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Ein beliebiger Vektor a kann dann sowohl auf die Basis e x , e y , e z als auch auf die Basis e r , e ϕ ,
e z bezogen werden. Statt
ist dann
a = a x e x + a y e y + a z e z = {a x , a y , a z }
a = a
r
e
r
+ a
ϕ
eϕ
+ a z
e z =
{ a ,a , a }
r
ϕ
z
zu schreiben, und für den Betrag des Vektors a erhalten wir:
2 2
a = a = a
r
+ a
ϕ
+
a
2
z
Mit den obigen Gleichungen folgt dann
und umgekehrt:
a
a
a
r
ϕ
a
a
z
a
x
y
z
=
a
= −a
=
a
= a
= a
= a
r
r
z
x
z
x
cosϕ + a
sin ϕ + a
cosϕ − a
sin ϕ + a
y
ϕ
ϕ
y
sin ϕ
cosϕ
sin ϕ
cosϕ
Dabei ist zu beachten, dass ein Vektor a, je nachdem welchem Punkt im Raum wir ihn zuordnen,
zwar stets die gleichen Koordinaten a x , a y , a z , jedoch jeweils andere Koordinaten a r , a ϕ
besitzt, da die Einheitsvektoren e r und e ϕ von ϕ abhängen (Abb. 2-16).
Abb. 2-16 Abhängigkeit des Vektors a von den Einheitsvektoren