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schreiben können. Geometrisch ist sofort einleuchtend, dass der Vektor a × (b×
c)
in der
durch b und c aufgespannten Ebene liegt, da er zu
b× c orthogonal ist. Für zweifache Vektorprodukte
gilt das Assoziativgesetz nicht:
a × (b×
c) ≠ (a × b) × c
Definition 2-32
Es gilt:
a) ( a × b) ⋅ (c × d) = (a ⋅ c)(b ⋅ d) − (a ⋅ d)(b ⋅ c)
b) (a × b) × (c × d) = [ a,c,d] b − [ b,c,d]
a
= [ a,b,d] c − [ a,b,c]d
c) a × (b×
c) + b×
(c×
a) + c×
(a × b) = 0
d)
2 2 2
( a × b) = a b − (a ⋅
b)
2
Definition 2-33
Zerlegung eines Vektors a in zwei Komponenten, von denen eine parallel zu einem vorgegebenen
Vektor e und die andere Komponente dazu senkrecht steht (Abb. 2-28), also
a ||
= a + a
⊥
Abb. 2-28 Vektorzerlegung parallel und senkrecht zu einer vorgegebenen Richtung
Mit
a ||
= (a ⋅ e) e gilt: a = a − a|| = a − (a ⋅ e)e = (e ⋅ e)a − (a ⋅ e)e = e × (a × e)
⊥
und somit (Abb. 2-28)
a = (a ⋅ e)e + e × (a × e)
|| e
⊥ e