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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 45
Satz 5-5
Zwei LGS sind genau dann äquivalent, wenn sie sich durch
a) Vertauschen zweier Gleichungen (Zeilen) miteinander,
b) Multiplikation einer Gleichung (Zeile) mit einer reellen Zahl α ≠ 0 ,
c) Addition des Vielfachen einer Gleichung (Zeile) zu einer anderen Gleichung (Zeile)
ineinander überführen lassen.
Gaußscher Algorithmus
Ein LGS wird durch äquivalente Umformungen auf Dreiecksgestalt gebracht. Dieses äquivalente
Gleichungssystem lässt sich rekursiv lösen.
Satz 5-6
Ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten besitzt genau dann nichttriviale
Lösungen, wenn der Rang r der Koeffizientenmatrix kleiner als n ist. Die Lösungsmenge enthält
n-r freie Parameter. Sie hat die Dimension n-r.
Satz 5-7
Ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten und Rang von A gleich
besitzt nur dann Lösungen, wenn der Rang von ( A b)
auch gleich r ist.
r < n
Satz 5-8
Ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten hat genau dann mindestens eine Lösung,
wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A und der Rang der erweiterten Matrix ( A b)
übereinstimmen.
Definition 5-4
Für ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten heißt jede Zahl λ i , für die die
Gleichung
( A − λE) ⋅ x = 0
nichttriviale Lösungen besitzt, Eigenwert von A. Notwendige Bedingung dafür ist