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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 47
Satz 5-9
Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix A (A = A T ) sind reell.
Beispiel 5-4
⎛3
Gesucht sind die Eigenwerte der symmetrischen Matrix A = ⎜
⎝2
2
Das charakteristische Polynom: λ − 6λ + 5 = 0
hat die Lösungen: λ = ; λ 5 . Das sind die Eigenwerte von A.
1
1 2
=
2⎞
⎟
3⎠
Beispiel 5-5
⎛3
2⎞
Gesucht sind die Eigenvektoren der Matrix A = ⎜ ⎟ .
⎝2
3⎠
Die Eigenwerte sind λ 1
= 1;
λ 2
= 5 . Für den ersten Eigenwert λ
1
= 1 ergibt sich folgendes
Gleichungssystem
⎡⎛
3
⎢⎜
⎣⎝
2
2⎞
⎟ − λ
3⎠
1
⎛1
⎜
⎝0
0⎞⎤
⎛ x
⎟⎥ ⋅⎜
1⎠⎦
⎝ x
1
2
⎞
⎟ = 0
⎠
also
⎛3
−1
⎜
⎝ 2
2x
2x
1
1
+ 2x
+ 2x
2 ⎞ ⎛ x
⎟ ⋅⎜
3 −1⎠
⎝ x
2
2
= 0
= 0
1
2
⎞
⎟ = 0
⎠
⎛ 1⎞
Wir wählen x 1
= t ∈ R, dann folgt x 2
= −t
. Damit ist jeder Vektor x 1 = t⎜
⎟ Eigenvektor
⎝−1⎠
zu λ
1
= 1. Für den zweiten Eigenwert λ
2
= 5 erhalten wir entsprechend
⎡⎛
3
⎢⎜
⎣⎝
2
2⎞
⎟ − λ
3⎠
2
⎛1
⎜
⎝0
0⎞⎤
⎛ x
⎟⎥ ⋅ ⎜
1⎠⎦
⎝ x
1
2
⎞
⎟ = 0
⎠
also
⎛3
− 5
⎜
⎝ 2
− 2x
2x
1
1
2 ⎞ ⎛ x
⎟ ⋅ ⎜
3 − 5⎠
⎝ x
+ 2x
− 2x
2
2
= 0
= 0
1
2
⎞
⎟ = 0
⎠