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38 Definition 4-3 Entfernen wir aus dem Zahlenschema |a ik | die i-te Zeile und die k-te Spalte und rücken die verbleibenden Elemente wieder zu einer Determinante zusammen, so entsteht die zum Element a ik gehörige Unterdeterminante D ik . Sie ist von der Ordnung n-1. Beispiel 4-2 (n = 3): a a a 11 21 31 a a a 12 22 32 a a a 13 23 33 ⇒ D 21 = a a 12 32 a a 13 33 Aus den n 2 Elementen einer n-reihigen Determinante lassen sich n 2 Unterdeterminanten der Ordnung n-1 bilden. Definition 4-4 Unter dem Rang einer Matrix versteht man die höchste Ordnung, die deren nicht verschwindende Unterdeterminanten haben können. Hinweis: Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, sind alle Unterdeterminanten der Ordnung l zu betrachten, wobei l entweder die kleinere der beiden Zahlen m und n für m ≠ n oder l = m = n ist. Ist wenigstens eine dieser Determinanten ≠ 0, so ist der Rang der Matrix A gleich l. Verschwinden sie jedoch alle, dann sind die Unterdeterminanten l - 1 zu betrachten usw. In der praktischen Anwendung ist es jedoch besser, umgekehrt zu verfahren, d.h., von Unterdeterminanten geringerer Ordnung zu denen höherer Ordnung überzugehen, und dabei folgende Regel zu beachten: Hat man eine nicht verschwindende Unterdeterminante k-ter Ordnung gefunden, so sind nur noch die Unterdeterminanten der Ordnung (k + 1) zu betrachten, sich durch Ränderung von D k ergeben D k … ⋮ … ⋮ … D k … … D k … ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ D k Sind dann alle diese Unterdeterminanten der Ordnung (k + 1) gleich Null, dann ist der Rang der Matrix gleich k.
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 39 Beispiel 4-3 Gesucht wird der Rang der Matrix ⎛2 ⎜ ⎜ 1 A = ⎜0 ⎜ ⎝4 − 4 − 2 1 − 7 3 1 −1 4 1 − 4 3 − 4 0⎞ ⎟ 2⎟ 1⎟ ⎟ 5 ⎠ Die Matrix A enthält in der oberen linken Ecke eine Unterdeterminante zweiter Ordnung 2 − 4 D 2 = = 0 . Es existiert jedoch eine Unterdeterminante zweiter Ordnung, die nicht verschwindet: D 2 1 − 2 ′ − 4 3 = = 2 ≠ 0 . Rändern dieser Unterdeterminante links und unten liefert: − 2 1 D 3 2 − 4 3 = 1 − 2 1 = 1 ≠ 0 . Durch Rändern von D 3 erhalten wir 1 0 1 −1 2 − 4 3 1 2 − 4 3 0 1 − 2 1 − 4 ′ 1 − 2 1 2 D 4 = = 0 und D 4 = = 0 0 1 −1 3 0 1 −1 1 4 − 7 4 − 4 4 − 7 4 5 Somit ist der Rang von A gleich 3 Definition 4-5 Es existieren 2n Möglichkeiten zur Berechnung einer n-reihigen Determinante. Entwicklung nach den Elementen der i-ten Zeile (= n Möglichkeiten) n D = ∑( −1) k= 1 i+ k a ik D ik 1 ≤ i ≤ n Entwicklung nach den Elementen der k-ten Spalte (= n Möglichkeiten) n D = ∑( −1) i= 1 i+ k a ik D ik 1 ≤ k ≤ n 1 das ist nur auf zwei verschiedene Arten möglich
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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 39<br />
Beispiel 4-3<br />
Gesucht wird <strong>de</strong>r Rang <strong>de</strong>r Matrix<br />
⎛2<br />
⎜<br />
⎜ 1<br />
A =<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝4<br />
− 4<br />
− 2<br />
1<br />
− 7<br />
3<br />
1<br />
−1<br />
4<br />
1<br />
− 4<br />
3<br />
− 4<br />
0⎞<br />
⎟<br />
2⎟<br />
1⎟<br />
⎟<br />
5<br />
⎠<br />
Die Matrix A enthält in <strong>de</strong>r oberen linken Ecke eine Unter<strong>de</strong>terminante zweiter Ordnung<br />
2 − 4<br />
D 2<br />
= = 0 . Es existiert jedoch eine Unter<strong>de</strong>terminante zweiter Ordnung, die nicht verschwin<strong>de</strong>t:<br />
D 2<br />
1 − 2<br />
′ − 4 3<br />
= = 2 ≠ 0 . Rän<strong>de</strong>rn dieser Unter<strong>de</strong>terminante links und unten liefert:<br />
− 2 1<br />
D 3<br />
2 − 4 3<br />
= 1 − 2 1 = 1 ≠ 0 . Durch Rän<strong>de</strong>rn von D 3 erhalten wir 1<br />
0 1 −1<br />
2 − 4 3 1<br />
2 − 4 3 0<br />
1 − 2 1 − 4<br />
′ 1 − 2 1 2<br />
D 4<br />
= = 0 und D 4<br />
=<br />
= 0<br />
0 1 −1<br />
3<br />
0 1 −1<br />
1<br />
4 − 7 4 − 4<br />
4 − 7 4 5<br />
Somit ist <strong>de</strong>r Rang von A gleich 3<br />
Definition 4-5<br />
Es existieren 2n Möglichkeiten zur Berechnung einer n-reihigen Determinante. Entwicklung<br />
nach <strong>de</strong>n Elementen <strong>de</strong>r i-ten Zeile (= n Möglichkeiten)<br />
n<br />
D = ∑(<br />
−1)<br />
k=<br />
1<br />
i+<br />
k<br />
a<br />
ik<br />
D<br />
ik<br />
1 ≤ i ≤ n<br />
Entwicklung nach <strong>de</strong>n Elementen <strong>de</strong>r k-ten Spalte (= n Möglichkeiten)<br />
n<br />
D = ∑(<br />
−1)<br />
i=<br />
1<br />
i+<br />
k<br />
a<br />
ik<br />
D<br />
ik<br />
1 ≤ k ≤ n<br />
1 das ist nur auf zwei verschie<strong>de</strong>ne Arten möglich
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