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[ a ,a ,a ][ b ,b ,b ]
1
2
3
1
2
3
=
a ⋅ b
a
a
1
2
3
1
⋅ b
1
⋅ b
1
a ⋅ b
a
a
1
2
3
2
⋅b
⋅ b
2
2
a ⋅ b
a
a
1
2
3
3
⋅b
⋅b
3
3
nach, die für = a ,b = a ,b a , in die Form
b1 1 2 2 3
=
3
[ a ,a ,a ]
1
2
2
3
=
a ⋅ a
a
a
1
2
3
1
⋅a
⋅a
1
1
a ⋅a
a
a
1
2
3
⋅a
⋅ a
2
2
2
a ⋅ a
a
a
1
2
3
⋅a
3
⋅a
3
3
übergeht. Der Beweis erfolgt durch Ausrechnen mit { a ,a , }
a = usw.
1 1x 1y
a 1z
Definition 2-29
Zerlegung eines Vektors in der Ebene nach zwei Richtungen. Der Vektor a in Abb. 2-25 soll in
die vorgegebenen Richtungen a 1 und a 2 zerlegt werden, also a = λ a1
+ λ 2 mit noch unbekannten
λ
und λ .
1 2
1 2a
( a × a ) ⋅ ( a × a ) = λ ( a × a ) 2
2
a × a
1
a = λ a + λ
2
2
1
1
1
1
= λ a × a
1
1
2
2
2
a
2
| ⋅
( a × a )
1
| × a
2
2
Abb. 2-25 Zerlegung eines Vektors in der Ebene
und damit
λ
1
=
( a × a
2
) ⋅( a1
× a
2
)
( a × a ) 2
entsprechend erhalten wir λ
2
und damit insgesamt
1
2
λ
1
=
( a × a 2 ) ⋅ ( a1
× a 2 )
2
( a × a )
1
2
;
λ
2
=
( a1
× a) ⋅ ( a1
× a 2 )
( a × a ) 2
1
2
Wenn a 1 und a 2 parallel sind, so ist × a 0 , in diesem Falle ist keine Zerlegung möglich.
a1 2 =
Sind in der Ebene mehr als zwei Richtungen vorgegeben, so ist die Zerlegung nicht eindeutig.
Definition 2-30
Zerlegung eines Vektors im Raum nach drei vorgegebenen Richtungen.