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48<br />
⎛1⎞<br />
Mit x 1<br />
= s beliebig reell folgt x 2<br />
= s . Damit ist je<strong>de</strong>r Vektor x 2 = s⎜<br />
⎟ Eigenvektor zu<br />
⎝ 1 ⎠<br />
λ<br />
2<br />
= 5. Die auf <strong>de</strong>n Betrag 1 normierten Eigenvektoren sind:<br />
=<br />
1 ⎛ 1⎞<br />
⎜ ⎟;<br />
2 ⎝ −1⎠<br />
e<br />
e1<br />
2<br />
=<br />
1 ⎛1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 ⎝1⎠<br />
Satz 5-10<br />
Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind orthogonal.<br />
Definition 5-5<br />
Die n unabhängigen Eigenvektoren x i lassen sich in folgen<strong>de</strong>r Reihenfolge zu <strong>de</strong>r regulären<br />
Matrix<br />
X = e ,e ,…,<br />
,<br />
( )<br />
1 2<br />
e<br />
n<br />
die Eigenvektormatrix o<strong>de</strong>r auch Modalmatrix genannt wird, zusammenfassen.<br />
Definition 5-6<br />
Für die Modalmatrix gilt:<br />
−<br />
X 1<br />
⋅ A ⋅ X = Λ , wobei<br />
⎛λ1<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
Λ = ⎜…<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
0<br />
λ<br />
2<br />
…<br />
0<br />
…<br />
…<br />
λ<br />
n−1<br />
0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎟<br />
⎟<br />
λ<br />
n ⎠<br />
= Diag<br />
( λ )<br />
ii<br />
Diagonalmatrix <strong>de</strong>r Eigenwerte genannt wird.<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
⎛3<br />
2⎞<br />
1 ⎛ 1⎞<br />
1 ⎛1⎞<br />
1 ⎛ 1 1⎞<br />
⎜ − ⎟<br />
−1<br />
⎡1<br />
−1⎤<br />
A = ⎜ ⎟ ; e1 = ⎜ ⎟;<br />
e<br />
2<br />
= ⎜ ⎟ ; X = ⎜ ⎟;<br />
X = 2⎜<br />
2 2 ⎟ =<br />
⎝2<br />
3⎠<br />
2 ⎝−1⎠<br />
2 ⎝1<br />
⎢ ⎥ ;<br />
⎠ 2 ⎝−1<br />
1⎠<br />
⎜ 1 1<br />
⎟ ⎣1<br />
1 ⎦<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
X<br />
−1<br />
⎛1<br />
⋅ A ⋅ X = Λ = ⎜<br />
⎝0<br />
0⎞<br />
⎛λ1<br />
⎟ = ⎜<br />
5⎠<br />
⎝ 0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
λ<br />
2 ⎠