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Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubrandenburg 25
Für a gilt nach Abb. 2-26
a = λ
1a1
+ λ2a
2 + λ3a3
mit noch unbekannten λ 1 ,λ 2 und λ 3 .
a = λ a + λ
1
1
2
a
2
+ λ a
3
3
|(a × a ) ⋅
2
3
(a × a ) ⋅a
= λ (a × a ) ⋅a
2
3
1
2
3
1
Abb. 2-26 Zerlegung eines Vektors im Raum
λ
1
=
[ a 2,a
3,a]
[ a ,a ,a ]
2
3
1
=
[ a,a 2,a3]
[ a ,a ,a ]
1
2
3
Entsprechend folgen λ 2 und λ 3 und somit insgesamt
λ
1
=
[ a,a 2,a3]
[ a ,a ,a ]
1
2
3
;
λ
2
=
[ a1,a,a3]
[ a ,a ,a ]
1
2
3
;
λ
3
=
[ a1,a
2,a]
[ a ,a ,a ]
1
2
3
Wenn die Vektoren a 1 , a 2 und a 3 komplanar sind, so gilt [a 1 , a 2 , a 3 ] = 0, und eine Zerlegung ist
in diesem Falle nicht möglich. Sind mehr als drei Richtungen vorgegeben, so ist die Zerlegung
nicht eindeutig.
Definition 2-31 (Mehrfache Produkte)
Für vektorielle Produkte aus drei Vektoren gilt die
Beziehung
a × (b×
c) = (a ⋅c)b
− (a ⋅b)c
wofür wir auch unter Berücksichtigung von
a × (b×
c) =
b c
y
z
e
a
x
x
− b c
z
y
b c
z
x
e
a
y
y
− b
x
c
z
b c
x
y
e
a
z
z
− b c
y
x
Abb. 2-27 Das zweifache Vektorprodukt
=
e
e
e
[ a
y(bxcy
− bycx
) − a
z(bzcx
− bxcz
)]
y[ a
z
(bycz
− bzcy)
− a
x
(bxcy
− bycx
)]
[ a (b c − b c ) − a (b c − b c )]
x
z
x
z
x
x
z
y
y
z
z
y
+
+
und damit
a × (b×
c) = e
e
e
x
y
z
[ a
y
(bxcy
− bycx
) − a
z
(bzcx
− bxcz
)]
[ a
z
(bycz
− bzcy)
− a
x
(bxcy
− bycx
[ a (b c − b c ) − a (b c − b c )]
x
z
x
x
z
y
y
z
z
y
+
+