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Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 35
⎛ a
⎜
⎜a
⎜
⎝a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
⎞ ⎛ x
⎟ ⎜
⎟ ⋅⎜
x
⎟ ⎜
⎠ ⎝ x
11
21
31
x
x
x
12
22
32
x
x
x
13
23
33
⎞ ⎛1
⎟ ⎜
⎟ = ⎜0
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎠
Der obigen Gleichung entsprechen 3 lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung der Koeffizienten
x ij von A -1 :
a
a
a
11
21
31
x
x
x
11
11
11
+ a
+ a
+ a
12
22
32
x
x
x
21
21
21
+ a
+ a
+ a
13
23
33
x
x
x
31
31
31
= 1
= 0
= 0
a
a
a
11
21
31
x
x
x
12
12
12
+ a
+ a
+ a
12
22
32
x
x
x
22
22
22
+ a
+ a
+ a
13
23
33
x
x
x
32
32
32
= 0
= 1
= 0
a
a
a
11
21
31
x
x
x
13
13
13
+ a
+ a
+ a
12
22
32
x
c
x
23
23
23
+ a
+ a
+ a
13
23
33
x
x
x
33
33
33
= 0
= 0
= 1
Satz 3-5
Die Inverse einer oberen (unteren) Dreiecksmatrix ist wieder eine obere (untere) Dreiecksmatrix.
Beispiel 3-3 (obere Dreiecksmatrix, n = 3):
Aus der obigen Gleichung folgt
a
11
x
11
+ a
a
12
22
x
x
21
21
+ a
+ a
a
13
23
33
x
x
x
31
31
31
= 1
= 0
= 0
a
11
x
12
+ a
a
12
22
x
x
22
22
+ a
+ a
a
13
23
33
x
x
x
32
32
32
= 0
= 1
= 0
a
11
x
13
+ a
a
12
22
x
x
23
23
+ a
+ a
a
13
23
33
x
x
x
33
33
33
= 0
= 0
= 1
und durch rekursive Auflösung
x
x
x
31
21
11
= 0
= 0
=
1
a
11
x
x
x
32
22
12
= 0
1
=
a
22
a
= −
a
12
11
x
22
x
x
x
33
23
13
1
=
a
33
a
= −
a
1
= −
a
23
22
11
x
33
( a x + a x )
13
33
12
23
also
A
−1
⎛ x11
⎜
= ⎜ 0
⎜
⎝ 0
x
x
12
22
0
x
x
x
13
23
33
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠