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Besonders einfach ist die Invertierung einer Diagonalmatrix. Aus
⎛a11
0 0 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 a
22
0 ⎟ folgt
⎜
⎟
⎝ 0 0 a
33 ⎠
A
−1
=
⎛ 1
⎜
⎜ a11
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜
0
⎝
0
1
a
22
0
0
0
1
a
33
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Satz 3-6
Es gilt:
−
T 1 −1
a) ( A ) = ( A ) T
−1
−1
b) ( A ) = A
c)
(A ⋅ B)
−1
= B
−1
⋅ A
−1
−1
1
λ
−1
d) ( λA) = A , λ ≠ 0
e)
−
A 1 =
1
A
Satz 3-7
Die inverse Matrix A -1 einer regulären
m × m Matrix A berechnet sich folgendermaßen:
A
−1
=
1
A
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
+ A
− A
+ A
⋮
11
12
13
− A
+ A
− A
⋮
21
22
23
+ A
− A
+ A
( −1)
( −1)
( −1)
m+
1
m+
2
m+
3
( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ 1+
m
−1
A1m
⋯ ⋯ ⋯ A
mm ⎠
⋮
31
32
33
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮
A
A
A
11
11
11
⎞
Satz 3-8
Eine quadratische
m × m Matrix A besitzt dann und nur dann eine Inverse, wenn
a) ihre Determinante von Null verschieden ist,
b) der Rang von A gleich m ist,
c) A regulär ist,
d) die Spalten und Zeilen von A eine Basis im R n bilden.