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42 a 11 0 0 a a 12 22 0 a a a 13 23 33 = a 11 a 22 0 a a 23 33 = a 11 a 22 a 33 = a 11 a 22 a 33 Satz 4-8 Besitzt eine n-reihige Determinante obere oder untere Dreiecksgestalt, so errechnet sich die Determinante aus dem Produkt der Hauptdiagonalglieder: D = det(a ) = n ∏ ik a ii i= 1 5 Lineare Gleichungssysteme Definition 5-1 Unter einem linearen Gleichungssystem (LGS) verstehen wir m lineare Gleichungen, in denen n Unbekannte x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n auftreten. Hierbei sind die Koeffizienten a ij (i = 1...m, j = 1...n) und die Absolutglieder der rechten Seite b i = i = 1, …, m gegeben. Mit den Vektoren a 1 a a ⋮ a 11 12 m1 x x 1 x 1 1 ⎛ a ⎜ = ⎜ ⋮ ⎜ ⎝a 11 m1 + a + a 12 + a 22 x x m2 2 2 x ⎞ ⎟ ⎟, …,a ⎟ ⎠ + … + a n + … + a 2 1n 2n + … + a ⎛ a ⎜ = ⎜ ⋮ ⎜ ⎝a 1n mn x x mn n n x = b n 1 = b 2 = b m ⎞ ⎛ b ⎟ ⎜ ⎟, …,b = ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝b 1 m ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ erhalten wir die vektorielle Darstellung des LGS a1 x1 + a 2x 2 + … + a nx n = b Mit A = ( a , ,a ) 1 ⎛ a11 a12 ⋯ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 ⋯ a 2n ⎟ … n = ⎜ ⎟ und ⋮ ⋮ ⋮ ⎜ ⎟ ⎝a m1 a m2 ⋯ a mn ⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x 2 ⎟ x = ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x m ⎠
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 43 folgt die Matrixdarstellung des LGS A ⋅ x = b Ein LGS heißt homogen, wenn b = b = … = b 0 sind. Andernfalls heißt es inhomogen. 1 2 m = Beispiel 5-1 (Inhomogenes LGS mit 3 Gleichungen für 3 Unbekannte x 1 , x 2 , x 3 ) 4x 2x x 1 1 1 + − + 3x x 2x 2 2 2 − + − x x 2x 3 3 3 = = = −1 5 − 5 mit ⎛4 ⎜ A = ⎜2 ⎜ ⎝ 1 3 −1 2 −1⎞ ⎟ 1⎟; − 2⎟ ⎠ ⎛ x ⎜ x = ⎜ x ⎜ ⎝ x 1 2 3 ⎞ ⎟ ⎟; ⎟ ⎠ ⎛ b ⎜ b = ⎜b ⎜ ⎝ b 1 2 3 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ 5⎟ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝− 5⎠ Definition 5-2 Ein Zahlentupel ( xˆ 1, xˆ 2 ,…, xˆ n ) n ∈ R , welches alle m Gleichungen des LGS erfüllt, heißt Lösung des LGS. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge des LGS. Satz 5-1 Bei homogenen LGS ist jedes Vielfache der Lösung wieder eine Lösung. Satz 5-2 Ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten besitzt bei regulärer Koeffizientenmatrix genau eine Lösung. Satz 5-3 Ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten besitzt bei regulärer Koeffizientenmatrix nur die triviale Lösung x = x = … = x 0 . 1 2 n =
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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 43<br />
folgt die Matrixdarstellung <strong>de</strong>s LGS<br />
A ⋅ x =<br />
b<br />
Ein LGS heißt homogen, wenn b = b = … = b 0 sind. An<strong>de</strong>rnfalls heißt es inhomogen.<br />
1 2<br />
m<br />
=<br />
Beispiel 5-1 (Inhomogenes LGS mit 3 Gleichungen für 3 U<strong>nb</strong>ekannte x 1 , x 2 , x 3 )<br />
4x<br />
2x<br />
x<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+<br />
−<br />
+<br />
3x<br />
x<br />
2x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
−<br />
+<br />
−<br />
x<br />
x<br />
2x<br />
3<br />
3<br />
3<br />
=<br />
=<br />
=<br />
−1<br />
5<br />
− 5<br />
mit<br />
⎛4<br />
⎜<br />
A = ⎜2<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
3<br />
−1<br />
2<br />
−1⎞<br />
⎟<br />
1⎟;<br />
− 2⎟<br />
⎠<br />
⎛ x<br />
⎜<br />
x = ⎜ x<br />
⎜<br />
⎝ x<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟;<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ b<br />
⎜<br />
b = ⎜b<br />
⎜<br />
⎝ b<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⎞ ⎛ −1⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ = ⎜ 5⎟<br />
.<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝−<br />
5⎠<br />
Definition 5-2<br />
Ein Zahlentupel ( xˆ<br />
1,<br />
xˆ<br />
2<br />
,…,<br />
xˆ<br />
n<br />
)<br />
n<br />
∈ R , welches alle m Gleichungen <strong>de</strong>s LGS erfüllt, heißt<br />
Lösung <strong>de</strong>s LGS. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge <strong>de</strong>s LGS.<br />
Satz 5-1<br />
Bei homogenen LGS ist je<strong>de</strong>s Vielfache <strong>de</strong>r Lösung wie<strong>de</strong>r eine Lösung.<br />
Satz 5-2<br />
Ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n U<strong>nb</strong>ekannten besitzt bei regulärer Koeffizientenmatrix<br />
genau eine Lösung.<br />
Satz 5-3<br />
Ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n U<strong>nb</strong>ekannten besitzt bei regulärer Koeffizientenmatrix<br />
nur die triviale Lösung x = x = … = x 0 .<br />
1 2<br />
n<br />
=
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