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A − λE
= 0 ,
oder:
a
11
a
a
− λ
21
⋯
n1
a
a
22
a
12
⋯
− λ
n2
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
a
nn
1n
2n
⋯
− λ
= 0
Die nichttrivialen Lösungen x des homogenen Gleichungssystems ( A λE) ⋅ x = 0
− können bei
bekannten Eigenwerten λ i
(i = 1, n) berechnet werden. Sie werden Eigenvektoren x i der
Matrix A zum Eigenwert λ
i
genannt. Der k-te Eigenvektor genügt der Gleichung
Beispiel 5-2 (n = 3)
( A − λ E) ⋅ x 0
k k
=
a
a
a
11
21
31
− λ
a
a
a
12
22
32
− λ
a
a
a
13
23
33
− λ
= 0
Ausmultiplizieren führt auf die charakteristische Gleichung von A:
3 2
λ − A1λ
+ A
2
λ − A
3
= 0
mit den Invarianten
3
3
1
= ∑a
kk
; A
2
= ∑
2
( a a − a a );
A A
A1 jj kk jk kj 3
=
k=
1
j,k=
1
Beispiel 5-3 (n = 2)
a
a
11
21
− λ
a
a
12
22
− λ
= 0
Ausmultiplizieren liefert die quadratische Gleichung:
2
λ −
( + a ) λ + ( a a − a a ) = 0
a11
22 11 22 21 12