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Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubrandenburg 13
Beispiel 2-4
n = 4, λ1,λ
2,λ
3,λ
4
≠ 0; a1,a
2,a
3
linear unabhängig
Im dreidimensionalen Raum gilt der
Satz 2-1
Mehr als 3 Vektoren sind stets linear abhängig. Zwischen 4 beliebigen Vektoren besteht also
immer eine Beziehung
λ
1
a1
+ λ
2
a
2
+ λ3a
3
+ λ
4
a
4
= 0
Beispiel 2-5
Sind a
1,a
2
, a
3
drei linear unabhängige Vektoren,
so lässt sich jeder beliebige Vektor des
dreidimensionalen Raumes durch Linearkombination
in a
1,a
2
, a
3
darstellen, also:
a
r
= l a + l a + l
1
1
2
2
3
a
3
Abb. 2-11 Basissystem im räumlichen Fall
Satz 2-2
Drei linear unabhängige Vektoren bilden im Raum ein Basissystem
Hinweis: Die zahlenmäßige Darstellung vektorieller Größen muss so erfolgen, dass wir verschiedene
Vektoren auch ohne geometrische Anschauung miteinander vergleichen können.
Dazu müssen wir im Raum ein Basissystem vorgeben. Da je drei beliebige, linear unabhängige
Vektoren eine Basis bilden, gibt es für die Darstellung ein und derselben vektoriellen Größe
unendlich viele verschiedene Möglichkeiten. Im Unterschied dazu ist die zahlenmäßige
Angabe einer skalaren Größe von der Wahl des Bezugssystems unabhängig.
Definition 2-12
Ist die Basis durch die Vektoren
g
1
,g
2
,g
3
gegeben, so heißt die Gleichung
a = a +
1g
+ a
1 2
g a
2 3g
3