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10 Es bedeuten weiterhin: λ = 1: Der Vektor a bleibt unverändert. λ = 0: Es entsteht ein Vektor vom Betrag 0, der Null-Vektor, der keine bestimmte Richtung hat. λ = -1: Der Richtungssinn von a wird umgekehrt. Zwei parallele Vektoren können sich damit nur um einen skalaren Faktor unterscheiden. Definition 2-7 Ein Einheitsvektor e ist durch e = 1 definiert. Zu jedem Vektor a kann damit ein gleichgerichteter Einheitsvektor gefunden werden (Abb. 2-5) Abb. 2-5 Der Einheitsvektor Da 1 a a 1 a den Betrag a = = 1 hat, gilt: a a a 0 = a a Jeder Vektor lässt sich somit in der Form Betrag mal zugehöriger Einheitsvektor darstellen: 0 a = a a Definition 2-8 Abb. 2-6 Vektoraddition, Parallelogrammgesetz Zwei Vektoren a und b wird durch den Operator „+“ ein neuer Vektor zugeordnet, den man die Vektorsumme von a und b nennt. Zur Bildung von a und b wird b durch Parallelverschiebung im Endpunkt von a angetragen. Der Vektor a + b weist vom Anfangspunkt von a zum Endpunkt von b.
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubrandenburg 11 Entsprechend Abb. 2-6 lässt sich die Vektorsumme auch derart bilden, dass der Vektor a durch Parallelverschiebung im Endpunkt von b angetragen wird. Der Vektor a + b weist vom Anfangspunkt von b zum Endpunkt von a. Abb. 2-7 Subtraktion von Vektoren Auf diese Weise entsteht ein Parallelogramm mit den orientierten Seiten a und b und der orientierten Diagonalen a + b, das in der Mechanik die Anwendung beim Kräfteparallelogramm findet. In entsprechender Weise lässt sich die Differenz a − b = a + ( −b) bilden. Definition 2-9 Es gilt: a) a − a = 0 b) a + b = b + a c) (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Assoziativ-Gesetz (Abb. 2-8) Abb. 2-8 Assoziativgesetz der Addition Definition 2-10 Mit n Vektoren a , und mit den Koeffizienten λ λ , λ ,...., , welche als reelle 1,a 2,a 3,... a n 1, 2 3 λ n Zahlen variabel sind, können wir eine lineare Schar von Vektoren bilden: λ 1a1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 + ...... + λ n a n Wir nennen n Vektoren linear unabhängig, wenn sich aus ihnen durch Linearkombination der Nullvektor λ 1 a1 + λ 2 a 2 + λ 3a 3 + ...... + λ n a n = 0 nur durch λ = ..... = λ n 1 = λ 2 = λ 3 = 0
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10<br />
Es be<strong>de</strong>uten weiterhin:<br />
λ = 1: Der Vektor a bleibt unverän<strong>de</strong>rt.<br />
λ = 0: Es entsteht ein Vektor vom Betrag 0, <strong>de</strong>r Null-Vektor, <strong>de</strong>r keine bestimmte<br />
Richtung hat.<br />
λ = -1: Der Richtungssinn von a wird umgekehrt.<br />
Zwei parallele Vektoren können sich damit nur um einen skalaren Faktor unterschei<strong>de</strong>n.<br />
Definition 2-7<br />
Ein Einheitsvektor e ist durch e = 1 <strong>de</strong>finiert. Zu je<strong>de</strong>m Vektor a kann damit ein gleichgerichteter<br />
Einheitsvektor gefun<strong>de</strong>n wer<strong>de</strong>n (Abb. 2-5)<br />
Abb. 2-5 Der Einheitsvektor<br />
Da<br />
1<br />
a<br />
a<br />
1 a<br />
<strong>de</strong>n Betrag a = = 1 hat, gilt: a<br />
a a<br />
0 =<br />
a<br />
a<br />
Je<strong>de</strong>r Vektor lässt sich somit in <strong>de</strong>r Form Betrag mal zugehöriger Einheitsvektor darstellen:<br />
0<br />
a = a a<br />
Definition 2-8<br />
Abb. 2-6 Vektoraddition, Parallelogrammgesetz<br />
Zwei Vektoren a und b wird durch <strong>de</strong>n Operator<br />
„+“ ein neuer Vektor zugeordnet, <strong>de</strong>n<br />
man die Vektorsumme von a und b nennt.<br />
Zur Bildung von a und b wird b durch Parallelverschiebung<br />
im Endpunkt von a angetragen.<br />
Der Vektor a + b weist vom Anfangspunkt<br />
von a zum Endpunkt von b.
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