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bilden lässt. Andernfalls sind die Vektoren linear abhängig. Lineare Abhängigkeit bedeutet
also, dass die obige Gleichung für wenigstens einen nicht verschwindenden Skalar λ i erfüllt
ist und damit nach einem Vektor aufgelöst werden kann. Unterstellen wir λ 1
≠ 0 , erhalten wir
a 1 als Linearkombination, Überlagerung oder Superposition:
a
λ
λ
2 3
n
1
= − a
2
− a
3
− .... − a
n
λ1
λ1
λ1
λ
Die geometrische Bedeutung der linearen Abhängigkeit erkennen wir aus den folgenden Beispielen.
Beispiel 2-2 = 2 λ , λ 0
n
1 2
≠
Abb. 2-9 Kollineare Vektoren
Aus λ1a1 + λ2a2 = 0 folgt, dass a 1 und a 2 ein
und derselben Geraden parallel sind. Die Vektoren
a 1 und a 2 heißen dann kollinear. Alle Vektoren,
die zu einer Geraden (der Wirkungslinie
von a 1 ) parallel sind, lassen sich in der Form
ag =λa
1 darstellen (Abb. 2-9).
Beispiel 2-3
n
1 2 3
≠
1 2
= 3, λ , λ , λ 0; a ,a linearunabhängig . Aus λ + λ a + λ a 0 folgt,
dass a 1 , a 2 , a 3 in einer Ebene liegen. Wir sagen: a 1 , a 2 , a 3 sind komplanar 1 .
1
a1
2 2 3 3
=
Definition 2-11
Jeder Vektor, der zu derjenigen Ebene parallel ist, die durch die beiden linear unabhängigen
Vektoren a 1 und a 2 aufgespannt wird, lässt sich in der Form a
e
= l
1a1
+ l
2
a
2
darstellen (Abb. 2-10)
Abb. 2-10 Komplanare Vektoren
1 zu lat. complanare = einebnen