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32 Satz 3-4 Der Zeilenrang einer beliebigen Matrix ist immer gleich dem Spaltenrang. Es gilt, dass der Rang von A nie größer ist als das Minimum aus Zeilenzahl und Spaltenzahl: rg(A) ≤ min(m, n) . Andernfalls heißt A singulär. Definition 3-13 Unter der Voraussetzung, dass die Produkte herstellbar sind, gilt für die Matrizenmultiplikation das Assoziativgesetz: ( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) Definition 3-14 Eine Matrix A wird mit einem Faktor λ multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit λ multipliziert wird: bzw.: λ A = λ(a ik ) = ( λa ik ) ⎛ λa ⎜ ⎜ λa λA = Aλ = ⎜ ⋯ ⎜ ⎝ λa 11 21 m1 λa λa λa 12 ⋯ 22 m2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ λa1n ⎞ ⎟ λa 2n ⎟ ⋯ ⎟ ⎟ λa mn ⎠ Definition 3-15 Für das Transponieren von Matrizenprodukten gilt: T T T T ( λ A) = λA , (A ⋅ B) = B ⋅ A T Hinweis: Das Produkt zweier Matrizen kann die Nullmatrix sein, ohne dass einer der beiden Faktoren die Nullmatrix ist. ⎛ 2 ⎜ ⎝ − 3 − 4 6 ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ − 9⎠ ⎜ ⎝ 3 4 2 1 3 6 − 3 2 4 5⎞ ⎟ ⎛ 2 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ − 3 − 4⎠ − 4 6 ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ − 9⎠ ⎜ ⎝ 1 3 2 2 − 4 1 0 − 4 −1 0⎞ ⎟ 5⎟ 1⎟ ⎠ daraus folgt mit dem Distributivgesetz für die Matrizenmultiplikation
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 33 ⎛ 2 ⎜ ⎝ − 3 − 4 6 ⎡⎛ 6⎞ ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎢⎜ − 9⎠ ⎢⎜ ⎣⎝ 3 4 2 1 3 6 − 3 2 4 5⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 0⎟ − ⎜ − 4⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 1 3 2 2 − 4 1 0 − 4 −1 0⎞⎤ ⎟⎥ ⎛0 5⎟⎥ = ⎜ ⎟⎥ ⎝0 1⎠⎦ 0 0 0⎞ ⎟ 0⎠ oder ⎛ 2 ⎜ ⎝ − 3 − 4 6 ⎛2 6⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 1 − 9⎠ ⎜ ⎝0 −1 7 5 − 3 6 5 5⎞ ⎟ ⎛0 − 5⎟ = ⎜ − ⎟ ⎝0 5⎠ 0 0 0⎞ ⎟ 0⎠ Dieses Beispiel zeigt, dass es nicht möglich ist, generell eine Division für Matrizen zu erklären, denn dann könnten wir in der Gleichung ⎛ 2 ⎜ ⎝ − 3 − 4 6 ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ − 9⎠ ⎜ ⎝ 3 4 2 1 3 6 − 3 2 4 5⎞ ⎟ ⎛ 2 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ − 3 − 4⎠ − 4 6 ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ − 9⎠ ⎜ ⎝ 1 3 2 2 − 4 1 0 − 4 −1 0⎞ ⎟ 5⎟ 1⎟ ⎠ durch die von der Nullmatrix verschiedene Matrix ⎛ 2 ⎜ ⎝ − 3 − 4 6 6⎞ ⎟ − 9⎠ dividieren, was offensichtlich zu einem Widerspruch führen würde. 3.1 Die inverse Matrix Wir betrachten zunächst das lineare Gleichungssystem x 2x 1 1 + 3x + 7x 2 2 = a = a 1 2 a 1 , a 2 ∈ R gegeben. In Matrizenschreibweise lässt sich das Gleichungssystem mit Einführung von ⎛1 A = ⎜ ⎝2 3⎞ ⎟, 7⎠ ⎛ x x = ⎜ ⎝ x 1 2 ⎞ ⎟, ⎠ ⎛ a a = ⎜ ⎝a 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ in der Form A ⋅ x = a schreiben. Die Lösung lautet:
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