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Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubrandenburg 19
a ⋅ b =
( a e + a e + a e ) ⋅ ( b e + b e + b e )
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
=
a
a
a
x
y
z
b
b
b
x
x
x
e
e
e
x
y
z
⋅ e
⋅ e
⋅ e
x
x
x
+ a
+ a
+ a
x
y
z
b
b
b
y
y
y
e
e
e
x
y
z
⋅ e
⋅ e
⋅ e
y
y
y
+ a
+ a
x
y
+ a
b
b
z
z
z
b
e
e
z
x
y
e
⋅ e
⋅ e
z
z
z
⋅ e
+
+
z
und damit
a ⋅ b = a b + a b + a
x
x
y
y
z
b
z
cosϕ
=
a
2
x
a
x
b
+ a
x
2
y
+ a
+ a
y
2
z
b
y
b
+ a
2
x
z
b
+ b
z
2
y
+ b
2
z
Insbesondere gilt:
2
a ⋅ a = a = a + a + a = a = a
2
x
2
y
2
z
2
2
Definition 2-23
Die Orthogonalitätsbedingung für zwei Vektoren ( ,b 0)
a ≠ :
a
x
bx
+ a
yby
+ a
zbz
= 0
Definition 2-24
Projektion eines Vektors auf eine vorgegebene Richtung
Wir entnehmen der Abb. 2-20:
0 b b abcosϕ
a b = a
b
b = a cosϕ
= b
2
b b b
bzw.
a ⋅ b
= b
b
a
b 2
Abb. 2-20 Projektion von a auf die Richtung von b
und damit der Betrag des Vektors a
b
a
b
=
a
b
b abcosϕ
= a cosϕ
= =
b
2
b
a ⋅ b
b
2
Liegt statt b ein Einheitsvektor e vor, so ist wegen e = 1
a e
= ( a ⋅e)e