (punktsymmetrisch zum Ursprung), wenn f(-x) = -f(x) für alle x ∈ D gilt. Definition 6-3 Es ist I ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f: I → W heißt a) monoton wachsend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) ist b) streng monoton wachsend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) < f(x 2 ) ist, c) monoton fallend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) ist, d) streng monoton fallend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) > f(x 2 ) ist. Definition 6-4 Es ist I ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f: I → W heißt a) konvex in I, wenn ihr Graph mit größer werdenden x-Werten eine Linkskurve beschreibt, b) konkav in I, wenn ihr Graph mit größer werdenden x-Werten eine Rechtskurve beschreibt Definition 6-5 1 Die Umkehrfunktion (inverse Funktion) f − ordnet jedem Element f(x) des Wertebereiches W das Element x des Definitionsbereiches D zu.
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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 49<br />
6 Analysis<br />
Definition 6-1<br />
Unter einer Funktion f verstehen wir eine Vorschrift, die je<strong>de</strong>m Element x einer gegebenen<br />
Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet. D heißt Definitionsbereich und<br />
W heißt Wertebereich. Schreibweise: f : D → Wmity = f (x)<br />
Definition 6-2<br />
Es sei f : D → W eine Funktion.<br />
a) f ist geradsymmetrisch, wenn f(-x) = f(x) für alle x ∈ D gilt.<br />
b) f ist ungeradsymmetrisch (punktsymmetrisch zum Ursprung), wenn f(-x) = -f(x) für alle<br />
x ∈ D gilt.<br />
Definition 6-3<br />
Es ist I ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f:<br />
I → W heißt<br />
a) monoton wac<strong>hs</strong>end in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) ist<br />
b) streng monoton wac<strong>hs</strong>end in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) < f(x 2 ) ist,<br />
c) monoton fallend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) ist,<br />
d) streng monoton fallend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) > f(x 2 ) ist.<br />
Definition 6-4<br />
Es ist I ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f:<br />
I → W heißt<br />
a) konvex in I, wenn ihr Graph mit größer wer<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n x-Werten eine Linkskurve beschreibt,<br />
b) konkav in I, wenn ihr Graph mit größer wer<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n x-Werten eine Rechtskurve beschreibt<br />
Definition 6-5<br />
1<br />
Die Umkehrfunktion (inverse Funktion) f − ordnet je<strong>de</strong>m Element f(x) <strong>de</strong>s Wertebereiches<br />
W das Element x <strong>de</strong>s Definitionsbereiches D zu.
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