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Definition 4-3
Entfernen wir aus dem Zahlenschema |a ik | die i-te Zeile und die k-te Spalte und rücken die
verbleibenden Elemente wieder zu einer Determinante zusammen, so entsteht die zum Element
a ik gehörige Unterdeterminante D ik . Sie ist von der Ordnung n-1.
Beispiel 4-2 (n = 3):
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
⇒
D
21
=
a
a
12
32
a
a
13
33
Aus den n 2 Elementen einer n-reihigen Determinante lassen sich n 2 Unterdeterminanten der
Ordnung n-1 bilden.
Definition 4-4
Unter dem Rang einer Matrix versteht man die höchste Ordnung, die deren nicht verschwindende
Unterdeterminanten haben können.
Hinweis: Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, sind alle Unterdeterminanten der Ordnung
l zu betrachten, wobei l entweder die kleinere der beiden Zahlen m und n für m ≠ n
oder l = m = n ist. Ist wenigstens eine dieser Determinanten ≠ 0, so ist der Rang der Matrix A
gleich l. Verschwinden sie jedoch alle, dann sind die Unterdeterminanten l - 1 zu betrachten
usw. In der praktischen Anwendung ist es jedoch besser, umgekehrt zu verfahren, d.h., von
Unterdeterminanten geringerer Ordnung zu denen höherer Ordnung überzugehen, und dabei
folgende Regel zu beachten: Hat man eine nicht verschwindende Unterdeterminante k-ter
Ordnung gefunden, so sind nur noch die Unterdeterminanten der Ordnung (k + 1) zu betrachten,
sich durch Ränderung von D k ergeben
D k
…
⋮
…
⋮
…
D
k
…
…
D
k
…
⋮
⋯
⋮
⋯
D
k
Sind dann alle diese Unterdeterminanten der Ordnung (k + 1) gleich Null, dann ist der Rang
der Matrix gleich k.