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30 Definition 3-9 Zwei Matrizen gleicher Dimension werden addiert (subtrahiert), indem ihre entsprechenden Elemente addiert (subtrahiert) werden. C = A ± B ⇔ c = a ± b ( m× n ) ( m× n ) ( m× n ) ij ij ij ; i = 1, …,m, j = 1, …, n Definition 3-10 Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit λ multipliziert wird: B = λ A ( m× n ) ( m× n ) ⇔ b ij = λa ij , i = 1, …,m, j = 1, …, n ⎛ λa ⎜ ⎜ λa B = λA = A = ⎜ ⋯ ⎜ ⎝ λa 11 21 m1 λa λa λa 12 ⋯ 22 m2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ λa1n ⎞ ⎟ λa 2n ⎟ ⋯ ⎟ ⎟ λa mn ⎠ Satz 3-2 Für Matrizen gleicher Dimension gilt: + b) A + ( − A) = 0 a) A 0 = 0 + A = A c) A B = B + A + d) ( A + B) + C = A + ( B + C) = A + B + C e) λ ( A + B) = λA + λB f) ( λ + λ ) = λ A + A Definition 3-11 1 2 A 1 λ 2 Es sei A eine m × n und B eine n × p Matrix, dann gilt für die Produktmatrix C = A⋅ B , dass sie die Dimension m × p hat und dass sich ihre Elemente c ij als Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem j-ten Spaltenvektor von B ergeben: ⎛ a ⎜ T 1 ⎞ ⎟ T ⎜ a 2 ⎟ A = B = ( b1, b 2 ,…,b p ) ( m× n ) ⎜ ⎟ ( n× p) T i ⎜ ⋮ ⎟ T a ⎝ m ⎠ n ∑ c = a b = a b , i = 1,2, …, m ; j = 1,2, …, p ij j k= 1 ik kj

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 31 Beispiel 3-1 ⎛ 2 ⎜ ⎝ − 3 − 4 6 ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ − 9⎠ ⎜ ⎝ 3 4 2 1 3 6 − 3 2 4 5⎞ ⎟ ⎛ 0⎟ = ⎜ − 4⎟ ⎝ ⎠ 2 − 3 26 − 39 10 −15 −14⎞ ⎟ 21⎠ oder auch ⎛ 2 ⎜ ⎝ − 3 − 4 6 ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ − 9⎠ ⎜ ⎝ 1 3 2 2 − 4 1 0 − 4 −1 0⎞ ⎟ ⎛ 5⎟ = ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ 2 − 3 26 − 39 10 −15 −14⎞ ⎟ 21⎠ Für die Matrizenmultiplikation gilt nicht das Kommutativgesetz, d.h., i.a. ist: A ⋅ B ≠ B ⋅ A ⎛1 ⎜ A = ⎜2 ⎜ ⎝2 2 1 3 3⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 3⎟; B = ⎜0 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝1 0 1 0 0⎞ ⎛4 ⎟ ⎜ 2⎟; A ⋅ B = ⎜5 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝3 2 1 3 7⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 5⎟; B⋅ A = ⎜6 7⎟ ⎜ ⎠ ⎝3 2 7 5 3⎞ ⎟ 5⎟. 4⎟ ⎠ Einheitsmatrizen reproduzieren beim Multiplizieren, sie spielen also die Rolle der 1 beim Multiplizieren reeller Zahlen: ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0 1 0 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⋅⎜2 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝2 2 1 3 3⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 3⎟ = ⎜2 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝2 2 1 3 3⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 3⎟ = ⎜2 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝2 2 1 3 3⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⋅⎜0 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝0 0 1 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎠ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0 1 0 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⋅⎜2 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝2 2⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1⎟ = ⎜2 3⎟ ⎜ ⎠ ⎝2 2⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1⎟ = ⎜2 3⎟ ⎜ ⎠ ⎝2 2⎞ ⎟ ⎛1 1⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝0 3⎠ 0⎞ ⎟ 1⎠ Satz 3-3 Es gilt: ⎜ ⎛ A + ⎝ B ⎟ ⎞ ⋅ ⎠ C = A ⋅ C+ B ⋅ C ( m× n ) ( m× n ) ( n× p) ( m× p) ( m× p) A ⋅ ⎜ ⎛ B + ⎝ C ⎟ ⎞ = A ⋅ B+ A ⋅ C ⎠ ( m× n ) ( n× p) ( n× p) ( m× p) ( m× p) Definition 3-12 Der Zeilenrang (Spaltenrang) einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (Spalten) der Matrix.

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