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Satz 5-4 (Die Cramersche Regel)
Gegeben sei ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten mit einer regulärer
Koeffizientenmatrix in der vektoriellen Darstellung
a1 x1
+ a
2x
2
+ … + a
nx
n
= b ,
dann hat der Lösungsvektor die Komponenten
x
a ,…,a
,b,a
,…,a
1 k−1
k+
1 n
k
=
=
a1,a
2,
…,a
k
,…,a
n
A
k
A
, k = 1,2, …,n.
wobei |A| die Determinante von A und |A k | diejenige Determinante ist, die aus A entsteht,
wenn wir in A die k-te Spalte durch die Spalte der rechten Seite ersetzten 1 .
4x
2x
x
1
1
1
+
−
+
3x
x
2x
2
2
2
−
+
−
x
x
2x
3
3
3
=
=
=
−1
5
− 5
−1
3 −1
4 −1
−1
D 1
= 5 −1
1 = 10
= 2 5 1 = −10
− 5 2 − 2
1 − 5 − 2
4 3 −1
4 3 −1
D 3
= 2 −1
5 = 20
D = 2 −1
1 = 10
1 2 − 5
1 2 − 2
D 2
D1
10 D
2 −10
D3
20
x1 = = = 1; x
2
= = = −1;
x
3
= = = 2
D 10
D 10
D 10
Definition 5-3
Zwei Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.
1 Gabriel Cramer, schweizer. Mathematiker, 1704-1752