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34 x x 1 2 = 7a 1 = −2a − 3a 1 2 + a 2 die mit ⎛ 7 X = ⎜ ⎝− 2 − 3⎞ ⎟ 1⎠ die Gestalt x = X ⋅ a annimmt. Also haben wir einerseits A ⋅ x = A ⋅ X ⋅ a = a und andererseits so dass offenbar A ⋅ X das a und X ⋅ A das x beim Multiplizieren reproduziert. Durch Ausrechnen bestätigen wir sofort: x = X ⋅ a = X ⋅ A ⋅ x ⎛1 A ⋅ X = X ⋅ A = I = ⎜ ⎝0 0⎞ ⎟ 1⎠ Definition 3-16 Die quadratische von A. Dabei ist A eine reguläre Wir schreiben: m × m Matrix X mit der Eigenschaft X ⋅ A = A ⋅ X = I heißt inverse Matrix m × m Matrix und I die m × m Einheitsmatrix. X = A −1 Definition 3-17 Die Inverse A -1 der Matrix A kann aus der Definitionsgleichung A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I berechnet werden. Beispiel 3-2 Für n = 3 und X = A -1 gilt:
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 35 ⎛ a ⎜ ⎜a ⎜ ⎝a 11 21 31 a a a 12 22 32 a a a 13 23 33 ⎞ ⎛ x ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎜ x ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ x 11 21 31 x x x 12 22 32 x x x 13 23 33 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜0 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝0 0 1 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎠ Der obigen Gleichung entsprechen 3 lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung der Koeffizienten x ij von A -1 : a a a 11 21 31 x x x 11 11 11 + a + a + a 12 22 32 x x x 21 21 21 + a + a + a 13 23 33 x x x 31 31 31 = 1 = 0 = 0 a a a 11 21 31 x x x 12 12 12 + a + a + a 12 22 32 x x x 22 22 22 + a + a + a 13 23 33 x x x 32 32 32 = 0 = 1 = 0 a a a 11 21 31 x x x 13 13 13 + a + a + a 12 22 32 x c x 23 23 23 + a + a + a 13 23 33 x x x 33 33 33 = 0 = 0 = 1 Satz 3-5 Die Inverse einer oberen (unteren) Dreiecksmatrix ist wieder eine obere (untere) Dreiecksmatrix. Beispiel 3-3 (obere Dreiecksmatrix, n = 3): Aus der obigen Gleichung folgt a 11 x 11 + a a 12 22 x x 21 21 + a + a a 13 23 33 x x x 31 31 31 = 1 = 0 = 0 a 11 x 12 + a a 12 22 x x 22 22 + a + a a 13 23 33 x x x 32 32 32 = 0 = 1 = 0 a 11 x 13 + a a 12 22 x x 23 23 + a + a a 13 23 33 x x x 33 33 33 = 0 = 0 = 1 und durch rekursive Auflösung x x x 31 21 11 = 0 = 0 = 1 a 11 x x x 32 22 12 = 0 1 = a 22 a = − a 12 11 x 22 x x x 33 23 13 1 = a 33 a = − a 1 = − a 23 22 11 x 33 ( a x + a x ) 13 33 12 23 also A −1 ⎛ x11 ⎜ = ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 x x 12 22 0 x x x 13 23 33 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
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= 7a<br />
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− 3a<br />
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+ a<br />
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die mit<br />
⎛ 7<br />
X = ⎜<br />
⎝−<br />
2<br />
− 3⎞<br />
⎟<br />
1⎠<br />
die Gestalt<br />
x = X ⋅ a<br />
annimmt. Also haben wir einerseits<br />
A ⋅ x = A ⋅ X ⋅ a = a<br />
und an<strong>de</strong>rerseits<br />
so dass offe<strong>nb</strong>ar<br />
A ⋅ X das a und X ⋅ A das x beim Multiplizieren reproduziert. Durch Ausrechnen<br />
bestätigen wir sofort:<br />
x = X ⋅ a = X ⋅ A ⋅ x<br />
⎛1<br />
A ⋅ X = X ⋅ A = I = ⎜<br />
⎝0<br />
0⎞<br />
⎟<br />
1⎠<br />
Definition 3-16<br />
Die quadratische<br />
von A. Dabei ist A eine reguläre<br />
Wir schreiben:<br />
m × m Matrix X mit <strong>de</strong>r Eigenschaft X ⋅ A = A ⋅ X = I heißt inverse Matrix<br />
m × m Matrix und I die m × m Einheitsmatrix.<br />
X = A<br />
−1<br />
Definition 3-17<br />
Die Inverse A -1 <strong>de</strong>r Matrix A kann aus <strong>de</strong>r Definitionsgleichung<br />
A ⋅ A<br />
−1<br />
= A<br />
−1<br />
⋅ A = I<br />
berechnet wer<strong>de</strong>n.<br />
Beispiel 3-2<br />
Für n = 3 und X = A -1 gilt:
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