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1<br />
Mathematische<br />
Hilfsmittel
2<br />
Lateinische Schrift<br />
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w<br />
x y z ß ä ö ü<br />
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T<br />
U V W X Y Z Ä Ö Ü<br />
Griechische Schrift<br />
α β γ δ ε ς η ϑ ι κ λ µ<br />
Alpha<br />
Beta Gamma<br />
Delta<br />
Epsilon<br />
Zeta Eta<br />
Theta Jota Kappa Lambda<br />
My<br />
ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω<br />
Ny<br />
Ksi<br />
Omikron<br />
Pi<br />
Rho<br />
Sigma Tau Ypsilon<br />
Phi Chi Psi<br />
Omega<br />
Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ<br />
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Jota Kappa Lambda My<br />
Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω<br />
Ny Ksi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 3<br />
1 Lineare Algebra<br />
1.1 Mengen<br />
Definition 1-1<br />
Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterschie<strong>de</strong>ner Objekte unserer Anschauung<br />
o<strong>de</strong>r unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte wer<strong>de</strong>n Elemente <strong>de</strong>r Menge genannt.<br />
Definition 1-2<br />
Die leere Menge Ø ist eine Menge, die kein Element enthält.<br />
Definition 1-3<br />
Die Mengen A und B heißen gleich, wenn je<strong>de</strong>s Element von A auch Element von B ist und<br />
umgekehrt.<br />
Definition 1-4<br />
B ist eine Teilmenge von A, wenn je<strong>de</strong>s Element von B auch Element von A ist: B ⊆ A.<br />
Definition 1-5<br />
Die Vereinigungsmenge von A und B (A ∪ B) ist die Menge, die aus allen Elementen besteht,<br />
die zu A o<strong>de</strong>r B, o<strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n gehören.<br />
Zahlenmengen<br />
Menge <strong>de</strong>r natürlichen Zahlen ÍN = {1,2,3...}<br />
Menge <strong>de</strong>r ganzen Zahlen ÙZ = {...-2,-1,0,1,2..}<br />
Menge <strong>de</strong>r rationalen Zahlen ÐQ = { q<br />
p |p ∈ Z und q∈ Z}<br />
Die Menge <strong>de</strong>r reellen Zahlen R besteht aus <strong>de</strong>n rationalen Zahlen und <strong>de</strong>n irrationalen Zahlen.
4<br />
1.2 Koordinaten<br />
Definition 1-6<br />
Koordinaten 1 dienen dazu, Punkte in <strong>de</strong>r Ebene o<strong>de</strong>r im Raum festzulegen. Dazu ist ein Koordinatensystem<br />
erfor<strong>de</strong>rlich. Das am häufigsten verwen<strong>de</strong>te ist das kartesische 2 (rechtwinklige)<br />
Koordinatensystem. Im einfac<strong>hs</strong>ten Fall, <strong>de</strong>r Ebene, besteht es aus zwei zueinan<strong>de</strong>r senkrechten<br />
Zahlengera<strong>de</strong>n, <strong>de</strong>n Koordinatenac<strong>hs</strong>en, die sich im Nullpunkt schnei<strong>de</strong>n. Sie bil<strong>de</strong>n<br />
das Ac<strong>hs</strong>enkreuz. Der gemeinsame Ursprung wird Nullpunkt o<strong>de</strong>r Koordinatenanfangspunkt<br />
genannt (Abb. 1-1).<br />
Definition 1-7<br />
Abb. 1-1 Kartesische Koordinaten eines Punktes P<br />
Abb. 1-2: Räumliche kartesische Koordinaten<br />
Im Fall räumlich kartesischer Koordinaten<br />
ist die Orientierung <strong>de</strong>r Ac<strong>hs</strong>en ist wie folgt<br />
festgelegt: Schauen wir gegen die z-Richtung<br />
(also von oben), so geht die positive x-Ac<strong>hs</strong>e<br />
durch eine Linksdrehung um 90° in die positive<br />
y-Ac<strong>hs</strong>e über. Die drei Ac<strong>hs</strong>en bil<strong>de</strong>n ein<br />
Rechtssystem. Je zwei Ac<strong>hs</strong>en spannen eine<br />
Ebene im Raum auf, diese bil<strong>de</strong>n ein ebenes<br />
kartesisches Koordinatensystem. Es gibt die<br />
x-y-Ebene, die x-z-Ebene und die y-z-Ebene<br />
(Abb. 1-2)<br />
1 zu kon ... und lat. ordinare = ordnen, also etwa ›einan<strong>de</strong>r Zugeordnete‹<br />
2 René Descartes, latinisiert Renatus Cartesius, frz. Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler, 1596-<br />
1650
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 5<br />
Abb. 1-3: Ebene Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten<br />
Definition 1-8<br />
Das ebene Polarkoordinatensystem besteht<br />
aus einem Punkt 0 (<strong>de</strong>m Pol) <strong>de</strong>r Ebene und<br />
einem von 0 ausgehen<strong>de</strong>n Fahrstrahl, <strong>de</strong>r Polarac<strong>hs</strong>e.<br />
Die Darstellung eines Punktes P<br />
erfolgt durch das ebene Polarkoordinatenpaar<br />
(r, ϕ), wobei r <strong>de</strong>r Abstand von P zum 0-<br />
Punkt und ϕ <strong>de</strong>r Winkel ist, <strong>de</strong>n die x-Ac<strong>hs</strong>e<br />
mit <strong>de</strong>m Fahrstrahl 0-P einschließt (Abb. 1-3).<br />
Definition 1-9<br />
Im räumlichen Zylin<strong>de</strong>rkoordinatensystem<br />
(Abb. 1-4) sind die Koordinatenflächen einmal<br />
die zur z-Ac<strong>hs</strong>e senkrechten Ebenen<br />
(z = konst.), die von <strong>de</strong>r z-Ac<strong>hs</strong>e ausgehen<strong>de</strong>n<br />
Halbebenen (ϕ = konst.) und die Zylin<strong>de</strong>rflächen,<br />
<strong>de</strong>ren Ac<strong>hs</strong>e die z-Ac<strong>hs</strong>e ist<br />
(r = konst.).<br />
Abb. 1-4: Räumliche Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten<br />
Definition 1-10<br />
Im räumlichen Polarkoordinatensystem ist neben einem Punkt 0 als Pol und einer von 0<br />
ausgehen<strong>de</strong>n Polarac<strong>hs</strong>e eine Ebene (Polarebene) angegeben, die die Polarac<strong>hs</strong>e enthält.<br />
Abb. 1-5: Räumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)
6<br />
Ein Punkt im Raum wird durch das Tripel (r, ϕ, ϑ) ein<strong>de</strong>utig bestimmt. Dabei ist r <strong>de</strong>r Abstand<br />
<strong>de</strong>s Punktes P vom Punkt 0, ϕ <strong>de</strong>r Winkel zwischen <strong>de</strong>r Polarac<strong>hs</strong>e und <strong>de</strong>r Projektion<br />
<strong>de</strong>r Strecke 0 P in die x-y- Ebene und ϑ <strong>de</strong>r Winkel zwischen 0P<br />
und <strong>de</strong>m von 0 ausgehen<strong>de</strong>n,<br />
auf <strong>de</strong>r x-y-Ebene senkrecht stehen<strong>de</strong>n Strahl, <strong>de</strong>r zusammen mit <strong>de</strong>r Polarac<strong>hs</strong>e ein<br />
Rechtssystem bil<strong>de</strong>t.<br />
Definition 1-11<br />
Unter einer Koordinatentransformation 1 wird <strong>de</strong>r Übergang von einem Koordinatensystem<br />
mit <strong>de</strong>n Koordinaten zu einem an<strong>de</strong>ren Koordinatensystem mittels Transformationsgleichungen<br />
verstan<strong>de</strong>n.<br />
Definition 1-12<br />
Transformation ebener kartesischer Koordinaten bei einer Parallelverschiebung <strong>de</strong>s Koordinatensystems<br />
(Abb. 1-6).<br />
x = u − b<br />
y = v − a<br />
⇔<br />
u = x + b<br />
v = y + a<br />
Abb. 1-6: Parallelverschiebung kartesischer Koordinaten<br />
Definition 1-13<br />
Transformation ebener kartesischer Koordinaten bei einer Drehung <strong>de</strong>s Koordinatensystems<br />
(Abb. 1-7).<br />
x = u cos ϕ − vsin ϕ<br />
y = u sin ϕ + vcos ϕ<br />
⇔<br />
u = x cos ϕ + ysin ϕ<br />
v = −x sin ϕ + ycos ϕ<br />
1 lat. transferre = hinübertragen, hinüberbringen
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 7<br />
Abb. 1-7: Drehung eines kartesischen Koordinatensystems<br />
Definition 1-14<br />
Transformation kartesischer Koordinaten in räumliche Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten<br />
x = r cosϕ<br />
y = r sin ϕ<br />
z = z<br />
r =<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
y<br />
ϕ = arctan<br />
x<br />
z = z<br />
2<br />
Abb. 1-8: Räumliche Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten, ebene Polarkoordinaten und z-Richtung<br />
Definition 1-15<br />
Transformation kartesischer Koordinaten in räumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)<br />
x = rcosϕsin<br />
ϑ<br />
y = rsin ϕsin<br />
ϑ<br />
z = rcosϑ<br />
r =<br />
ϕ =<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
y<br />
arctan<br />
x<br />
ϑ = arctan<br />
2<br />
+ z<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
z<br />
2<br />
2<br />
Definitionsbereiche:<br />
0 ≤ r ≤ ∞<br />
− π < ϕ ≤ π<br />
0 ≤ ϑ ≤ π
8<br />
Abb. 1-9 Räumliche Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten<br />
2 Definitionen und Rechenregeln für Vektoren<br />
Definition 2-1<br />
Ein Skalar 1 ist eine reelle Zahl.<br />
Definition 2-2<br />
Ein Vektor 2 entspricht einer physikalischen Größe, die einen Betrag und eine Richtung hat 3 .<br />
Eine Vektorgröße kann zur geometrischen Interpretation durch einen Pfeil dargestellt wer<strong>de</strong>n,<br />
<strong>de</strong>ssen Länge <strong>de</strong>n Betrag und <strong>de</strong>ssen Spitze die Richtung und die Orientierung angibt. Beispiele<br />
für vektorielle physikalische Größen sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung. Die<br />
Definition zeigt, dass für die Angabe einer vektoriellen Größe mehr als eine Zahl erfor<strong>de</strong>rlich<br />
ist und dass sich eine vektorielle Größe beim Übergang in ein an<strong>de</strong>res Koordinatensystem in<br />
bestimmter Weise transformiert.<br />
Definition 2-3<br />
Abb. 2-1 Freie Vektoren<br />
Abb. 2-2 Linienflüchtige Vektoren<br />
1 zu lat. scalaris = zur Leiter, Treppe gehörig<br />
2 lat. vector = Träger, Fahrer, zu lat. vehere = fahren<br />
3 William Rowan Hamilton, irischer Mathematiker und Physiker, 1805-1865
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 9<br />
Aus <strong>de</strong>r Definition geht hervor, dass sich ein Vektor bei <strong>de</strong>r Parallelverschiebung nicht än<strong>de</strong>rt<br />
(Abb. 2-1). Diese Vektoren wer<strong>de</strong>n als freie Vektoren bezeichnet. Ein linienflüchtiger Vektor<br />
(Abb. 2-2) darf nur längs seiner Wirkungslinie verschoben wer<strong>de</strong>n (eingeschränkte Parallelverschiebung).<br />
Abb. 2-3 Gebun<strong>de</strong>ner Vektor<br />
Definition 2-4<br />
Ein gebun<strong>de</strong>ner Vektor hat einen festen<br />
Anfangspunkt P, er darf überhaupt nicht verschoben<br />
wer<strong>de</strong>n (Abb. 2-3).<br />
Beispiel 2-1<br />
Freier Vektor:<br />
Linienflüchtiger Vektor:<br />
Gebun<strong>de</strong>ner Vektor:<br />
An einem starren Körper angreifen<strong>de</strong>s Drehmoment.<br />
An einem starren Körper angreifen<strong>de</strong> Kraft.<br />
Ortsvektor, an einem <strong>de</strong>formierbaren Körper angreifen<strong>de</strong><br />
Kräfte und Momente.<br />
Definition 2-5<br />
Die Länge eines Vektors ist sein Betrag, und wir schreiben: a = a ≥ 0<br />
Definition 2-6<br />
Abb. 2-4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar<br />
Ist a ein Vektor und λ eine reelle Zahl, so bezeichnet das Symbol λa einen Vektor mit folgen<strong>de</strong>n<br />
Eigenschaften (Abb. 2-4):<br />
1. Der Vektor λa ist parallel zu a<br />
2. λ > 0 ⇒ a und λa sind gleichgerichtet<br />
3. λ < 0 ⇒ a und λa sind entgegengesetzt gerichtet<br />
4. Der Betrag von λa ist: λ a = λ a
10<br />
Es be<strong>de</strong>uten weiterhin:<br />
λ = 1: Der Vektor a bleibt unverän<strong>de</strong>rt.<br />
λ = 0: Es entsteht ein Vektor vom Betrag 0, <strong>de</strong>r Null-Vektor, <strong>de</strong>r keine bestimmte<br />
Richtung hat.<br />
λ = -1: Der Richtungssinn von a wird umgekehrt.<br />
Zwei parallele Vektoren können sich damit nur um einen skalaren Faktor unterschei<strong>de</strong>n.<br />
Definition 2-7<br />
Ein Einheitsvektor e ist durch e = 1 <strong>de</strong>finiert. Zu je<strong>de</strong>m Vektor a kann damit ein gleichgerichteter<br />
Einheitsvektor gefun<strong>de</strong>n wer<strong>de</strong>n (Abb. 2-5)<br />
Abb. 2-5 Der Einheitsvektor<br />
Da<br />
1<br />
a<br />
a<br />
1 a<br />
<strong>de</strong>n Betrag a = = 1 hat, gilt: a<br />
a a<br />
0 =<br />
a<br />
a<br />
Je<strong>de</strong>r Vektor lässt sich somit in <strong>de</strong>r Form Betrag mal zugehöriger Einheitsvektor darstellen:<br />
0<br />
a = a a<br />
Definition 2-8<br />
Abb. 2-6 Vektoraddition, Parallelogrammgesetz<br />
Zwei Vektoren a und b wird durch <strong>de</strong>n Operator<br />
„+“ ein neuer Vektor zugeordnet, <strong>de</strong>n<br />
man die Vektorsumme von a und b nennt.<br />
Zur Bildung von a und b wird b durch Parallelverschiebung<br />
im Endpunkt von a angetragen.<br />
Der Vektor a + b weist vom Anfangspunkt<br />
von a zum Endpunkt von b.
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 11<br />
Entsprechend Abb. 2-6 lässt sich die Vektorsumme auch <strong>de</strong>rart bil<strong>de</strong>n, dass <strong>de</strong>r Vektor a durch<br />
Parallelverschiebung im Endpunkt von b angetragen wird. Der Vektor a + b weist vom Anfangspunkt<br />
von b zum Endpunkt von a.<br />
Abb. 2-7 Subtraktion von Vektoren<br />
Auf diese Weise entsteht ein Parallelogramm<br />
mit <strong>de</strong>n orientierten Seiten a und b und <strong>de</strong>r<br />
orientierten Diagonalen a + b, das in <strong>de</strong>r Mechanik<br />
die Anwendung beim Kräfteparallelogramm<br />
fin<strong>de</strong>t. In entsprechen<strong>de</strong>r Weise<br />
lässt sich die Differenz a − b = a + ( −b) bil<strong>de</strong>n.<br />
Definition 2-9<br />
Es gilt:<br />
a) a − a = 0<br />
b) a + b = b + a<br />
c) (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Assoziativ-Gesetz (Abb. 2-8)<br />
Abb. 2-8 Assoziativgesetz <strong>de</strong>r Addition<br />
Definition 2-10<br />
Mit n Vektoren a , und mit <strong>de</strong>n Koeffizienten λ λ , λ ,...., , welche als reelle<br />
1,a<br />
2,a<br />
3,...<br />
a<br />
n<br />
1, 2 3<br />
λ<br />
n<br />
Zahlen variabel sind, können wir eine lineare Schar von Vektoren bil<strong>de</strong>n:<br />
λ<br />
1a1<br />
+ λ<br />
2<br />
a<br />
2<br />
+ λ<br />
3<br />
a<br />
3<br />
+ ...... + λ<br />
n<br />
a<br />
n<br />
Wir nennen n Vektoren linear unabhängig, wenn sich aus ihnen durch Linearkombination<br />
<strong>de</strong>r Nullvektor<br />
λ<br />
1<br />
a1<br />
+ λ<br />
2<br />
a<br />
2<br />
+ λ<br />
3a<br />
3<br />
+ ...... + λ<br />
n<br />
a<br />
n<br />
= 0<br />
nur durch<br />
λ<br />
= ..... = λ<br />
n<br />
1<br />
= λ<br />
2<br />
= λ<br />
3<br />
=<br />
0
12<br />
bil<strong>de</strong>n lässt. An<strong>de</strong>rnfalls sind die Vektoren linear abhängig. Lineare Abhängigkeit be<strong>de</strong>utet<br />
also, dass die obige Gleichung für wenigstens einen nicht verschwin<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n Skalar λ i erfüllt<br />
ist und damit nach einem Vektor aufgelöst wer<strong>de</strong>n kann. Unterstellen wir λ 1<br />
≠ 0 , erhalten wir<br />
a 1 als Linearkombination, Überlagerung o<strong>de</strong>r Superposition:<br />
a<br />
λ<br />
λ<br />
2 3<br />
n<br />
1<br />
= − a<br />
2<br />
− a<br />
3<br />
− .... − a<br />
n<br />
λ1<br />
λ1<br />
λ1<br />
λ<br />
Die geometrische Be<strong>de</strong>utung <strong>de</strong>r linearen Abhängigkeit erkennen wir aus <strong>de</strong>n folgen<strong>de</strong>n Beispielen.<br />
Beispiel 2-2 = 2 λ , λ 0<br />
n<br />
1 2<br />
≠<br />
Abb. 2-9 Kollineare Vektoren<br />
Aus λ1a1 + λ2a2 = 0 folgt, dass a 1 und a 2 ein<br />
und <strong>de</strong>rselben Gera<strong>de</strong>n parallel sind. Die Vektoren<br />
a 1 und a 2 heißen dann kollinear. Alle Vektoren,<br />
die zu einer Gera<strong>de</strong>n (<strong>de</strong>r Wirkungslinie<br />
von a 1 ) parallel sind, lassen sich in <strong>de</strong>r Form<br />
ag =λa<br />
1 darstellen (Abb. 2-9).<br />
Beispiel 2-3<br />
n<br />
1 2 3<br />
≠<br />
1 2<br />
= 3, λ , λ , λ 0; a ,a linearunabhängig . Aus λ + λ a + λ a 0 folgt,<br />
dass a 1 , a 2 , a 3 in einer Ebene liegen. Wir sagen: a 1 , a 2 , a 3 sind komplanar 1 .<br />
1<br />
a1<br />
2 2 3 3<br />
=<br />
Definition 2-11<br />
Je<strong>de</strong>r Vektor, <strong>de</strong>r zu <strong>de</strong>rjenigen Ebene parallel ist, die durch die bei<strong>de</strong>n linear unabhängigen<br />
Vektoren a 1 und a 2 aufgespannt wird, lässt sich in <strong>de</strong>r Form a<br />
e<br />
= l<br />
1a1<br />
+ l<br />
2<br />
a<br />
2<br />
darstellen (Abb. 2-10)<br />
Abb. 2-10 Komplanare Vektoren<br />
1 zu lat. complanare = einebnen
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 13<br />
Beispiel 2-4<br />
n = 4, λ1,λ<br />
2,λ<br />
3,λ<br />
4<br />
≠ 0; a1,a<br />
2,a<br />
3<br />
linear unabhängig<br />
Im dreidimensionalen Raum gilt <strong>de</strong>r<br />
Satz 2-1<br />
Mehr als 3 Vektoren sind stets linear abhängig. Zwischen 4 beliebigen Vektoren besteht also<br />
immer eine Beziehung<br />
λ<br />
1<br />
a1<br />
+ λ<br />
2<br />
a<br />
2<br />
+ λ3a<br />
3<br />
+ λ<br />
4<br />
a<br />
4<br />
= 0<br />
Beispiel 2-5<br />
Sind a<br />
1,a<br />
2<br />
, a<br />
3<br />
drei linear unabhängige Vektoren,<br />
so lässt sich je<strong>de</strong>r beliebige Vektor <strong>de</strong>s<br />
dreidimensionalen Raumes durch Linearkombination<br />
in a<br />
1,a<br />
2<br />
, a<br />
3<br />
darstellen, also:<br />
a<br />
r<br />
= l a + l a + l<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
a<br />
3<br />
Abb. 2-11 Basissystem im räumlichen Fall<br />
Satz 2-2<br />
Drei linear unabhängige Vektoren bil<strong>de</strong>n im Raum ein Basissystem<br />
Hinweis: Die zahlenmäßige Darstellung vektorieller Größen muss so erfolgen, dass wir verschie<strong>de</strong>ne<br />
Vektoren auch ohne geometrische Anschauung miteinan<strong>de</strong>r vergleichen können.<br />
Dazu müssen wir im Raum ein Basissystem vorgeben. Da je drei beliebige, linear unabhängige<br />
Vektoren eine Basis bil<strong>de</strong>n, gibt es für die Darstellung ein und <strong>de</strong>rselben vektoriellen Größe<br />
unendlich viele verschie<strong>de</strong>ne Möglichkeiten. Im Unterschied dazu ist die zahlenmäßige<br />
Angabe einer skalaren Größe von <strong>de</strong>r Wahl <strong>de</strong>s Bezugssystems unabhängig.<br />
Definition 2-12<br />
Ist die Basis durch die Vektoren<br />
g<br />
1<br />
,g<br />
2<br />
,g<br />
3<br />
gegeben, so heißt die Gleichung<br />
a = a +<br />
1g<br />
+ a<br />
1 2<br />
g a<br />
2 3g<br />
3
14<br />
die Komponentendarstellung 1 <strong>de</strong>s Vektors a zur Basis g i<br />
(i = 1,2,3)<br />
.<br />
a<br />
1<br />
g<br />
1<br />
,a<br />
2<br />
a<br />
1<br />
g<br />
,a<br />
2<br />
2<br />
,a<br />
,a<br />
3<br />
g<br />
3<br />
3<br />
= Koordinaten<strong>de</strong>sVektors a<br />
= Komponenten<strong>de</strong>sVektors a<br />
Je nach Anordnung <strong>de</strong>r Basisvektoren g i<br />
unterschei<strong>de</strong>n wir (Abb. 2-12) zwischen einem<br />
Rechts- o<strong>de</strong>r Linkssystem.<br />
Abb. 2-12 Rechts- bzw. Linkssystem<br />
Definition 2-13<br />
Die Drehung von g 1<br />
auf <strong>de</strong>m kürzesten Wege in g 2<br />
und die Richtung von g 3<br />
bil<strong>de</strong>n ein<br />
Rechtssystem.<br />
Definition 2-14<br />
Es seien<br />
x<br />
y<br />
z<br />
e ,e , e drei Einheitsvektoren, die zueinan<strong>de</strong>r orthogonal sind (orthonormierte Basis).<br />
und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bil<strong>de</strong>n. Ein Vektor a kann dann als Summe<br />
<strong>de</strong>r 3 Vektoren<br />
a e ,a e ,a e dargestellt wer<strong>de</strong>n (Abb. 2-13).<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
Wir schreiben:<br />
a = a e<br />
=<br />
x<br />
{ a ,a ,a } < e ,e ,e ><br />
x<br />
x<br />
+ a e<br />
y<br />
y<br />
z<br />
y<br />
+ a e<br />
z<br />
x<br />
z<br />
y<br />
z<br />
Abb. 2-13 Kartesische Koordinaten<br />
Hinweis: Die in Spitzklammern hinzugefügte<br />
Basis kann entfallen, wenn Verwec<strong>hs</strong>lungen<br />
ausgeschlossen sind. Für die Basisvektoren<br />
folgt dann die Komponentendarstellung<br />
1 zu lat. componere = zusammenstellen
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 15<br />
e<br />
{ 1,0,0 };<br />
e = { 0,1,0 };<br />
e { 0,01, }<br />
x =<br />
y<br />
z =<br />
Den Betrag <strong>de</strong>s Vektors a entnehmen wir <strong>de</strong>r Abb. 2-13<br />
a = a = a + a + a<br />
2<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z<br />
Der Ortsvektor<br />
r = x e x + y e y + z e z = { x, y,z}<br />
Abb. 2-14 Der Ortsvektor<br />
ist ein gebun<strong>de</strong>ner Vektor. Er dient dazu, die Lage<br />
eines Punktes P im Raum anzugeben.<br />
Definition 2-15<br />
Den Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten r, ϕ, z wer<strong>de</strong>n die Basisvektoren e r , e ϕ , e z zugeordnet, die wie e x , e y ,<br />
e z eine Orthonormalbasis bil<strong>de</strong>n (Abb. 2-15). Dabei gelten die folgen<strong>de</strong>n Beziehungen:<br />
und umgekehrt:<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
r<br />
ϕ<br />
z<br />
x<br />
y<br />
z<br />
= cosϕe<br />
= −sin<br />
ϕe<br />
= e<br />
= e<br />
z<br />
= cosϕe<br />
= sin ϕe<br />
z<br />
r<br />
x<br />
r<br />
+ sin ϕe<br />
x<br />
y<br />
+ cosϕe<br />
− sin<br />
+ cos<br />
=<br />
y<br />
=<br />
{ cosϕ,sin<br />
ϕ,0}<br />
= { − sin ϕ,cosϕ,0}<br />
= { 0,01, }<br />
ϕe<br />
ϕ = { cosϕ,<br />
− sin ϕ,0}<br />
ϕeϕ<br />
= { sin ϕ,cosϕ,0}<br />
{ 0,01, }<br />
Abb. 2-15 Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten
16<br />
Ein beliebiger Vektor a kann dann sowohl auf die Basis e x , e y , e z als auch auf die Basis e r , e ϕ ,<br />
e z bezogen wer<strong>de</strong>n. Statt<br />
ist dann<br />
a = a x e x + a y e y + a z e z = {a x , a y , a z }<br />
a = a<br />
r<br />
e<br />
r<br />
+ a<br />
ϕ<br />
eϕ<br />
+ a z<br />
e z =<br />
{ a ,a , a }<br />
r<br />
ϕ<br />
z<br />
zu schreiben, und für <strong>de</strong>n Betrag <strong>de</strong>s Vektors a erhalten wir:<br />
2 2<br />
a = a = a<br />
r<br />
+ a<br />
ϕ<br />
+<br />
a<br />
2<br />
z<br />
Mit <strong>de</strong>n obigen Gleichungen folgt dann<br />
und umgekehrt:<br />
a<br />
a<br />
a<br />
r<br />
ϕ<br />
a<br />
a<br />
z<br />
a<br />
x<br />
y<br />
z<br />
=<br />
a<br />
= −a<br />
=<br />
a<br />
= a<br />
= a<br />
= a<br />
r<br />
r<br />
z<br />
x<br />
z<br />
x<br />
cosϕ + a<br />
sin ϕ + a<br />
cosϕ − a<br />
sin ϕ + a<br />
y<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
y<br />
sin ϕ<br />
cosϕ<br />
sin ϕ<br />
cosϕ<br />
Dabei ist zu beachten, dass ein Vektor a, je nach<strong>de</strong>m welchem Punkt im Raum wir ihn zuordnen,<br />
zwar stets die gleichen Koordinaten a x , a y , a z , jedoch jeweils an<strong>de</strong>re Koordinaten a r , a ϕ<br />
besitzt, da die Einheitsvektoren e r und e ϕ von ϕ abhängen (Abb. 2-16).<br />
Abb. 2-16 Abhängigkeit <strong>de</strong>s Vektors a von <strong>de</strong>n Einheitsvektoren
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 17<br />
Der Ortsvektor r hat in Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten,<br />
d.h. bei Bezugnahme auf die Orthonormalbasis<br />
e r , e ϕ , e z die Form:<br />
r = rer + zez<br />
bzw.: r =<br />
{ r,0,z}<br />
Abb. 2-17 Ortsvektor in Zylin<strong>de</strong>rkoordinaten<br />
Achtung: Die Polarkoordinate r ist nicht<br />
mit <strong>de</strong>m Betrag <strong>de</strong>s Ortsvektors zu verwec<strong>hs</strong>eln<br />
(Abb. 2-17).<br />
Definition 2-16<br />
Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind<br />
a = b ⇔ a = b , a = b , a = b<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
Einer Vektorgleichung im Raum entsprechen somit drei skalare Gleichungen.<br />
Definition 2-17<br />
Ein Vektor wird mit einem Skalar multipliziert, in<strong>de</strong>m alle seine Komponenten mit <strong>de</strong>m Skalar<br />
multipliziert wer<strong>de</strong>n.<br />
λ a = λ<br />
{ a ,a ,a } = { λa<br />
, λa<br />
, λa<br />
}<br />
x<br />
y<br />
z<br />
x<br />
y<br />
z<br />
Definition 2-18<br />
Für die Summe bzw. Differenz zweier Vektoren gilt:<br />
{ a ± b ,a ± b ,a b }<br />
a ± b =<br />
±<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
Definition 2-19<br />
0 = { 0,0,0 }<br />
Der Nullvektor hat in je<strong>de</strong>m Bezugssystem die Koordinaten 0.
18<br />
Definition 2-20<br />
Abb. 2-18 Skalarprodukt zweier Vektoren a und b<br />
Das skalare Produkt (o<strong>de</strong>r auch innere<br />
Produkt) a ⋅ b <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Vektoren a und<br />
b liefert einen Skalar, <strong>de</strong>r wie folgt <strong>de</strong>finiert<br />
ist:<br />
a ⋅ b = abcosϕ<br />
Definition 2-21<br />
Für die Basisvektoren folgt:<br />
e<br />
e<br />
⋅<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
e<br />
x<br />
1<br />
0<br />
0<br />
e<br />
y<br />
0<br />
1<br />
0<br />
e<br />
z<br />
0<br />
0<br />
1<br />
o<strong>de</strong>r kurz<br />
e ⋅ e = δ<br />
δ<br />
δ<br />
j<br />
jk<br />
jk<br />
k<br />
= 1<br />
jk<br />
= 0 sonst<br />
j,k =<br />
fürj = k<br />
x, y,z<br />
Definition 2-22<br />
Mit <strong>de</strong>r Definition sind:<br />
a) a ⋅ b = b ⋅ a<br />
b) ( λ a) ⋅ b = a ⋅ ( λb) = λa<br />
⋅ b<br />
c) ( a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c<br />
<strong>de</strong>nn es gilt (Abb. 2-19):<br />
a + b cos γ = a cosα + b cosβ<br />
und damit<br />
( a + b)<br />
⋅ c =<br />
=<br />
a + b ⋅ c cos γ<br />
a c cosα + b c cosβ = a ⋅ c + b ⋅ c<br />
Abb. 2-19 Distributivgesetz<br />
womit das Skalarprodukt auf die Koordinaten<br />
zurückgeführt wer<strong>de</strong>n kann:
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 19<br />
a ⋅ b =<br />
( a e + a e + a e ) ⋅ ( b e + b e + b e )<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
=<br />
a<br />
a<br />
a<br />
x<br />
y<br />
z<br />
b<br />
b<br />
b<br />
x<br />
x<br />
x<br />
e<br />
e<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⋅ e<br />
⋅ e<br />
⋅ e<br />
x<br />
x<br />
x<br />
+ a<br />
+ a<br />
+ a<br />
x<br />
y<br />
z<br />
b<br />
b<br />
b<br />
y<br />
y<br />
y<br />
e<br />
e<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⋅ e<br />
⋅ e<br />
⋅ e<br />
y<br />
y<br />
y<br />
+ a<br />
+ a<br />
x<br />
y<br />
+ a<br />
b<br />
b<br />
z<br />
z<br />
z<br />
b<br />
e<br />
e<br />
z<br />
x<br />
y<br />
e<br />
⋅ e<br />
⋅ e<br />
z<br />
z<br />
z<br />
⋅ e<br />
+<br />
+<br />
z<br />
und damit<br />
a ⋅ b = a b + a b + a<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
b<br />
z<br />
cosϕ<br />
=<br />
a<br />
2<br />
x<br />
a<br />
x<br />
b<br />
+ a<br />
x<br />
2<br />
y<br />
+ a<br />
+ a<br />
y<br />
2<br />
z<br />
b<br />
y<br />
b<br />
+ a<br />
2<br />
x<br />
z<br />
b<br />
+ b<br />
z<br />
2<br />
y<br />
+ b<br />
2<br />
z<br />
Insbeson<strong>de</strong>re gilt:<br />
2<br />
a ⋅ a = a = a + a + a = a = a<br />
2<br />
x<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z<br />
2<br />
2<br />
Definition 2-23<br />
Die Orthogonalitätsbedingung für zwei Vektoren ( ,b 0)<br />
a ≠ :<br />
a<br />
x<br />
bx<br />
+ a<br />
yby<br />
+ a<br />
zbz<br />
= 0<br />
Definition 2-24<br />
Projektion eines Vektors auf eine vorgegebene Richtung<br />
Wir entnehmen <strong>de</strong>r Abb. 2-20:<br />
0 b b abcosϕ<br />
a b = a<br />
b<br />
b = a cosϕ<br />
= b<br />
2<br />
b b b<br />
bzw.<br />
a ⋅ b<br />
= b<br />
b<br />
a<br />
b 2<br />
Abb. 2-20 Projektion von a auf die Richtung von b<br />
und damit <strong>de</strong>r Betrag <strong>de</strong>s Vektors a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
=<br />
a<br />
b<br />
b abcosϕ<br />
= a cosϕ<br />
= =<br />
b<br />
2<br />
b<br />
a ⋅ b<br />
b<br />
2<br />
Liegt statt b ein Einheitsvektor e vor, so ist wegen e = 1<br />
a e<br />
= ( a ⋅e)e
20<br />
und<br />
a e<br />
= a ⋅ e<br />
Insbeson<strong>de</strong>re gilt<br />
a<br />
x<br />
= a ⋅ e<br />
x<br />
a<br />
y<br />
= a ⋅ e<br />
y<br />
a<br />
z<br />
= a ⋅ e<br />
z<br />
Für die Winkel zwischen einem Vektor a und <strong>de</strong>n Basisvektoren gilt dann:<br />
Abb. 2-21 Winkel zwischen a und <strong>de</strong>m Basisvektor e x<br />
a a<br />
x<br />
y<br />
cosα<br />
x<br />
= cosαy<br />
= ;cosαz<br />
=<br />
a a<br />
a<br />
z<br />
a<br />
Richtungskosinusse<br />
cos<br />
2<br />
2<br />
α + cos α<br />
x<br />
y<br />
2<br />
+ cos α<br />
z<br />
= 1<br />
Die Komponenten eines Einheitsvektors<br />
im orthonormierten Basissystem<br />
sind die Kosinusse <strong>de</strong>r Winkel<br />
zwischen <strong>de</strong>m Einheitsvektor<br />
und <strong>de</strong>n Koordinatenac<strong>hs</strong>en:<br />
e =<br />
{ cosα<br />
,cosα<br />
, cosα<br />
}<br />
x<br />
y<br />
z<br />
Abb. 2-22 Richtungskosinusse <strong>de</strong>s Einheitsvektors
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 21<br />
Definition 2-25<br />
Das vektorielle Produkt (o<strong>de</strong>r äußere Produkt) zweier Vektoren a und b wird<br />
a × b geschrieben<br />
und wie folgt <strong>de</strong>finiert (Abb. 2-23)<br />
1. a × b ist ein Vektor.<br />
2. a × b steht senkrecht auf a und senkrecht auf b.<br />
3. a, b und a × b bil<strong>de</strong>n in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.<br />
4. Es ist a × b = a bsinϕ, also gleich <strong>de</strong>m Flächeninhalt A <strong>de</strong>s von a und b gebil<strong>de</strong>ten Parallelogramms.<br />
Abb. 2-23 Das Vektorprodukt zweier Vektoren<br />
Nach Definition 3 gilt für das Vektorprodukt das kommutative Gesetz nicht, vielmehr ist<br />
a × b = −b<br />
× a<br />
Sind die bei<strong>de</strong>n Vektoren a und b parallel, so ist ϕ = 0 o<strong>de</strong>r ϕ = π, dann ist a × b = 0 .<br />
Es ist also a × b = 0 für:<br />
a = 0<br />
a ≠ 0<br />
a = 0<br />
a||b<br />
und<br />
und<br />
und<br />
b ≠ 0<br />
b = 0<br />
b = 0<br />
( ϕ = 0 o<strong>de</strong>r π)<br />
Insbeson<strong>de</strong>re ist also:<br />
a × a =<br />
0<br />
Für die Einheitsvektoren gilt:
22<br />
×<br />
e<br />
e<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
e<br />
0<br />
− e<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
e<br />
e<br />
y<br />
z<br />
0<br />
− e<br />
x<br />
e<br />
− e<br />
e<br />
z<br />
x<br />
0<br />
y<br />
Definition 2-26<br />
Es gilt<br />
a) λ ( a × b) = ( λa) × b = a × ( λb) = λa<br />
× b<br />
b) ( a + b) × c = a × c + b×<br />
c<br />
Definition 2-27<br />
Zurückführung <strong>de</strong>s Vektorproduktes auf die Koordinaten:<br />
( a e + a e + a e ) × ( b e + b e + b e ) =<br />
a × b = x y z<br />
x y z<br />
x<br />
y<br />
z<br />
x<br />
y<br />
z<br />
a<br />
a<br />
x<br />
y<br />
z<br />
b<br />
b<br />
x<br />
x<br />
x<br />
e<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
× e<br />
× e<br />
x<br />
x<br />
a b e × e<br />
x<br />
+<br />
+<br />
+<br />
a<br />
a<br />
x<br />
y<br />
z<br />
b<br />
b<br />
y<br />
y<br />
y<br />
e<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
× e<br />
× e<br />
y<br />
y<br />
a b e × e<br />
y<br />
+<br />
+<br />
+<br />
a<br />
a<br />
x<br />
y<br />
z<br />
b<br />
b<br />
z<br />
z<br />
z<br />
e<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
× e<br />
× e<br />
z<br />
z<br />
a b e × e<br />
z<br />
und<br />
a × b =<br />
{ a b − a b ,a b − a b ,a b − a b }<br />
y<br />
z<br />
z<br />
y<br />
z<br />
x<br />
x<br />
z<br />
x<br />
y<br />
y<br />
x<br />
dafür kann auch folgen<strong>de</strong> Merkregel verwandt wer<strong>de</strong>n<br />
a × b =<br />
e<br />
a<br />
b<br />
x<br />
x<br />
x<br />
e<br />
a<br />
b<br />
y<br />
y<br />
y<br />
e<br />
a<br />
b<br />
z<br />
z<br />
z<br />
Achtung: Merkregel gilt so nur bei Bezugnahme auf eine orthogonale normierte Vektorbasis.<br />
Definition 2-28<br />
Das Spatprodukt [ a ,b,c]<br />
ist <strong>de</strong>finiert als das Volumen V <strong>de</strong>s von <strong>de</strong>n Vektoren a, b und c<br />
gebil<strong>de</strong>ten Parallelepipeds (Abb. 2-24)<br />
V = Ah =<br />
a × b<br />
c cos ϕ =<br />
( a × b) ⋅c
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 23<br />
Abb. 2-24 Das Spatprodukt<br />
Wir hätten auch<br />
erhalten können. Insgesamt ist dann<br />
V =<br />
V =<br />
( b × c)<br />
⋅ a<br />
( c × a) ⋅ b<br />
[ a,b,c] = ( a × b) ⋅c<br />
= ( b × c) ⋅a<br />
= ( c×<br />
a) ⋅ b<br />
und es gilt die Regel von <strong>de</strong>r zyklischen Vertauschbarkeit<br />
[ a ,b,c] = [ b,c,a ] = [ c,a,b]<br />
und wegen ( b c) ⋅ a = a ⋅ ( b × c) ≡ ( a × b) ⋅ c<br />
× die (sinnvolle) Vertauschbarkeit von ⋅ und ×<br />
( a × b) ⋅c<br />
= a ⋅( b × c)<br />
Durch Ausrechnen von ( a× b)<br />
⋅ c erhalten wir<br />
[ a,b,c] = ( a y<br />
b z<br />
− a z<br />
b y<br />
) c x<br />
+ ( a z<br />
b x<br />
− a x<br />
b z<br />
) c y<br />
+ ( a x<br />
b y<br />
− a y<br />
b x<br />
) c z<br />
wofür wir auch<br />
[ ,b,c]<br />
a =<br />
a<br />
b<br />
c<br />
x<br />
x<br />
x<br />
a<br />
b<br />
c<br />
y<br />
y<br />
y<br />
a<br />
b<br />
c<br />
z<br />
z<br />
z<br />
hätten schreiben können. Für das Spatprodukt weisen wir noch die Beziehung
24<br />
[ a ,a ,a ][ b ,b ,b ]<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
=<br />
a ⋅ b<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
⋅ b<br />
1<br />
⋅ b<br />
1<br />
a ⋅ b<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
⋅b<br />
⋅ b<br />
2<br />
2<br />
a ⋅ b<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
⋅b<br />
⋅b<br />
3<br />
3<br />
nach, die für = a ,b = a ,b a , in die Form<br />
b1 1 2 2 3<br />
=<br />
3<br />
[ a ,a ,a ]<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
=<br />
a ⋅ a<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
⋅a<br />
⋅a<br />
1<br />
1<br />
a ⋅a<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⋅a<br />
⋅ a<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a ⋅ a<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⋅a<br />
3<br />
⋅a<br />
3<br />
3<br />
übergeht. Der Beweis erfolgt durch Ausrechnen mit { a ,a , }<br />
a = usw.<br />
1 1x 1y<br />
a 1z<br />
Definition 2-29<br />
Zerlegung eines Vektors in <strong>de</strong>r Ebene nach zwei Richtungen. Der Vektor a in Abb. 2-25 soll in<br />
die vorgegebenen Richtungen a 1 und a 2 zerlegt wer<strong>de</strong>n, also a = λ a1<br />
+ λ 2 mit noch u<strong>nb</strong>ekannten<br />
λ<br />
und λ .<br />
1 2<br />
1 2a<br />
( a × a ) ⋅ ( a × a ) = λ ( a × a ) 2<br />
2<br />
a × a<br />
1<br />
a = λ a + λ<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
= λ a × a<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a<br />
2<br />
| ⋅<br />
( a × a )<br />
1<br />
| × a<br />
2<br />
2<br />
Abb. 2-25 Zerlegung eines Vektors in <strong>de</strong>r Ebene<br />
und damit<br />
λ<br />
1<br />
=<br />
( a × a<br />
2<br />
) ⋅( a1<br />
× a<br />
2<br />
)<br />
( a × a ) 2<br />
entsprechend erhalten wir λ<br />
2<br />
und damit insgesamt<br />
1<br />
2<br />
λ<br />
1<br />
=<br />
( a × a 2 ) ⋅ ( a1<br />
× a 2 )<br />
2<br />
( a × a )<br />
1<br />
2<br />
;<br />
λ<br />
2<br />
=<br />
( a1<br />
× a) ⋅ ( a1<br />
× a 2 )<br />
( a × a ) 2<br />
1<br />
2<br />
Wenn a 1 und a 2 parallel sind, so ist × a 0 , in diesem Falle ist keine Zerlegung möglich.<br />
a1 2 =<br />
Sind in <strong>de</strong>r Ebene mehr als zwei Richtungen vorgegeben, so ist die Zerlegung nicht ein<strong>de</strong>utig.<br />
Definition 2-30<br />
Zerlegung eines Vektors im Raum nach drei vorgegebenen Richtungen.
Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 25<br />
Für a gilt nach Abb. 2-26<br />
a = λ<br />
1a1<br />
+ λ2a<br />
2 + λ3a3<br />
mit noch u<strong>nb</strong>ekannten λ 1 ,λ 2 und λ 3 .<br />
a = λ a + λ<br />
1<br />
1<br />
2<br />
a<br />
2<br />
+ λ a<br />
3<br />
3<br />
|(a × a ) ⋅<br />
2<br />
3<br />
(a × a ) ⋅a<br />
= λ (a × a ) ⋅a<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
Abb. 2-26 Zerlegung eines Vektors im Raum<br />
λ<br />
1<br />
=<br />
[ a 2,a<br />
3,a]<br />
[ a ,a ,a ]<br />
2<br />
3<br />
1<br />
=<br />
[ a,a 2,a3]<br />
[ a ,a ,a ]<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Entsprechend folgen λ 2 und λ 3 und somit insgesamt<br />
λ<br />
1<br />
=<br />
[ a,a 2,a3]<br />
[ a ,a ,a ]<br />
1<br />
2<br />
3<br />
;<br />
λ<br />
2<br />
=<br />
[ a1,a,a3]<br />
[ a ,a ,a ]<br />
1<br />
2<br />
3<br />
;<br />
λ<br />
3<br />
=<br />
[ a1,a<br />
2,a]<br />
[ a ,a ,a ]<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Wenn die Vektoren a 1 , a 2 und a 3 komplanar sind, so gilt [a 1 , a 2 , a 3 ] = 0, und eine Zerlegung ist<br />
in diesem Falle nicht möglich. Sind mehr als drei Richtungen vorgegeben, so ist die Zerlegung<br />
nicht ein<strong>de</strong>utig.<br />
Definition 2-31 (Mehrfache Produkte)<br />
Für vektorielle Produkte aus drei Vektoren gilt die<br />
Beziehung<br />
a × (b×<br />
c) = (a ⋅c)b<br />
− (a ⋅b)c<br />
wofür wir auch unter Berücksichtigung von<br />
a × (b×<br />
c) =<br />
b c<br />
y<br />
z<br />
e<br />
a<br />
x<br />
x<br />
− b c<br />
z<br />
y<br />
b c<br />
z<br />
x<br />
e<br />
a<br />
y<br />
y<br />
− b<br />
x<br />
c<br />
z<br />
b c<br />
x<br />
y<br />
e<br />
a<br />
z<br />
z<br />
− b c<br />
y<br />
x<br />
Abb. 2-27 Das zweifache Vektorprodukt<br />
=<br />
e<br />
e<br />
e<br />
[ a<br />
y(bxcy<br />
− bycx<br />
) − a<br />
z(bzcx<br />
− bxcz<br />
)]<br />
y[ a<br />
z<br />
(bycz<br />
− bzcy)<br />
− a<br />
x<br />
(bxcy<br />
− bycx<br />
)]<br />
[ a (b c − b c ) − a (b c − b c )]<br />
x<br />
z<br />
x<br />
z<br />
x<br />
x<br />
z<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
y<br />
+<br />
+<br />
und damit<br />
a × (b×<br />
c) = e<br />
e<br />
e<br />
x<br />
y<br />
z<br />
[ a<br />
y<br />
(bxcy<br />
− bycx<br />
) − a<br />
z<br />
(bzcx<br />
− bxcz<br />
)]<br />
[ a<br />
z<br />
(bycz<br />
− bzcy)<br />
− a<br />
x<br />
(bxcy<br />
− bycx<br />
[ a (b c − b c ) − a (b c − b c )]<br />
x<br />
z<br />
x<br />
x<br />
z<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
y<br />
+<br />
+
26<br />
schreiben können. Geometrisch ist sofort einleuchtend, dass <strong>de</strong>r Vektor a × (b×<br />
c)<br />
in <strong>de</strong>r<br />
durch b und c aufgespannten Ebene liegt, da er zu<br />
b× c orthogonal ist. Für zweifache Vektorprodukte<br />
gilt das Assoziativgesetz nicht:<br />
a × (b×<br />
c) ≠ (a × b) × c<br />
Definition 2-32<br />
Es gilt:<br />
a) ( a × b) ⋅ (c × d) = (a ⋅ c)(b ⋅ d) − (a ⋅ d)(b ⋅ c)<br />
b) (a × b) × (c × d) = [ a,c,d] b − [ b,c,d]<br />
a<br />
= [ a,b,d] c − [ a,b,c]d<br />
c) a × (b×<br />
c) + b×<br />
(c×<br />
a) + c×<br />
(a × b) = 0<br />
d)<br />
2 2 2<br />
( a × b) = a b − (a ⋅<br />
b)<br />
2<br />
Definition 2-33<br />
Zerlegung eines Vektors a in zwei Komponenten, von <strong>de</strong>nen eine parallel zu einem vorgegebenen<br />
Vektor e und die an<strong>de</strong>re Komponente dazu senkrecht steht (Abb. 2-28), also<br />
a ||<br />
= a + a<br />
⊥<br />
Abb. 2-28 Vektorzerlegung parallel und senkrecht zu einer vorgegebenen Richtung<br />
Mit<br />
a ||<br />
= (a ⋅ e) e gilt: a = a − a|| = a − (a ⋅ e)e = (e ⋅ e)a − (a ⋅ e)e = e × (a × e)<br />
⊥<br />
und somit (Abb. 2-28)<br />
a = (a ⋅ e)e + e × (a × e)<br />
<br />
|| e<br />
⊥ e
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 27<br />
3 Definitionen und Rechenregeln für Matrizen<br />
Definition 3-1<br />
Eine Matrix 1 ist ein geordnetes Schema von Zahlen a ik mit m Zeilen und n Spalten <strong>de</strong>r Form<br />
A<br />
( m×<br />
n )<br />
⎛ a11<br />
⎜<br />
⎜ a<br />
21<br />
= ⎜ ⋯<br />
⎜<br />
⎝a<br />
m1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
⋯<br />
m2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a1n<br />
⎞<br />
⎟<br />
a<br />
2n ⎟<br />
⋯ ⎟<br />
⎟<br />
a<br />
mn ⎠<br />
Außer <strong>de</strong>m Zahlenwert eines Elementes a ik ∈ R <strong>de</strong>r Matrix A ist auch seine durch <strong>de</strong>n Doppelin<strong>de</strong>x<br />
i,k festgelegte Stellung im Schema, seine Zeilennummer i und seine Spaltennummer<br />
k entschei<strong>de</strong>nd. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine Matrix vom Typ m × n (gesprochen:<br />
m-Kreuz-n) o<strong>de</strong>r kurz eine<br />
m × n -Matrix. Einzeilige Matrizen A( 1× n ) wer<strong>de</strong>n Zeilenvektoren<br />
und einspaltige Matrizen A( m × 1 ) wer<strong>de</strong>n Spaltenvektoren genannt und mit<br />
kleinen Buc<strong>hs</strong>taben bezeichnet. Es ist<br />
T<br />
a<br />
i<br />
<strong>de</strong>r i-te Zeilenvektor<br />
a<br />
T<br />
i<br />
=<br />
( a a ⋯ a )<br />
i1<br />
i2<br />
in<br />
und a k <strong>de</strong>r k-te Spaltenvektor<br />
a<br />
k<br />
⎛ a1k<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ a<br />
2k ⎟<br />
= ⎜ ⋯ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝a<br />
mk ⎠<br />
Spezielle Matrizen<br />
a) Nullmatrix<br />
0<br />
( m×<br />
n )<br />
alle<br />
a ij<br />
= 0, i = 1, …,<br />
m, j = 1, …,<br />
n<br />
b) Quadratische Matrix m = n<br />
c) Diagonalmatrix m = n, a ij<br />
= 0 für i ≠ j<br />
1 lat. Quelle, Ursache
28<br />
D<br />
( m×<br />
m)<br />
⎛ a<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
= ⎜ ⋮<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
11<br />
a<br />
0<br />
22<br />
⋮<br />
0<br />
…<br />
⋯<br />
⋱<br />
0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎟<br />
⎟<br />
a<br />
mm ⎠<br />
d) Einheitsmatrix <strong>de</strong>r Ordnung m<br />
I<br />
(m×<br />
m)<br />
, a = 0, i ≠ j,a 1<br />
ij ii<br />
=<br />
I<br />
m<br />
( m × )<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
= ⎜⋯<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
0<br />
1<br />
⋯<br />
0<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
0⎞<br />
⎟<br />
0⎟<br />
0⎟<br />
⎟<br />
1<br />
⎠<br />
Definition 3-2<br />
Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie in allen Elementen übereinstimmen:<br />
A = B ⇔ a = b<br />
( m×<br />
n ) ( m×<br />
n )<br />
ij<br />
ij<br />
für alle i,j<br />
Definition 3-3<br />
Zu je<strong>de</strong>r Matrix A wird eine transponierte 1 Matrix A T nach folgen<strong>de</strong>r Vorschrift gebil<strong>de</strong>t:<br />
A<br />
⎛ a11<br />
⎜<br />
⎜ a<br />
21<br />
= ⎜ ⋯<br />
⎜<br />
⎝a<br />
m1<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
a1n<br />
⎞<br />
⎟<br />
a<br />
2n ⎟<br />
⋯ ⎟<br />
⎟<br />
a<br />
mn ⎠<br />
( m×<br />
n ) ( n×<br />
m)<br />
a<br />
⋯<br />
m2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
A<br />
T<br />
⎛ a11<br />
⎜<br />
⎜a12<br />
= ⎜ ⋯<br />
⎜<br />
⎝a1n<br />
a<br />
a<br />
a<br />
21<br />
22<br />
⋯<br />
2n<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
m1 ⎞<br />
⎟<br />
a<br />
m2 ⎟<br />
⋯ ⎟<br />
⎟<br />
a<br />
mn ⎠<br />
T<br />
o<strong>de</strong>r kurz A = ( a ) A = ( a )<br />
ik<br />
ki<br />
⎛1<br />
⎜<br />
3⎞<br />
⎟<br />
⎛1<br />
⎝3<br />
4⎞<br />
T<br />
A = ⎜5<br />
2⎟<br />
A = ⎜ ⎟<br />
( 3 2) ( 2×<br />
3) × 2 6<br />
⎜<br />
⎝4<br />
6⎟<br />
⎠<br />
5<br />
⎠<br />
Satz 3-1<br />
T<br />
Es gilt: ( A ) = A<br />
T<br />
1 lat. transponere = übersetzen, hinüberschaffen lassen
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 29<br />
Definition 3-4<br />
Es gilt die folgen<strong>de</strong> Rechenregel:<br />
T T<br />
( A + B) = A +<br />
B<br />
T<br />
Definition 3-5<br />
Eine quadratische Matrix, für die<br />
T<br />
A = A gilt, heißt symmetrisch.<br />
⎛<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
4<br />
2<br />
1<br />
2<br />
− 3<br />
− 2<br />
1 ⎞<br />
⎟<br />
− 2⎟<br />
7 ⎟<br />
⎠<br />
Definition 3-6<br />
Eine quadratische Matrix A heißt antimetrisch (schiefsymmetrisch), wenn gilt:<br />
A T = −A<br />
Die Definition erfor<strong>de</strong>rt offensichtlich, dass die Hauptdiagonalelemente verschwin<strong>de</strong>n.<br />
⎛ 0<br />
⎜<br />
A = ⎜−<br />
2<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
2<br />
0<br />
− 2<br />
−1⎞<br />
⎟<br />
2⎟<br />
0⎟<br />
⎠<br />
Definition 3-7<br />
Eine quadratische Matrix, in <strong>de</strong>r alle Elemente unterhalb <strong>de</strong>r Hauptdiagonalen Null sind heißt<br />
obere Dreiecksmatrix (Rechtsdreiecksmatrix).<br />
A<br />
( n×<br />
n )<br />
⎛a11<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
= ⎜ ⋯<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
⋯<br />
0<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a1n<br />
⎞<br />
⎟<br />
a<br />
2n ⎟<br />
⋯ ⎟<br />
⎟<br />
a<br />
nn ⎠<br />
Definition 3-8<br />
Eine quadratische Matrix, in <strong>de</strong>r alle Elemente oberhalb <strong>de</strong>r Hauptdiagonalen Null sind heißt<br />
untere Dreiecksmatrix (Linksdreiecksmatrix).<br />
A<br />
( n×<br />
n )<br />
⎛ a11<br />
⎜<br />
⎜a<br />
21<br />
= ⎜ ⋯<br />
⎜<br />
⎝a<br />
n1<br />
a<br />
a<br />
0<br />
22<br />
⋯<br />
n2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
⋯ ⎟<br />
⎟<br />
a<br />
nn ⎠
30<br />
Definition 3-9<br />
Zwei Matrizen gleicher Dimension wer<strong>de</strong>n addiert (subtrahiert), in<strong>de</strong>m ihre entsprechen<strong>de</strong>n<br />
Elemente addiert (subtrahiert) wer<strong>de</strong>n.<br />
C = A ± B ⇔ c = a ± b<br />
( m×<br />
n ) ( m×<br />
n ) ( m×<br />
n )<br />
ij<br />
ij<br />
ij<br />
; i = 1, …,m,<br />
j = 1, …,<br />
n<br />
Definition 3-10<br />
Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert, in<strong>de</strong>m je<strong>de</strong>s Element <strong>de</strong>r Matrix mit λ<br />
multipliziert wird:<br />
B<br />
= λ<br />
A<br />
( m×<br />
n ) ( m×<br />
n )<br />
⇔<br />
b<br />
ij<br />
= λa<br />
ij<br />
, i = 1, …,m,<br />
j = 1, …,<br />
n<br />
⎛ λa<br />
⎜<br />
⎜ λa<br />
B = λA<br />
= A = ⎜ ⋯<br />
⎜<br />
⎝ λa<br />
11<br />
21<br />
m1<br />
λa<br />
λa<br />
λa<br />
12<br />
⋯<br />
22<br />
m2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
λa1n<br />
⎞<br />
⎟<br />
λa<br />
2n ⎟<br />
⋯ ⎟<br />
⎟<br />
λa<br />
mn ⎠<br />
Satz 3-2<br />
Für Matrizen gleicher Dimension gilt:<br />
+ b) A + ( − A) = 0<br />
a) A 0 = 0 + A = A<br />
c) A B = B + A<br />
+ d) ( A + B) + C = A + ( B + C) = A + B + C<br />
e) λ ( A + B) = λA<br />
+ λB<br />
f) ( λ + λ ) = λ A + A<br />
Definition 3-11<br />
1 2<br />
A<br />
1<br />
λ<br />
2<br />
Es sei A eine<br />
m × n und B eine n × p Matrix, dann gilt für die Produktmatrix C = A⋅<br />
B ,<br />
dass sie die Dimension<br />
m × p hat und dass sich ihre Elemente c ij<br />
als Skalarprodukt aus <strong>de</strong>m<br />
i-ten Zeilenvektor von A und <strong>de</strong>m j-ten Spaltenvektor von B ergeben:<br />
⎛ a<br />
⎜<br />
T<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
T<br />
⎜ a<br />
2 ⎟<br />
A =<br />
B = ( b1,<br />
b<br />
2<br />
,…,b<br />
p<br />
)<br />
( m×<br />
n ) ⎜ ⎟<br />
( n×<br />
p) T<br />
i<br />
⎜<br />
⋮<br />
⎟<br />
T<br />
a<br />
⎝ m ⎠<br />
n<br />
∑<br />
c = a b = a b , i = 1,2, …,<br />
m ; j = 1,2, …,<br />
p<br />
ij<br />
j<br />
k=<br />
1<br />
ik<br />
kj
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 31<br />
Beispiel 3-1<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝ − 3<br />
− 4<br />
6<br />
⎛<br />
6⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
− 9⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
4<br />
2<br />
1<br />
3<br />
6<br />
− 3<br />
2<br />
4<br />
5⎞<br />
⎟ ⎛<br />
0⎟<br />
= ⎜<br />
− 4⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
2<br />
− 3<br />
26<br />
− 39<br />
10<br />
−15<br />
−14⎞<br />
⎟<br />
21⎠<br />
o<strong>de</strong>r auch<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝ − 3<br />
− 4<br />
6<br />
⎛<br />
6⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
− 9⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
− 4<br />
1<br />
0<br />
− 4<br />
−1<br />
0⎞<br />
⎟ ⎛<br />
5⎟<br />
= ⎜<br />
1⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
2<br />
− 3<br />
26<br />
− 39<br />
10<br />
−15<br />
−14⎞<br />
⎟<br />
21⎠<br />
Für die Matrizenmultiplikation gilt nicht das Kommutativgesetz, d.h., i.a. ist:<br />
A ⋅ B ≠ B ⋅ A<br />
⎛1<br />
⎜<br />
A = ⎜2<br />
⎜<br />
⎝2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
3⎟;<br />
B = ⎜0<br />
1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎞<br />
⎛4<br />
⎟ ⎜<br />
2⎟;<br />
A ⋅ B = ⎜5<br />
1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
7⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
5⎟;<br />
B⋅<br />
A = ⎜6<br />
7⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝3<br />
2<br />
7<br />
5<br />
3⎞<br />
⎟<br />
5⎟.<br />
4⎟<br />
⎠<br />
Einheitsmatrizen reproduzieren beim Multiplizieren, sie spielen also die Rolle <strong>de</strong>r 1 beim<br />
Multiplizieren reeller Zahlen:<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
0⎟<br />
⋅⎜2<br />
1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
3⎟<br />
= ⎜2<br />
1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
3⎟<br />
= ⎜2<br />
1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
3⎟<br />
⋅⎜0<br />
1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎞<br />
⎟<br />
0⎟<br />
1⎟<br />
⎠<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
0⎟<br />
⋅⎜2<br />
1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝2<br />
2⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
1⎟<br />
= ⎜2<br />
3⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝2<br />
2⎞<br />
⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
1⎟<br />
= ⎜2<br />
3⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝2<br />
2⎞<br />
⎟ ⎛1<br />
1⎟<br />
⋅ ⎜<br />
⎟ ⎝0<br />
3⎠<br />
0⎞<br />
⎟<br />
1⎠<br />
Satz 3-3<br />
Es gilt:<br />
⎜<br />
⎛ A +<br />
⎝<br />
B<br />
⎟<br />
⎞ ⋅<br />
⎠<br />
C<br />
= A ⋅ C+<br />
B ⋅ C<br />
( m×<br />
n ) ( m×<br />
n ) ( n×<br />
p) ( m×<br />
p) ( m×<br />
p)<br />
A ⋅ ⎜<br />
⎛ B +<br />
⎝<br />
C ⎟<br />
⎞ = A ⋅ B+<br />
A ⋅ C<br />
⎠<br />
( m×<br />
n ) ( n×<br />
p) ( n×<br />
p) ( m×<br />
p) ( m×<br />
p)<br />
Definition 3-12<br />
Der Zeilenrang (Spaltenrang) einer Matrix ist die Anzahl <strong>de</strong>r linear unabhängigen Zeilen<br />
(Spalten) <strong>de</strong>r Matrix.
32<br />
Satz 3-4<br />
Der Zeilenrang einer beliebigen Matrix ist immer gleich <strong>de</strong>m Spaltenrang. Es gilt, dass <strong>de</strong>r<br />
Rang von A nie größer ist als das Minimum aus Zeilenzahl und Spaltenzahl:<br />
rg(A)<br />
≤ min(m, n) .<br />
An<strong>de</strong>rnfalls heißt A singulär.<br />
Definition 3-13<br />
Unter <strong>de</strong>r Voraussetzung, dass die Produkte herstellbar sind, gilt für die Matrizenmultiplikation<br />
das Assoziativgesetz:<br />
( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)<br />
Definition 3-14<br />
Eine Matrix A wird mit einem Faktor λ multipliziert, in<strong>de</strong>m je<strong>de</strong>s Element <strong>de</strong>r Matrix mit λ<br />
multipliziert wird:<br />
bzw.:<br />
λ A = λ(a<br />
ik<br />
) = ( λa<br />
ik<br />
)<br />
⎛ λa<br />
⎜<br />
⎜ λa<br />
λA<br />
= Aλ<br />
= ⎜ ⋯<br />
⎜<br />
⎝ λa<br />
11<br />
21<br />
m1<br />
λa<br />
λa<br />
λa<br />
12<br />
⋯<br />
22<br />
m2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
λa1n<br />
⎞<br />
⎟<br />
λa<br />
2n ⎟<br />
⋯ ⎟<br />
⎟<br />
λa<br />
mn ⎠<br />
Definition 3-15<br />
Für das Transponieren von Matrizenprodukten gilt:<br />
T T<br />
T T<br />
( λ A) = λA<br />
, (A ⋅ B) = B ⋅<br />
A<br />
T<br />
Hinweis: Das Produkt zweier Matrizen kann die Nullmatrix sein, ohne dass einer <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n<br />
Faktoren die Nullmatrix ist.<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝ − 3<br />
− 4<br />
6<br />
⎛<br />
6⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
− 9⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
4<br />
2<br />
1<br />
3<br />
6<br />
− 3<br />
2<br />
4<br />
5⎞<br />
⎟ ⎛ 2<br />
0⎟<br />
= ⎜<br />
⎟ ⎝ − 3<br />
− 4⎠<br />
− 4<br />
6<br />
⎛<br />
6⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
− 9⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
− 4<br />
1<br />
0<br />
− 4<br />
−1<br />
0⎞<br />
⎟<br />
5⎟<br />
1⎟<br />
⎠<br />
daraus folgt mit <strong>de</strong>m Distributivgesetz für die Matrizenmultiplikation
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 33<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝ − 3<br />
− 4<br />
6<br />
⎡⎛<br />
6⎞<br />
⎢⎜<br />
⎟ ⋅<br />
⎢⎜<br />
− 9⎠<br />
⎢⎜<br />
⎣⎝<br />
3<br />
4<br />
2<br />
1<br />
3<br />
6<br />
− 3<br />
2<br />
4<br />
5⎞<br />
⎛<br />
⎟ ⎜<br />
0⎟<br />
− ⎜<br />
− 4⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
− 4<br />
1<br />
0<br />
− 4<br />
−1<br />
0⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⎛0<br />
5⎟⎥<br />
= ⎜<br />
⎟⎥<br />
⎝0<br />
1⎠⎦<br />
0<br />
0<br />
0⎞<br />
⎟<br />
0⎠<br />
o<strong>de</strong>r<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝ − 3<br />
− 4<br />
6<br />
⎛2<br />
6⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⋅ ⎜ 1<br />
− 9⎠<br />
⎜<br />
⎝0<br />
−1<br />
7<br />
5<br />
− 3<br />
6<br />
5<br />
5⎞<br />
⎟ ⎛0<br />
− 5⎟<br />
= ⎜<br />
− ⎟ ⎝0<br />
5⎠<br />
0<br />
0<br />
0⎞<br />
⎟<br />
0⎠<br />
Dieses Beispiel zeigt, dass es nicht möglich ist, generell eine Division für Matrizen zu erklären,<br />
<strong>de</strong>nn dann könnten wir in <strong>de</strong>r Gleichung<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝ − 3<br />
− 4<br />
6<br />
⎛<br />
6⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
− 9⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
4<br />
2<br />
1<br />
3<br />
6<br />
− 3<br />
2<br />
4<br />
5⎞<br />
⎟ ⎛ 2<br />
0⎟<br />
= ⎜<br />
⎟ ⎝ − 3<br />
− 4⎠<br />
− 4<br />
6<br />
⎛<br />
6⎞<br />
⎜<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
− 9⎠<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
3<br />
2<br />
2<br />
− 4<br />
1<br />
0<br />
− 4<br />
−1<br />
0⎞<br />
⎟<br />
5⎟<br />
1⎟<br />
⎠<br />
durch die von <strong>de</strong>r Nullmatrix verschie<strong>de</strong>ne Matrix<br />
⎛ 2<br />
⎜<br />
⎝ − 3<br />
− 4<br />
6<br />
6⎞<br />
⎟<br />
− 9⎠<br />
dividieren, was offensichtlich zu einem Wi<strong>de</strong>rspruch führen wür<strong>de</strong>.<br />
3.1 Die inverse Matrix<br />
Wir betrachten zunäc<strong>hs</strong>t das lineare Gleichungssystem<br />
x<br />
2x<br />
1<br />
1<br />
+ 3x<br />
+ 7x<br />
2<br />
2<br />
= a<br />
= a<br />
1<br />
2<br />
a 1 , a 2 ∈ R gegeben. In Matrizenschreibweise lässt sich das Gleichungssystem mit Einführung<br />
von<br />
⎛1<br />
A = ⎜<br />
⎝2<br />
3⎞<br />
⎟,<br />
7⎠<br />
⎛ x<br />
x = ⎜<br />
⎝ x<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟,<br />
⎠<br />
⎛ a<br />
a = ⎜<br />
⎝a<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
in <strong>de</strong>r Form<br />
A ⋅ x =<br />
a<br />
schreiben. Die Lösung lautet:
34<br />
x<br />
x<br />
1<br />
2<br />
= 7a<br />
1<br />
= −2a<br />
− 3a<br />
1<br />
2<br />
+ a<br />
2<br />
die mit<br />
⎛ 7<br />
X = ⎜<br />
⎝−<br />
2<br />
− 3⎞<br />
⎟<br />
1⎠<br />
die Gestalt<br />
x = X ⋅ a<br />
annimmt. Also haben wir einerseits<br />
A ⋅ x = A ⋅ X ⋅ a = a<br />
und an<strong>de</strong>rerseits<br />
so dass offe<strong>nb</strong>ar<br />
A ⋅ X das a und X ⋅ A das x beim Multiplizieren reproduziert. Durch Ausrechnen<br />
bestätigen wir sofort:<br />
x = X ⋅ a = X ⋅ A ⋅ x<br />
⎛1<br />
A ⋅ X = X ⋅ A = I = ⎜<br />
⎝0<br />
0⎞<br />
⎟<br />
1⎠<br />
Definition 3-16<br />
Die quadratische<br />
von A. Dabei ist A eine reguläre<br />
Wir schreiben:<br />
m × m Matrix X mit <strong>de</strong>r Eigenschaft X ⋅ A = A ⋅ X = I heißt inverse Matrix<br />
m × m Matrix und I die m × m Einheitsmatrix.<br />
X = A<br />
−1<br />
Definition 3-17<br />
Die Inverse A -1 <strong>de</strong>r Matrix A kann aus <strong>de</strong>r Definitionsgleichung<br />
A ⋅ A<br />
−1<br />
= A<br />
−1<br />
⋅ A = I<br />
berechnet wer<strong>de</strong>n.<br />
Beispiel 3-2<br />
Für n = 3 und X = A -1 gilt:
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 35<br />
⎛ a<br />
⎜<br />
⎜a<br />
⎜<br />
⎝a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎞ ⎛ x<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⋅⎜<br />
x<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝ x<br />
11<br />
21<br />
31<br />
x<br />
x<br />
x<br />
12<br />
22<br />
32<br />
x<br />
x<br />
x<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎞ ⎛1<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ = ⎜0<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0⎞<br />
⎟<br />
0⎟<br />
1⎟<br />
⎠<br />
Der obigen Gleichung entsprechen 3 lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung <strong>de</strong>r Koeffizienten<br />
x ij von A -1 :<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
x<br />
x<br />
x<br />
11<br />
11<br />
11<br />
+ a<br />
+ a<br />
+ a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
x<br />
x<br />
x<br />
21<br />
21<br />
21<br />
+ a<br />
+ a<br />
+ a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
x<br />
x<br />
x<br />
31<br />
31<br />
31<br />
= 1<br />
= 0<br />
= 0<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
x<br />
x<br />
x<br />
12<br />
12<br />
12<br />
+ a<br />
+ a<br />
+ a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
x<br />
x<br />
x<br />
22<br />
22<br />
22<br />
+ a<br />
+ a<br />
+ a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
x<br />
x<br />
x<br />
32<br />
32<br />
32<br />
= 0<br />
= 1<br />
= 0<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
x<br />
x<br />
x<br />
13<br />
13<br />
13<br />
+ a<br />
+ a<br />
+ a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
x<br />
c<br />
x<br />
23<br />
23<br />
23<br />
+ a<br />
+ a<br />
+ a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
x<br />
x<br />
x<br />
33<br />
33<br />
33<br />
= 0<br />
= 0<br />
= 1<br />
Satz 3-5<br />
Die Inverse einer oberen (unteren) Dreiecksmatrix ist wie<strong>de</strong>r eine obere (untere) Dreiecksmatrix.<br />
Beispiel 3-3 (obere Dreiecksmatrix, n = 3):<br />
Aus <strong>de</strong>r obigen Gleichung folgt<br />
a<br />
11<br />
x<br />
11<br />
+ a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
x<br />
x<br />
21<br />
21<br />
+ a<br />
+ a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
x<br />
x<br />
x<br />
31<br />
31<br />
31<br />
= 1<br />
= 0<br />
= 0<br />
a<br />
11<br />
x<br />
12<br />
+ a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
x<br />
x<br />
22<br />
22<br />
+ a<br />
+ a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
x<br />
x<br />
x<br />
32<br />
32<br />
32<br />
= 0<br />
= 1<br />
= 0<br />
a<br />
11<br />
x<br />
13<br />
+ a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
x<br />
x<br />
23<br />
23<br />
+ a<br />
+ a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
x<br />
x<br />
x<br />
33<br />
33<br />
33<br />
= 0<br />
= 0<br />
= 1<br />
und durch rekursive Auflösung<br />
x<br />
x<br />
x<br />
31<br />
21<br />
11<br />
= 0<br />
= 0<br />
=<br />
1<br />
a<br />
11<br />
x<br />
x<br />
x<br />
32<br />
22<br />
12<br />
= 0<br />
1<br />
=<br />
a<br />
22<br />
a<br />
= −<br />
a<br />
12<br />
11<br />
x<br />
22<br />
x<br />
x<br />
x<br />
33<br />
23<br />
13<br />
1<br />
=<br />
a<br />
33<br />
a<br />
= −<br />
a<br />
1<br />
= −<br />
a<br />
23<br />
22<br />
11<br />
x<br />
33<br />
( a x + a x )<br />
13<br />
33<br />
12<br />
23<br />
also<br />
A<br />
−1<br />
⎛ x11<br />
⎜<br />
= ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
x<br />
x<br />
12<br />
22<br />
0<br />
x<br />
x<br />
x<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠
36<br />
Beson<strong>de</strong>rs einfach ist die Invertierung einer Diagonalmatrix. Aus<br />
⎛a11<br />
0 0 ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
A = ⎜ 0 a<br />
22<br />
0 ⎟ folgt<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 0 0 a<br />
33 ⎠<br />
A<br />
−1<br />
=<br />
⎛ 1<br />
⎜<br />
⎜ a11<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
0<br />
⎝<br />
0<br />
1<br />
a<br />
22<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
a<br />
33<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Satz 3-6<br />
Es gilt:<br />
−<br />
T 1 −1<br />
a) ( A ) = ( A ) T<br />
−1<br />
−1<br />
b) ( A ) = A<br />
c)<br />
(A ⋅ B)<br />
−1<br />
= B<br />
−1<br />
⋅ A<br />
−1<br />
−1<br />
1<br />
λ<br />
−1<br />
d) ( λA) = A , λ ≠ 0<br />
e)<br />
−<br />
A 1 =<br />
1<br />
A<br />
Satz 3-7<br />
Die inverse Matrix A -1 einer regulären<br />
m × m Matrix A berechnet sich folgen<strong>de</strong>rmaßen:<br />
A<br />
−1<br />
=<br />
1<br />
A<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
+ A<br />
− A<br />
+ A<br />
⋮<br />
11<br />
12<br />
13<br />
− A<br />
+ A<br />
− A<br />
⋮<br />
21<br />
22<br />
23<br />
+ A<br />
− A<br />
+ A<br />
( −1)<br />
( −1)<br />
( −1)<br />
m+<br />
1<br />
m+<br />
2<br />
m+<br />
3<br />
( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ 1+<br />
m<br />
−1<br />
A1m<br />
⋯ ⋯ ⋯ A<br />
mm ⎠<br />
⋮<br />
31<br />
32<br />
33<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋮<br />
A<br />
A<br />
A<br />
11<br />
11<br />
11<br />
⎞<br />
Satz 3-8<br />
Eine quadratische<br />
m × m Matrix A besitzt dann und nur dann eine Inverse, wenn<br />
a) ihre Determinante von Null verschie<strong>de</strong>n ist,<br />
b) <strong>de</strong>r Rang von A gleich m ist,<br />
c) A regulär ist,<br />
d) die Spalten und Zeilen von A eine Basis im R n bil<strong>de</strong>n.
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 37<br />
4 Determinanten<br />
Definition 4-1<br />
Eine n-reihige Determinante 1 ist eine Zahl, die aus gegebenen n 2 Zahlen a ik nach einer noch<br />
zu bestimmen<strong>de</strong>n Vorschrift gebil<strong>de</strong>t wird.<br />
D = <strong>de</strong>t(a<br />
ik<br />
) =<br />
a<br />
ik<br />
=<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
⋯<br />
a<br />
i1<br />
⋯<br />
n1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
⋯<br />
i2<br />
⋯<br />
n2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
1k<br />
2k<br />
⋯<br />
ik<br />
⋯<br />
nk<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
1n<br />
2n<br />
⋯<br />
in<br />
⋯<br />
nn<br />
Zeilen und Spalten heißen allgemein Reihen.<br />
Definition 4-2 (Rechenvorschrift zur Bestimmung <strong>de</strong>r Determinante)<br />
Im Fall n = 1 wird <strong>de</strong>t( a11)<br />
= a11<br />
= a11<br />
Für die Fälle n = 2, 3, 4,... wird <strong>de</strong>r Begriff <strong>de</strong>r n-reihigen Determinante durch die Vorschrift<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
⋯<br />
a<br />
n1<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
⋯<br />
a<br />
n2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
a<br />
1n<br />
2n<br />
⋯<br />
a<br />
nn<br />
= a<br />
11<br />
a<br />
22<br />
a<br />
32<br />
⋅<br />
⋯<br />
a<br />
n2<br />
a<br />
a<br />
23<br />
33<br />
⋯<br />
a<br />
n3<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
a<br />
2n<br />
3n<br />
⋯<br />
a<br />
nn<br />
− a<br />
12<br />
a<br />
a<br />
21<br />
a<br />
31<br />
⋅<br />
⋯<br />
n1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
23<br />
33<br />
⋯<br />
n3<br />
a<br />
a<br />
a<br />
24<br />
34<br />
⋯<br />
n4<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
a<br />
a<br />
2n<br />
3n<br />
⋯<br />
nn<br />
+<br />
+ a<br />
13<br />
a<br />
a<br />
21<br />
a<br />
31<br />
⋅<br />
⋯<br />
n1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
22<br />
32<br />
n 2<br />
a<br />
a<br />
a<br />
24<br />
34<br />
⋯ ⋯<br />
n4<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
a<br />
2n<br />
a<br />
3n<br />
− + ⋯+<br />
( −1)<br />
⋯<br />
nn<br />
n+<br />
1<br />
a<br />
1n<br />
a<br />
a<br />
21<br />
a<br />
31<br />
⋅<br />
⋯<br />
auf <strong>de</strong>n Begriff <strong>de</strong>r (n-1)-reihigen Determinante o<strong>de</strong>r auch Unter<strong>de</strong>terminante zurückgeführt.<br />
n1<br />
a<br />
a<br />
a<br />
22<br />
32<br />
⋯<br />
n 2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
a<br />
a<br />
2,n−1<br />
3,n−1<br />
⋯<br />
n,n−1<br />
Beispiel 4-1 (n = 2):<br />
a<br />
c<br />
b<br />
d<br />
= a ⋅ d<br />
− b⋅<br />
c<br />
= ad − bc<br />
1 Gottfried Wilhelm Leibniz, <strong>de</strong>utsch. Mathematiker und Philosoph, 1646-1716
38<br />
Definition 4-3<br />
Entfernen wir aus <strong>de</strong>m Zahlenschema |a ik | die i-te Zeile und die k-te Spalte und rücken die<br />
verbleiben<strong>de</strong>n Elemente wie<strong>de</strong>r zu einer Determinante zusammen, so entsteht die zum Element<br />
a ik gehörige Unter<strong>de</strong>terminante D ik . Sie ist von <strong>de</strong>r Ordnung n-1.<br />
Beispiel 4-2 (n = 3):<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⇒<br />
D<br />
21<br />
=<br />
a<br />
a<br />
12<br />
32<br />
a<br />
a<br />
13<br />
33<br />
Aus <strong>de</strong>n n 2 Elementen einer n-reihigen Determinante lassen sich n 2 Unter<strong>de</strong>terminanten <strong>de</strong>r<br />
Ordnung n-1 bil<strong>de</strong>n.<br />
Definition 4-4<br />
Unter <strong>de</strong>m Rang einer Matrix versteht man die höc<strong>hs</strong>te Ordnung, die <strong>de</strong>ren nicht verschwin<strong>de</strong>n<strong>de</strong><br />
Unter<strong>de</strong>terminanten haben können.<br />
Hinweis: Um <strong>de</strong>n Rang einer Matrix zu bestimmen, sind alle Unter<strong>de</strong>terminanten <strong>de</strong>r Ordnung<br />
l zu betrachten, wobei l entwe<strong>de</strong>r die kleinere <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Zahlen m und n für m ≠ n<br />
o<strong>de</strong>r l = m = n ist. Ist wenigstens eine dieser Determinanten ≠ 0, so ist <strong>de</strong>r Rang <strong>de</strong>r Matrix A<br />
gleich l. Verschwin<strong>de</strong>n sie jedoch alle, dann sind die Unter<strong>de</strong>terminanten l - 1 zu betrachten<br />
usw. In <strong>de</strong>r praktischen Anwendung ist es jedoch besser, umgekehrt zu verfahren, d.h., von<br />
Unter<strong>de</strong>terminanten geringerer Ordnung zu <strong>de</strong>nen höherer Ordnung überzugehen, und dabei<br />
folgen<strong>de</strong> Regel zu beachten: Hat man eine nicht verschwin<strong>de</strong>n<strong>de</strong> Unter<strong>de</strong>terminante k-ter<br />
Ordnung gefun<strong>de</strong>n, so sind nur noch die Unter<strong>de</strong>terminanten <strong>de</strong>r Ordnung (k + 1) zu betrachten,<br />
sich durch Rän<strong>de</strong>rung von D k ergeben<br />
D k<br />
…<br />
⋮<br />
…<br />
⋮<br />
…<br />
D<br />
k<br />
…<br />
…<br />
D<br />
k<br />
…<br />
⋮<br />
⋯<br />
⋮<br />
⋯<br />
D<br />
k<br />
Sind dann alle diese Unter<strong>de</strong>terminanten <strong>de</strong>r Ordnung (k + 1) gleich Null, dann ist <strong>de</strong>r Rang<br />
<strong>de</strong>r Matrix gleich k.
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 39<br />
Beispiel 4-3<br />
Gesucht wird <strong>de</strong>r Rang <strong>de</strong>r Matrix<br />
⎛2<br />
⎜<br />
⎜ 1<br />
A =<br />
⎜0<br />
⎜<br />
⎝4<br />
− 4<br />
− 2<br />
1<br />
− 7<br />
3<br />
1<br />
−1<br />
4<br />
1<br />
− 4<br />
3<br />
− 4<br />
0⎞<br />
⎟<br />
2⎟<br />
1⎟<br />
⎟<br />
5<br />
⎠<br />
Die Matrix A enthält in <strong>de</strong>r oberen linken Ecke eine Unter<strong>de</strong>terminante zweiter Ordnung<br />
2 − 4<br />
D 2<br />
= = 0 . Es existiert jedoch eine Unter<strong>de</strong>terminante zweiter Ordnung, die nicht verschwin<strong>de</strong>t:<br />
D 2<br />
1 − 2<br />
′ − 4 3<br />
= = 2 ≠ 0 . Rän<strong>de</strong>rn dieser Unter<strong>de</strong>terminante links und unten liefert:<br />
− 2 1<br />
D 3<br />
2 − 4 3<br />
= 1 − 2 1 = 1 ≠ 0 . Durch Rän<strong>de</strong>rn von D 3 erhalten wir 1<br />
0 1 −1<br />
2 − 4 3 1<br />
2 − 4 3 0<br />
1 − 2 1 − 4<br />
′ 1 − 2 1 2<br />
D 4<br />
= = 0 und D 4<br />
=<br />
= 0<br />
0 1 −1<br />
3<br />
0 1 −1<br />
1<br />
4 − 7 4 − 4<br />
4 − 7 4 5<br />
Somit ist <strong>de</strong>r Rang von A gleich 3<br />
Definition 4-5<br />
Es existieren 2n Möglichkeiten zur Berechnung einer n-reihigen Determinante. Entwicklung<br />
nach <strong>de</strong>n Elementen <strong>de</strong>r i-ten Zeile (= n Möglichkeiten)<br />
n<br />
D = ∑(<br />
−1)<br />
k=<br />
1<br />
i+<br />
k<br />
a<br />
ik<br />
D<br />
ik<br />
1 ≤ i ≤ n<br />
Entwicklung nach <strong>de</strong>n Elementen <strong>de</strong>r k-ten Spalte (= n Möglichkeiten)<br />
n<br />
D = ∑(<br />
−1)<br />
i=<br />
1<br />
i+<br />
k<br />
a<br />
ik<br />
D<br />
ik<br />
1 ≤ k ≤ n<br />
1 das ist nur auf zwei verschie<strong>de</strong>ne Arten möglich
40<br />
Beispiel 4-4 (n = 3): Entwicklung nach <strong>de</strong>r ersten Zeile<br />
D =<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
= a<br />
11<br />
a<br />
⋅<br />
a<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
23<br />
33<br />
− a<br />
12<br />
a<br />
⋅<br />
a<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
23<br />
33<br />
+ a<br />
13<br />
a<br />
⋅<br />
a<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
22<br />
32<br />
= a<br />
11<br />
a<br />
22<br />
a<br />
33<br />
− a<br />
11<br />
a<br />
23<br />
a<br />
32<br />
− a<br />
12<br />
a<br />
21<br />
a<br />
33<br />
+ a<br />
12<br />
a<br />
23<br />
a<br />
31<br />
+ a<br />
13<br />
a<br />
21<br />
a<br />
32<br />
− a<br />
13<br />
a<br />
22<br />
a<br />
31<br />
+<br />
−<br />
+<br />
−<br />
Schachbrettregel für das Vorzeichen:<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
+<br />
Hinweis: In <strong>de</strong>n folgen<strong>de</strong>n Sätzen kann das Wort Reihe sowohl durch das Wort Zeile als auch<br />
durch das Wort Spalte ersetzt wer<strong>de</strong>n.<br />
Satz 4-1<br />
Eine Determinante än<strong>de</strong>rt ihren Wert nicht bei Vertauschung ihrer Zeilen mit ihren Spalten<br />
(Spiegelung an <strong>de</strong>r Hauptdiagonalen)<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
=<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
12<br />
13<br />
a<br />
a<br />
a<br />
21<br />
22<br />
23<br />
a<br />
a<br />
a<br />
31<br />
32<br />
33<br />
Satz 4-2<br />
Eine Determinante än<strong>de</strong>rt ihr Vorzeichen bei Vertauschung zweier paralleler Reihen.<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
a<br />
= − a<br />
a<br />
11<br />
31<br />
21<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
32<br />
22<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
33<br />
23<br />
Satz 4-3<br />
Wenn die Elemente <strong>de</strong>r k-ten Reihe einer Determinante D Summen von zwei Summan<strong>de</strong>n<br />
sind, so lässt sich D als Summe zweier Determinanten darstellen, <strong>de</strong>ren Elemente in <strong>de</strong>r ent-
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 41<br />
sprechen<strong>de</strong>n k-ten Reihe jene Summan<strong>de</strong>n sind und in <strong>de</strong>n übrigen Reihen mit D übereinstimmen.<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
11<br />
21<br />
31<br />
41<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
12<br />
22<br />
32<br />
42<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
+ b<br />
1<br />
+ b<br />
+ b<br />
+ b<br />
2<br />
3<br />
4<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
14<br />
24<br />
34<br />
44<br />
=<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
11<br />
21<br />
31<br />
41<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
12<br />
22<br />
32<br />
42<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
14<br />
24<br />
34<br />
44<br />
+<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
11<br />
21<br />
31<br />
41<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
12<br />
22<br />
32<br />
42<br />
b<br />
b<br />
b<br />
b<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
c<br />
c<br />
c<br />
c<br />
14<br />
24<br />
34<br />
44<br />
Satz 4-4<br />
Ein <strong>de</strong>n Elementen einer Reihe gemeinsamer Faktor darf vor die Determinante gezogen wer<strong>de</strong>n.<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
λa<br />
λa<br />
λa<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
a<br />
= λ ⋅ a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
Satz 4-5<br />
Sind die Elemente einer Reihe lauter Nullen, so hat die Determinante <strong>de</strong>n Wert Null.<br />
a<br />
a<br />
11<br />
0<br />
31<br />
a<br />
a<br />
12<br />
0<br />
32<br />
a<br />
a<br />
13<br />
0<br />
33<br />
= 0<br />
Satz 4-6<br />
Sind die Elemente zweier paralleler Reihen zueinan<strong>de</strong>r proportional, o<strong>de</strong>r stimmen zwei Reihen<br />
überein, so hat die Determinante <strong>de</strong>n Wert Null.<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
λa<br />
λa<br />
λa<br />
11<br />
21<br />
31<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
= 0<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
21<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
22<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
23<br />
= 0<br />
Satz 4-7<br />
Sind A und B beliebige quadratische n-reihige Matrizen, so gilt:<br />
A ⋅ B =<br />
A<br />
B<br />
Beispiel 4-5<br />
Berechnung <strong>de</strong>r Determinante einer oberen Dreiecksmatrix
42<br />
a<br />
11<br />
0<br />
0<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
0<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
= a<br />
11<br />
a<br />
22<br />
0<br />
a<br />
a<br />
23<br />
33<br />
= a<br />
11<br />
a<br />
22<br />
a<br />
33<br />
= a<br />
11<br />
a<br />
22<br />
a<br />
33<br />
Satz 4-8<br />
Besitzt eine n-reihige Determinante obere o<strong>de</strong>r untere Dreiecksgestalt, so errechnet sich die<br />
Determinante aus <strong>de</strong>m Produkt <strong>de</strong>r Hauptdiagonalglie<strong>de</strong>r:<br />
D = <strong>de</strong>t(a<br />
) =<br />
n<br />
∏<br />
ik<br />
a ii<br />
i=<br />
1<br />
5 Lineare Gleichungssysteme<br />
Definition 5-1<br />
Unter einem linearen Gleichungssystem (LGS) verstehen wir m lineare Gleichungen, in <strong>de</strong>nen<br />
n U<strong>nb</strong>ekannte x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n auftreten. Hierbei sind die Koeffizienten a<br />
ij<br />
(i = 1...m, j =<br />
1...n) und die Absolutglie<strong>de</strong>r <strong>de</strong>r rechten Seite<br />
b i<br />
= i = 1, …,<br />
m gegeben.<br />
Mit <strong>de</strong>n Vektoren<br />
a<br />
1<br />
a<br />
a<br />
⋮<br />
a<br />
11<br />
12<br />
m1<br />
x<br />
x<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1<br />
⎛ a<br />
⎜<br />
= ⎜ ⋮<br />
⎜<br />
⎝a<br />
11<br />
m1<br />
+ a<br />
+ a<br />
12<br />
+ a<br />
22<br />
x<br />
x<br />
m2<br />
2<br />
2<br />
x<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟,<br />
…,a<br />
⎟<br />
⎠<br />
+ … + a<br />
n<br />
+ … + a<br />
2<br />
1n<br />
2n<br />
+ … + a<br />
⎛ a<br />
⎜<br />
= ⎜ ⋮<br />
⎜<br />
⎝a<br />
1n<br />
mn<br />
x<br />
x<br />
mn<br />
n<br />
n<br />
x<br />
= b<br />
n<br />
1<br />
= b<br />
2<br />
= b<br />
m<br />
⎞ ⎛ b<br />
⎟ ⎜<br />
⎟,<br />
…,b<br />
= ⎜ ⋮<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝b<br />
1<br />
m<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
erhalten wir die vektorielle Darstellung <strong>de</strong>s LGS<br />
a1 x1<br />
+ a<br />
2x<br />
2<br />
+ … + a<br />
nx<br />
n<br />
= b<br />
Mit A = ( a , ,a )<br />
1<br />
⎛ a11<br />
a12<br />
⋯ a1n<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ a<br />
21<br />
a<br />
22<br />
⋯ a<br />
2n ⎟<br />
…<br />
n<br />
= ⎜<br />
⎟ und<br />
⋮ ⋮ ⋮<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝a<br />
m1<br />
a<br />
m2<br />
⋯ a<br />
mn ⎠<br />
⎛ x1<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ x<br />
2 ⎟<br />
x = ⎜ ⋮ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ x<br />
m ⎠
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 43<br />
folgt die Matrixdarstellung <strong>de</strong>s LGS<br />
A ⋅ x =<br />
b<br />
Ein LGS heißt homogen, wenn b = b = … = b 0 sind. An<strong>de</strong>rnfalls heißt es inhomogen.<br />
1 2<br />
m<br />
=<br />
Beispiel 5-1 (Inhomogenes LGS mit 3 Gleichungen für 3 U<strong>nb</strong>ekannte x 1 , x 2 , x 3 )<br />
4x<br />
2x<br />
x<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+<br />
−<br />
+<br />
3x<br />
x<br />
2x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
−<br />
+<br />
−<br />
x<br />
x<br />
2x<br />
3<br />
3<br />
3<br />
=<br />
=<br />
=<br />
−1<br />
5<br />
− 5<br />
mit<br />
⎛4<br />
⎜<br />
A = ⎜2<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
3<br />
−1<br />
2<br />
−1⎞<br />
⎟<br />
1⎟;<br />
− 2⎟<br />
⎠<br />
⎛ x<br />
⎜<br />
x = ⎜ x<br />
⎜<br />
⎝ x<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟;<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛ b<br />
⎜<br />
b = ⎜b<br />
⎜<br />
⎝ b<br />
1<br />
2<br />
3<br />
⎞ ⎛ −1⎞<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎟ = ⎜ 5⎟<br />
.<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝−<br />
5⎠<br />
Definition 5-2<br />
Ein Zahlentupel ( xˆ<br />
1,<br />
xˆ<br />
2<br />
,…,<br />
xˆ<br />
n<br />
)<br />
n<br />
∈ R , welches alle m Gleichungen <strong>de</strong>s LGS erfüllt, heißt<br />
Lösung <strong>de</strong>s LGS. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge <strong>de</strong>s LGS.<br />
Satz 5-1<br />
Bei homogenen LGS ist je<strong>de</strong>s Vielfache <strong>de</strong>r Lösung wie<strong>de</strong>r eine Lösung.<br />
Satz 5-2<br />
Ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n U<strong>nb</strong>ekannten besitzt bei regulärer Koeffizientenmatrix<br />
genau eine Lösung.<br />
Satz 5-3<br />
Ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n U<strong>nb</strong>ekannten besitzt bei regulärer Koeffizientenmatrix<br />
nur die triviale Lösung x = x = … = x 0 .<br />
1 2<br />
n<br />
=
44<br />
Satz 5-4 (Die Cramersche Regel)<br />
Gegeben sei ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n U<strong>nb</strong>ekannten mit einer regulärer<br />
Koeffizientenmatrix in <strong>de</strong>r vektoriellen Darstellung<br />
a1 x1<br />
+ a<br />
2x<br />
2<br />
+ … + a<br />
nx<br />
n<br />
= b ,<br />
dann hat <strong>de</strong>r Lösungsvektor die Komponenten<br />
x<br />
a ,…,a<br />
,b,a<br />
,…,a<br />
1 k−1<br />
k+<br />
1 n<br />
k<br />
=<br />
=<br />
a1,a<br />
2,<br />
…,a<br />
k<br />
,…,a<br />
n<br />
A<br />
k<br />
A<br />
, k = 1,2, …,n.<br />
wobei |A| die Determinante von A und |A k | diejenige Determinante ist, die aus A entsteht,<br />
wenn wir in A die k-te Spalte durch die Spalte <strong>de</strong>r rechten Seite ersetzten 1 .<br />
4x<br />
2x<br />
x<br />
1<br />
1<br />
1<br />
+<br />
−<br />
+<br />
3x<br />
x<br />
2x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
−<br />
+<br />
−<br />
x<br />
x<br />
2x<br />
3<br />
3<br />
3<br />
=<br />
=<br />
=<br />
−1<br />
5<br />
− 5<br />
−1<br />
3 −1<br />
4 −1<br />
−1<br />
D 1<br />
= 5 −1<br />
1 = 10<br />
= 2 5 1 = −10<br />
− 5 2 − 2<br />
1 − 5 − 2<br />
4 3 −1<br />
4 3 −1<br />
D 3<br />
= 2 −1<br />
5 = 20<br />
D = 2 −1<br />
1 = 10<br />
1 2 − 5<br />
1 2 − 2<br />
D 2<br />
D1<br />
10 D<br />
2 −10<br />
D3<br />
20<br />
x1 = = = 1; x<br />
2<br />
= = = −1;<br />
x<br />
3<br />
= = = 2<br />
D 10<br />
D 10<br />
D 10<br />
Definition 5-3<br />
Zwei Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.<br />
1 Gabriel Cramer, schweizer. Mathematiker, 1704-1752
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 45<br />
Satz 5-5<br />
Zwei LGS sind genau dann äquivalent, wenn sie sich durch<br />
a) Vertauschen zweier Gleichungen (Zeilen) miteinan<strong>de</strong>r,<br />
b) Multiplikation einer Gleichung (Zeile) mit einer reellen Zahl α ≠ 0 ,<br />
c) Addition <strong>de</strong>s Vielfachen einer Gleichung (Zeile) zu einer an<strong>de</strong>ren Gleichung (Zeile)<br />
ineinan<strong>de</strong>r überführen lassen.<br />
Gaußscher Algorithmus<br />
Ein LGS wird durch äquivalente Umformungen auf Dreiecksgestalt gebracht. Dieses äquivalente<br />
Gleichungssystem lässt sich rekursiv lösen.<br />
Satz 5-6<br />
Ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n U<strong>nb</strong>ekannten besitzt genau dann nichttriviale<br />
Lösungen, wenn <strong>de</strong>r Rang r <strong>de</strong>r Koeffizientenmatrix kleiner als n ist. Die Lösungsmenge enthält<br />
n-r freie Parameter. Sie hat die Dimension n-r.<br />
Satz 5-7<br />
Ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n U<strong>nb</strong>ekannten und Rang von A gleich<br />
besitzt nur dann Lösungen, wenn <strong>de</strong>r Rang von ( A b)<br />
auch gleich r ist.<br />
r < n<br />
Satz 5-8<br />
Ein LGS mit m Gleichungen und n U<strong>nb</strong>ekannten hat genau dann min<strong>de</strong>stens eine Lösung,<br />
wenn <strong>de</strong>r Rang <strong>de</strong>r Koeffizientenmatrix A und <strong>de</strong>r Rang <strong>de</strong>r erweiterten Matrix ( A b)<br />
übereinstimmen.<br />
Definition 5-4<br />
Für ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n U<strong>nb</strong>ekannten heißt je<strong>de</strong> Zahl λ i , für die die<br />
Gleichung<br />
( A − λE) ⋅ x = 0<br />
nichttriviale Lösungen besitzt, Eigenwert von A. Notwendige Bedingung dafür ist
46<br />
A − λE<br />
= 0 ,<br />
o<strong>de</strong>r:<br />
a<br />
11<br />
a<br />
a<br />
− λ<br />
21<br />
⋯<br />
n1<br />
a<br />
a<br />
22<br />
a<br />
12<br />
⋯<br />
− λ<br />
n2<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
⋯<br />
a<br />
a<br />
a<br />
nn<br />
1n<br />
2n<br />
⋯<br />
− λ<br />
= 0<br />
Die nichttrivialen Lösungen x <strong>de</strong>s homogenen Gleichungssystems ( A λE) ⋅ x = 0<br />
− können bei<br />
bekannten Eigenwerten λ i<br />
(i = 1, n) berechnet wer<strong>de</strong>n. Sie wer<strong>de</strong>n Eigenvektoren x i <strong>de</strong>r<br />
Matrix A zum Eigenwert λ<br />
i<br />
genannt. Der k-te Eigenvektor genügt <strong>de</strong>r Gleichung<br />
Beispiel 5-2 (n = 3)<br />
( A − λ E) ⋅ x 0<br />
k k<br />
=<br />
a<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
31<br />
− λ<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
32<br />
− λ<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
− λ<br />
= 0<br />
Ausmultiplizieren führt auf die charakteristische Gleichung von A:<br />
3 2<br />
λ − A1λ<br />
+ A<br />
2<br />
λ − A<br />
3<br />
= 0<br />
mit <strong>de</strong>n Invarianten<br />
3<br />
3<br />
1<br />
= ∑a<br />
kk<br />
; A<br />
2<br />
= ∑<br />
2<br />
( a a − a a );<br />
A A<br />
A1 jj kk jk kj 3<br />
=<br />
k=<br />
1<br />
j,k=<br />
1<br />
Beispiel 5-3 (n = 2)<br />
a<br />
a<br />
11<br />
21<br />
− λ<br />
a<br />
a<br />
12<br />
22<br />
− λ<br />
= 0<br />
Ausmultiplizieren liefert die quadratische Gleichung:<br />
2<br />
λ −<br />
( + a ) λ + ( a a − a a ) = 0<br />
a11<br />
22 11 22 21 12
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 47<br />
Satz 5-9<br />
Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix A (A = A T ) sind reell.<br />
Beispiel 5-4<br />
⎛3<br />
Gesucht sind die Eigenwerte <strong>de</strong>r symmetrischen Matrix A = ⎜<br />
⎝2<br />
2<br />
Das charakteristische Polynom: λ − 6λ + 5 = 0<br />
hat die Lösungen: λ = ; λ 5 . Das sind die Eigenwerte von A.<br />
1<br />
1 2<br />
=<br />
2⎞<br />
⎟<br />
3⎠<br />
Beispiel 5-5<br />
⎛3<br />
2⎞<br />
Gesucht sind die Eigenvektoren <strong>de</strong>r Matrix A = ⎜ ⎟ .<br />
⎝2<br />
3⎠<br />
Die Eigenwerte sind λ 1<br />
= 1;<br />
λ 2<br />
= 5 . Für <strong>de</strong>n ersten Eigenwert λ<br />
1<br />
= 1 ergibt sich folgen<strong>de</strong>s<br />
Gleichungssystem<br />
⎡⎛<br />
3<br />
⎢⎜<br />
⎣⎝<br />
2<br />
2⎞<br />
⎟ − λ<br />
3⎠<br />
1<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0⎞⎤<br />
⎛ x<br />
⎟⎥ ⋅⎜<br />
1⎠⎦<br />
⎝ x<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ = 0<br />
⎠<br />
also<br />
⎛3<br />
−1<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
2x<br />
2x<br />
1<br />
1<br />
+ 2x<br />
+ 2x<br />
2 ⎞ ⎛ x<br />
⎟ ⋅⎜<br />
3 −1⎠<br />
⎝ x<br />
2<br />
2<br />
= 0<br />
= 0<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ = 0<br />
⎠<br />
⎛ 1⎞<br />
Wir wählen x 1<br />
= t ∈ R, dann folgt x 2<br />
= −t<br />
. Damit ist je<strong>de</strong>r Vektor x 1 = t⎜<br />
⎟ Eigenvektor<br />
⎝−1⎠<br />
zu λ<br />
1<br />
= 1. Für <strong>de</strong>n zweiten Eigenwert λ<br />
2<br />
= 5 erhalten wir entsprechend<br />
⎡⎛<br />
3<br />
⎢⎜<br />
⎣⎝<br />
2<br />
2⎞<br />
⎟ − λ<br />
3⎠<br />
2<br />
⎛1<br />
⎜<br />
⎝0<br />
0⎞⎤<br />
⎛ x<br />
⎟⎥ ⋅ ⎜<br />
1⎠⎦<br />
⎝ x<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ = 0<br />
⎠<br />
also<br />
⎛3<br />
− 5<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
− 2x<br />
2x<br />
1<br />
1<br />
2 ⎞ ⎛ x<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
3 − 5⎠<br />
⎝ x<br />
+ 2x<br />
− 2x<br />
2<br />
2<br />
= 0<br />
= 0<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ = 0<br />
⎠
48<br />
⎛1⎞<br />
Mit x 1<br />
= s beliebig reell folgt x 2<br />
= s . Damit ist je<strong>de</strong>r Vektor x 2 = s⎜<br />
⎟ Eigenvektor zu<br />
⎝ 1 ⎠<br />
λ<br />
2<br />
= 5. Die auf <strong>de</strong>n Betrag 1 normierten Eigenvektoren sind:<br />
=<br />
1 ⎛ 1⎞<br />
⎜ ⎟;<br />
2 ⎝ −1⎠<br />
e<br />
e1<br />
2<br />
=<br />
1 ⎛1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 ⎝1⎠<br />
Satz 5-10<br />
Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind orthogonal.<br />
Definition 5-5<br />
Die n unabhängigen Eigenvektoren x i lassen sich in folgen<strong>de</strong>r Reihenfolge zu <strong>de</strong>r regulären<br />
Matrix<br />
X = e ,e ,…,<br />
,<br />
( )<br />
1 2<br />
e<br />
n<br />
die Eigenvektormatrix o<strong>de</strong>r auch Modalmatrix genannt wird, zusammenfassen.<br />
Definition 5-6<br />
Für die Modalmatrix gilt:<br />
−<br />
X 1<br />
⋅ A ⋅ X = Λ , wobei<br />
⎛λ1<br />
⎜<br />
⎜ 0<br />
Λ = ⎜…<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
0<br />
λ<br />
2<br />
…<br />
0<br />
…<br />
…<br />
λ<br />
n−1<br />
0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎟<br />
⎟<br />
λ<br />
n ⎠<br />
= Diag<br />
( λ )<br />
ii<br />
Diagonalmatrix <strong>de</strong>r Eigenwerte genannt wird.<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
⎛3<br />
2⎞<br />
1 ⎛ 1⎞<br />
1 ⎛1⎞<br />
1 ⎛ 1 1⎞<br />
⎜ − ⎟<br />
−1<br />
⎡1<br />
−1⎤<br />
A = ⎜ ⎟ ; e1 = ⎜ ⎟;<br />
e<br />
2<br />
= ⎜ ⎟ ; X = ⎜ ⎟;<br />
X = 2⎜<br />
2 2 ⎟ =<br />
⎝2<br />
3⎠<br />
2 ⎝−1⎠<br />
2 ⎝1<br />
⎢ ⎥ ;<br />
⎠ 2 ⎝−1<br />
1⎠<br />
⎜ 1 1<br />
⎟ ⎣1<br />
1 ⎦<br />
⎝ 2 2 ⎠<br />
X<br />
−1<br />
⎛1<br />
⋅ A ⋅ X = Λ = ⎜<br />
⎝0<br />
0⎞<br />
⎛λ1<br />
⎟ = ⎜<br />
5⎠<br />
⎝ 0<br />
0 ⎞<br />
⎟<br />
λ<br />
2 ⎠
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 49<br />
6 Analysis<br />
Definition 6-1<br />
Unter einer Funktion f verstehen wir eine Vorschrift, die je<strong>de</strong>m Element x einer gegebenen<br />
Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet. D heißt Definitionsbereich und<br />
W heißt Wertebereich. Schreibweise: f : D → Wmity = f (x)<br />
Definition 6-2<br />
Es sei f : D → W eine Funktion.<br />
a) f ist geradsymmetrisch, wenn f(-x) = f(x) für alle x ∈ D gilt.<br />
b) f ist ungeradsymmetrisch (punktsymmetrisch zum Ursprung), wenn f(-x) = -f(x) für alle<br />
x ∈ D gilt.<br />
Definition 6-3<br />
Es ist I ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f:<br />
I → W heißt<br />
a) monoton wac<strong>hs</strong>end in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) ist<br />
b) streng monoton wac<strong>hs</strong>end in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) < f(x 2 ) ist,<br />
c) monoton fallend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) ist,<br />
d) streng monoton fallend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) > f(x 2 ) ist.<br />
Definition 6-4<br />
Es ist I ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f:<br />
I → W heißt<br />
a) konvex in I, wenn ihr Graph mit größer wer<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n x-Werten eine Linkskurve beschreibt,<br />
b) konkav in I, wenn ihr Graph mit größer wer<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n x-Werten eine Rechtskurve beschreibt<br />
Definition 6-5<br />
1<br />
Die Umkehrfunktion (inverse Funktion) f − ordnet je<strong>de</strong>m Element f(x) <strong>de</strong>s Wertebereiches<br />
W das Element x <strong>de</strong>s Definitionsbereiches D zu.
50<br />
Satz 6-1<br />
Je<strong>de</strong> streng monotone Funktion besitzt eine Umkehrfunktion<br />
Definition 6-6<br />
Eine Funktion <strong>de</strong>r Form<br />
f (x) = a<br />
… + , a n<br />
≠ 0 ,<br />
2<br />
n<br />
0<br />
+ a1x<br />
+ a<br />
2x<br />
+ a<br />
n<br />
x<br />
mit a i ∈ R,<br />
i = 0,1, …,<br />
n , fest, heißt ganze rationale Funktion o<strong>de</strong>r Polynom vom<br />
Gera<strong>de</strong> n.<br />
Satz 6-2<br />
Ein Polynom n-ten Gra<strong>de</strong>s hat genau n Nullstellen, d.h. Lösungen <strong>de</strong>r Gleichung f (x) = 0 . Ist<br />
n ungera<strong>de</strong>, dann gibt es min<strong>de</strong>stens eine reelle Nullstelle.<br />
Definition 6-7<br />
Ist g(x) ein Polynom vom Gra<strong>de</strong> n und h(x) ein Polynom vom Gra<strong>de</strong> m > 0, dann heißt die<br />
Funktion<br />
2<br />
n<br />
a<br />
0<br />
+ a1x<br />
+ a<br />
2x<br />
+ … + a<br />
n<br />
x g(x)<br />
f (x) =<br />
=<br />
2<br />
m<br />
b + b x + b x + … + b x h(x)<br />
0<br />
1<br />
2<br />
m<br />
eine gebrochen rationale Funktion.<br />
Satz 6-3<br />
Der größtmögliche Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion ist<br />
D max = R\{x|h(x) = 0}<br />
Definition 6-8<br />
Nullstellen <strong>de</strong>s Nenners einer gebrochen rationalen Funktion, die nicht gleichzeitig Nullstellen<br />
<strong>de</strong>s Zählers sind, heißen Pole.
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 51<br />
Definition 6-9<br />
Die Funktion<br />
x<br />
f (x) = e heißt Exponentialfunktion. Sie ist auf R <strong>de</strong>finiert und<br />
e = 2,718281... ist die Eulersche Zahl.<br />
Definition 6-10<br />
Die Umkehrfunktion von e x wird mit f (x) = ln x bezeichnet. Sie heißt (natürliche) Logarithmusfunktion<br />
und ist für x > 0 <strong>de</strong>finiert.<br />
Satz 6-4<br />
1<br />
und a ∈ R, dann gilt:<br />
Es sei ∈ ( 0, ∞) , x ∈ ( 0, ∞) , x ∈ ( 0,<br />
∞)<br />
x<br />
2<br />
a) ln( x1x<br />
2<br />
) = ln x1<br />
+ ln x<br />
2<br />
⎛ x1<br />
⎞<br />
b) ln<br />
⎜ = ln x1<br />
− ln x<br />
2<br />
x<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
c) ln( x<br />
a ) = a ln x<br />
Definition 6-11<br />
Der Sinus eines Winkels x wird am rechtwinkligen Dreieck erklärt als das Verhältnis von<br />
Gegenkathete zu Hypotenuse. Der Kosinus von x ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse<br />
sin x =<br />
cos x =<br />
g<br />
h<br />
a<br />
h<br />
Am Einheitskreis wer<strong>de</strong>n diese Funktionen auf beliebige (im Bogenmaß gemessene) Winkel<br />
ausge<strong>de</strong>hnt.
52<br />
Bei<strong>de</strong> Funktionen haben die Perio<strong>de</strong> 2 π. Der Definitionsbereich ist R und <strong>de</strong>r Wertebereich<br />
ist [-1,1]. Es gilt:<br />
a) sin( − x) = −sin<br />
x b) cos( − x) = cos(x)<br />
2<br />
2<br />
⎛ π ⎞<br />
c) sin x + cos x = 1 d) cos ⎜ x − ⎟ = sin x<br />
⎝ 2 ⎠<br />
Definition 6-12<br />
sin x<br />
⎛ 1 ⎞<br />
tan x = für alle x ≠ ⎜k<br />
+ ⎟π<br />
,<br />
cos x<br />
⎝ 2 ⎠<br />
cos x<br />
cot x = für alle x ≠ kπ<br />
, k = … −1,0, 1…<br />
sin x<br />
6.1 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen<br />
Definition 6-13<br />
Gegeben ist eine Funktion f : D → W . Wenn bei <strong>de</strong>r Annäherung von x gegen x 0 die Funktionswerte<br />
einem Wert g beliebig nahe kommen, dann heißt g <strong>de</strong>r Grenzwert von y = f (x)<br />
für<br />
x gegen x 0 . Wir schreiben dann<br />
Definition 6-14<br />
lim f (x) = g .<br />
x→<br />
x 0<br />
f (x) hat für x → ∞ ( x → −∞)<br />
<strong>de</strong>n Grenzwert G, wenn es für je<strong>de</strong>s ε > 0 einen Wert x<br />
ε<br />
gibt,<br />
so dass für alle > x ( x x )<br />
Definition 6-15<br />
x gilt, dass f (x) − G < ε ist.<br />
ε<br />
<<br />
ε<br />
f(x) hat <strong>de</strong>n Grenzwert g an <strong>de</strong>r Stelle x<br />
0<br />
, wenn zu je<strong>de</strong>m ε > 0 ein δ<br />
ε<br />
<strong>de</strong>rart existiert, dass<br />
f (x) − g < ε für alle x mit x − x 0<br />
< δε<br />
erfüllt ist.
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 53<br />
Definition 6-16<br />
Es sei<br />
f : D → W eine Funktion und x 0<br />
∈ D . Die Funktion f heißt stetig in x 0 , wenn<br />
a) lim f (x)<br />
x→x 0<br />
existiert und<br />
b) lim f (x) = f ( x )<br />
x→x<br />
0<br />
0<br />
Die Funktion heißt stetig in D, wenn sie für alle<br />
Satz 6-5<br />
Für die elementaren Funktionen gilt:<br />
- Polynome sind stetig,<br />
- e x und ln x sind stetig,<br />
- sin x und cos x sind stetig,<br />
.<br />
x 0<br />
∈ D stetig ist.<br />
- gebrochen rationale Funktionen sind stetig für alle x, für die das Nennerpolynom nicht<br />
verschwin<strong>de</strong>t.<br />
Satz 6-6<br />
Es sei die Funktion f : [ a,b] → W stetig und es sei f ( a) > 0 und f ( b) < 0 [o<strong>de</strong>r ( a) 0<br />
f ( b) > 0 ], dann existiert min<strong>de</strong>stens ein x 0<br />
∈ ( a, b)<br />
mit f ( x<br />
0<br />
) = 0 .<br />
f < und<br />
6.2 Ableitung von Funktionen einer unabhängigen Verän<strong>de</strong>rlichen<br />
Definition 6-17<br />
Sei I∈R ein Intervall und x 0<br />
∈ I : Als Differenzenquotient von f bezeichnen wir <strong>de</strong>n Ausdruck<br />
Definition 6-18<br />
f<br />
( x) − f ( x )<br />
x − x<br />
0<br />
0<br />
für x ≠ x<br />
0<br />
Sei<br />
I∈R ein Intervall und x 0<br />
∈ I . Die Funktion f heißt differenzierbar in x 0 , wenn <strong>de</strong>r<br />
Grenzwert
54<br />
x→x<br />
( x) − f ( x )<br />
f<br />
lim<br />
0 x − x<br />
existiert. Dieser Grenzwert wird mit f ′( x 0<br />
) bezeichnet und heißt Ableitung o<strong>de</strong>r Differentialquotient<br />
von f in x 0 . f heißt differenzierbar, falls f ′( x 0<br />
) für alle x 0<br />
∈ I existiert.<br />
0<br />
0<br />
Ableitungen spezieller Funktionen<br />
f ( x)<br />
f ′( x)<br />
f ( x)<br />
f ′( x)<br />
a = konst.<br />
0<br />
α<br />
x<br />
α x x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
ln x<br />
1<br />
x<br />
sin x<br />
cos x<br />
tan x<br />
1<br />
2<br />
cos x<br />
cos x<br />
− sin x<br />
cot x<br />
1<br />
−<br />
2<br />
sin x<br />
arcsin x<br />
1<br />
1<br />
arctan x<br />
2<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
1+<br />
x<br />
arccos x<br />
−<br />
1<br />
1<br />
arc cot x<br />
−<br />
2<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
1+<br />
x<br />
sinh x<br />
cosh x<br />
tanh x<br />
cosh x<br />
sinh x<br />
coth x<br />
ar sinh x<br />
ar cosh x<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2 +<br />
2 −<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
cosh x<br />
1<br />
−<br />
2<br />
sinh x<br />
1<br />
ar tanh x<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
1<br />
ar coth x<br />
2<br />
1−<br />
x<br />
Satz 6-7<br />
Es sei<br />
f : D → Wf<br />
und : D Wg<br />
g → . Existieren die Ableitungen f ′( x)<br />
und ( x)<br />
f<br />
D, dann sind auch kf mit k ∈ Ñ, f ± g , fg und g<br />
′<br />
a) [ kf ( x)<br />
] = kf ′( x)<br />
′<br />
b) [ f ( x) ± g( x)<br />
] = f ′( x) ± g′<br />
( x)<br />
′<br />
c) [ f ( x) g( x)<br />
] = f ′( x) g( x) + f ( x) g′<br />
( x)<br />
′<br />
⎡f<br />
( x)<br />
⎤ f ′ x g x − f x g′<br />
x<br />
d) ⎢<br />
g( x)<br />
⎥ =<br />
⎣ ⎦ [ g( x)<br />
] 2<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
g′ für alle x aus<br />
(für g ≠ 0 ) differenzierbar und es gilt:
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 55<br />
Satz 6-8<br />
Sind f(x) und g(x) differenzierbar und kann g(x) in f(x) eingesetzt wer<strong>de</strong>n, dann ist auch f(g(x))<br />
differenzierbar und es gilt<br />
Satz 6-9<br />
Für die Ableitung <strong>de</strong>r Umkehrfunktion<br />
′<br />
[ f ( g(x) )] = f ′( g(x) ) g′<br />
( x)<br />
1<br />
f − an <strong>de</strong>r Stelle<br />
0<br />
f ( x 0<br />
)<br />
−1<br />
′<br />
( f )( y )<br />
0<br />
1<br />
=<br />
f ′<br />
( x )<br />
0<br />
y = gilt<br />
Satz 6-10<br />
Ist f differenzierbar in x 0 , dann ist f auch stetig in x 0 .<br />
Definition 6-19<br />
Ist f ′( x)<br />
differenzierbar, dann heißt die Ableitung von f :[ f ′( x)<br />
] = f ′′ ( x)<br />
von f. Allgemein lässt sich schreiben<br />
Satz 6-11<br />
( n−1<br />
[ ) ′ ( n<br />
f ( x)<br />
] = f )<br />
( x) , n = 2,3, …<br />
′<br />
′<br />
zweite Ableitung<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Es sei I ⊆ D ein Intervall und f differenzierbar<br />
auf I. Dann gilt:<br />
∈ ′ ist.<br />
a) f ist genau dann monoton wac<strong>hs</strong>end auf I, wenn für alle x I f ( x) ≥ 0<br />
∈ ′ ist.<br />
b) f ist genau dann monoton fallend auf I, wenn für alle x If ( x) ≤ 0<br />
′ für alle x ∈ I bis auf endlich viele x, dann ist f streng monoton wac<strong>hs</strong>end auf<br />
c) Ist f ( x) > 0<br />
I.<br />
′ für alle x ∈ I bis auf endlich viele x, dann ist f streng monoton fallend auf I.<br />
d) Ist f ( x) < 0<br />
Satz 6-12<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Es sei I ⊆ D ein Intervall und f zweimal differenzierbar<br />
auf I. Dann gilt:<br />
a) f ist genau dann konvex auf I, wenn f ( x) > 0<br />
b) f ist genau dann konkav auf I, wenn f ( x) < 0<br />
′ für alle x ∈ I (Linkskurve).<br />
′ für alle x ∈ I (Rechtskurve).
56<br />
6.3 Spezielle Anwendungen <strong>de</strong>r Differentialrechnung<br />
Definition 6-20<br />
Unter <strong>de</strong>m (totalen, vollständigen) Differential einer differenzierbaren Funktion<br />
verstehen wir die Größe dy = f ′( x)dx<br />
für beliebige Zahlen (Zuwäc<strong>hs</strong>e) dx.<br />
f : D →<br />
W<br />
Abb. 6-1 Linearer Zuwac<strong>hs</strong> dy einer Funktion y(x)<br />
Satz 6-13<br />
(Regel von Bernoulli-L’Hospital)<br />
Es sei<br />
D ⊆ R ein Intervall und D<br />
x 0<br />
∈ . Es seien ,g : D \ { x } W<br />
f<br />
0<br />
→ differenzierbare Funktionen.<br />
Es gelte: lim f ( x) = 0,lim g( x) = 0,<br />
o<strong>de</strong>r lim f ( x) = ±∞,lim g( x) = ±∞<br />
Ferner sei g ( x) ≠ 0<br />
x→x0 x→x 0<br />
x→x0 x→x 0<br />
′ für x ∈ D . Existiert dann <strong>de</strong>r Grenzwert von<br />
existiert auch <strong>de</strong>r Grenzwert von<br />
f<br />
g<br />
( x)<br />
( x)<br />
für x → x<br />
0<br />
und es ist<br />
f<br />
lim<br />
→x<br />
g<br />
( x)<br />
( x)<br />
f ′<br />
= lim<br />
x→<br />
g<br />
x 0 x 0 ′<br />
( x)<br />
( x)<br />
f ′<br />
g′<br />
( x)<br />
( x)<br />
.<br />
für x → x<br />
0<br />
, dann
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 57<br />
6.4 Extremwerte bei Funktionen einer Verän<strong>de</strong>rlichen<br />
Definition 6-21<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Ein Punkt x 0<br />
∈ D heißt lokales (relatives)<br />
Maximum (Hochpunkt) von f [lokales(relatives)Minimum(Tiefpunkt) von f], wenn es eine<br />
Zahl h > 0 gibt mit<br />
( x) f ( x 0<br />
)<br />
[ ( x) f ( )<br />
f ≤ für alle x ∈ D mit − h < x < x h<br />
x 0<br />
x<br />
0 0<br />
+<br />
f ≥ für alle x ∈ D mit − h < x < x h ]<br />
x<br />
0 0<br />
+<br />
Satz 6-14<br />
Es sei<br />
f : D → W eine Funktion, die an einer inneren Stelle x 0<br />
∈ D differenzierbar ist. Wenn<br />
f in x 0 einen Extremwert besitzt, dann gilt f ( x<br />
0<br />
) = 0<br />
′ . (Notwendige Bedingung für ein Extremum)<br />
Definition 6-22<br />
Es sei<br />
f : D → W eine differenzierbare Funktion, dann heißt je<strong>de</strong> Lösung <strong>de</strong>r Gleichung<br />
stationärer Punkt <strong>de</strong>r Funktion f.<br />
( x) 0<br />
f ′ =<br />
Satz 6-15<br />
Es sei f : D → W eine differenzierbare Funktion.<br />
a) (Notwendige Bedingung für einen inneren Extremwert)<br />
Ist x<br />
0<br />
ein innerer Extremwert, dann gilt f ′( x<br />
0<br />
) = 0<br />
b) (Hinreichen<strong>de</strong> Bedingung für Hoch- o<strong>de</strong>r Tiefpunkt)<br />
(i) Es gilt f ( x<br />
0<br />
) = 0<br />
( x) 0<br />
( x) 0<br />
′ und mit h > 0 gilt weiter<br />
f ′ > für x<br />
0<br />
− h < x < x<br />
0<br />
und<br />
f ′ < für < x < x h<br />
x<br />
0 0<br />
+<br />
dann hat f am Punkte x 0 einen Hochpunkt.<br />
(ii) Es gilt f ( x<br />
0<br />
) = 0<br />
( x) 0<br />
′ und mit h > 0 gilt weiter<br />
f ′ < für x<br />
0<br />
− h < x < x<br />
0<br />
und
58<br />
( x) 0<br />
f ′ > für < x < x h<br />
x<br />
0 0<br />
+<br />
dann hat f am Punkte x 0 einen Tiefpunkt.<br />
c) (Hinreichen<strong>de</strong> Bedingung für Hoch- o<strong>de</strong>r Tiefpunkt)<br />
Gilt f ′( x<br />
0<br />
) = 0 und f ′( x<br />
0<br />
) ≠ 0<br />
′ , dann hat f an <strong>de</strong>r Stelle x<br />
0<br />
(i) einen Hochpunkt (Maximum), wenn f ( x<br />
0<br />
) < 0<br />
(ii) einen Tiefpunkt (Minimum), wenn f ( x<br />
0<br />
) > 0<br />
′′<br />
′′ ist.<br />
Satz 6-16<br />
Ist<br />
f : D → W eine differenzierbare Funktion, die in D konkav (konvex) verläuft, und die einen<br />
inneren Punkt<br />
(Minimum).<br />
x 0<br />
∈ D mit f ′( x<br />
0<br />
) = 0 hat, dann besitzt f in x 0 ein globales Maximum<br />
Definition 6-23<br />
Ein Punkt, in <strong>de</strong>m eine Rechts- und eine Linkskurve (o<strong>de</strong>r eine Links- und eine Rechtskurve)<br />
ohne Knick ineinan<strong>de</strong>r übergehen, heißt Wen<strong>de</strong>punkt.<br />
Satz 6-17<br />
Es sei<br />
Punkt<br />
f : D → W eine min<strong>de</strong>stens dreimal differenzierbare Funktion. Gilt für einen inneren<br />
x 0<br />
∈ D f ( x<br />
0<br />
) = 0<br />
′′ und f ′′ ( x<br />
0<br />
) ≠ 0<br />
′ , so ist x 0 ein Wen<strong>de</strong>punkt von f.<br />
6.5 Funktionen von mehreren Verän<strong>de</strong>rlichen<br />
Definition 6-24<br />
Es sei n eine natürliche Zahl. Ist<br />
D ⊆ R, dann heißt eine Vorschrift f : D → W , die je<strong>de</strong>m n-<br />
dimensionalen Vektor x<br />
mit n Verän<strong>de</strong>rlichen (Variablen).<br />
∈ D genau ein Element y ∈ W mit W ⊆<br />
R zuordnet eine Funktion
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 59<br />
Definition 6-25<br />
Es sei<br />
D ⊆ R, und : D W<br />
f → eine Funktion mit zwei Verän<strong>de</strong>rlichen, y = f ( x , )<br />
1<br />
x 2<br />
. Höhenlinien<br />
o<strong>de</strong>r Niveaulinien sind die geometrischen Orte aller Punkte (x 1 ,x 2 ), für die<br />
konstant ist. Die Gleichung <strong>de</strong>r Höhenlinie ist implizit gegeben durch<br />
( x , x ) y 0<br />
f<br />
1 2<br />
=<br />
− .<br />
y =<br />
y<br />
Definition 6-26<br />
r<br />
f(x) ist homogen vom Gra<strong>de</strong> r, wenn gilt: f ( x) = λ f ( x) , λ > 0<br />
λ .<br />
Beispiel 6-1<br />
2 2<br />
2<br />
2 2<br />
( x) = f ( x , x ) = x , f ( λx) = f ( λx<br />
, λx<br />
) = ( λx<br />
) + ( λx<br />
) = f ( x)<br />
f +<br />
1 2 1<br />
x<br />
2<br />
→ ,<br />
1 2 1<br />
2<br />
λ<br />
d.h. f(x) ist homogen vom Gra<strong>de</strong> 2<br />
6.6 Partielle Ableitungen<br />
Definition 6-27<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W und x 0<br />
∈ D . Für ein i, 1 ≤ i ≤ n heißt <strong>de</strong>r Grenzwert (falls er<br />
existiert)<br />
lim<br />
0i<br />
x i −x<br />
f<br />
0 0<br />
0 0 0 0 0<br />
( x ,…,<br />
x , x ,…<br />
x ) − f ( x ,…,<br />
x , x ,…<br />
x )<br />
1<br />
i−1<br />
i<br />
n<br />
x<br />
i<br />
− x<br />
1<br />
0<br />
i<br />
i−1<br />
i<br />
n<br />
die i-te partielle Ableitung <strong>de</strong>r Funktion im Punkte<br />
0<br />
x . Für diese Ableitung schreiben wir<br />
∂f<br />
o<strong>de</strong>r f<br />
x<br />
, i = 1,2, …,<br />
n . f heißt (partiell) differenzierbar, wenn f<br />
i<br />
x<br />
für alle x 0 ∈ D und<br />
i<br />
∂x i<br />
alle i = 1,2, …,<br />
n existiert.
60<br />
Definition 6-28<br />
Eine (partiell) differenzierbare Funktion mit n Verän<strong>de</strong>rlichen besitzt n partielle Ableitungen<br />
(1. Ordnung). Je<strong>de</strong> dieser n partiellen Ableitungen ist wie<strong>de</strong>r eine Funktion von n Verän<strong>de</strong>rlichen.<br />
Sind diese Funktionen wie<strong>de</strong>r differenzierbar, dann können wie<strong>de</strong>r partielle Ableitungen<br />
(2. Ordnung, insgesamt n 2 ) gebil<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n. Analog können partielle Ableitungen 3., 4. und<br />
höherer Ordnung gebil<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n.<br />
Satz 6-18<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion mit z = f (x, y)<br />
. f sei zweimal partiell differenzierbar.<br />
Sind die Ableitungen f xy und f yx stetig, so gilt:<br />
f<br />
xy<br />
(x, y) = f<br />
yx<br />
(x, y) für alle ( x,<br />
y) ∈ D<br />
Definition 6-29<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W mit y = f (x)<br />
. Das vollständige (totale) Differential von f ist<br />
gegeben durch<br />
( x) = f<br />
x<br />
dx1<br />
+ f<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
+ f<br />
x<br />
dx<br />
n<br />
dy = df<br />
…<br />
+<br />
1 2<br />
n<br />
6.7 Extremwerte bei Funktionen von mehreren Verän<strong>de</strong>rlichen<br />
Satz 6-19<br />
Es sei<br />
Wenn f in<br />
D ⊆ R,<br />
0<br />
x ein innerer Punkt von D und<br />
0<br />
x einen Extremwert besitzt, dann gilt:<br />
f<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( x ) = f ( x ) = … = f ( x ) 0<br />
x<br />
x<br />
x<br />
=<br />
1 2<br />
n<br />
(Notwendige Bedingung für ein relatives Extremum)<br />
f : D → W sei partiell differenzierbar in<br />
0<br />
x .<br />
Definition 6-30<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W eine partiell differenzierbare Funktion. Die Lösungen <strong>de</strong>s Gleichungssystems<br />
f<br />
( x) = 0,f ( x) = 0, …,f<br />
( x) 0<br />
x<br />
=<br />
1 x2<br />
xn
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 61<br />
heißen stationäre Punkte.<br />
Satz 6-20<br />
(Hinreichen<strong>de</strong> Bedingung für einen relativen Extremwert im Fall n = 2)<br />
Es sei D ⊆ R und f : D → W mit z = f (x, y)<br />
eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen<br />
2. Ordnung und ( , )<br />
x sei ein innerer Punkt aus D. Gilt<br />
0<br />
y 0<br />
a) f<br />
x<br />
( x<br />
0<br />
, y<br />
0<br />
) = 0 und f ( x<br />
0<br />
, y<br />
0<br />
) 0<br />
f<br />
xx<br />
( x<br />
0<br />
, y<br />
0<br />
) f<br />
xy<br />
( x<br />
0<br />
, y0<br />
)<br />
b) ( , y0<br />
):<br />
=<br />
f ( x , y ) f ( x , y )<br />
y<br />
= und<br />
2<br />
( x , y ) f ( x , y ) − f ( x , y ) 0<br />
∆ x<br />
0<br />
= f<br />
xx 0 0 yy 0 0 xy 0 0<br />
> ,<br />
dann hat f an <strong>de</strong>r Stelle ( , )<br />
yx<br />
0<br />
0<br />
0<br />
y 0<br />
yy<br />
0<br />
0<br />
x ein relatives Extremum.<br />
Diese ist ein Maximum, falls f<br />
xx<br />
( x<br />
0<br />
, y<br />
0<br />
) < 0 ist und ein Minimum, falls f ( x<br />
0<br />
, y<br />
0<br />
) 0<br />
Gilt dagegen a) und ∆ ( , y ) 0 , dann ist ( , )<br />
x kein Extremum, son<strong>de</strong>rn es liegt ein Sattelpunkt<br />
vor.<br />
x<br />
0 0<br />
<<br />
0<br />
y 0<br />
xx<br />
> ist.<br />
Satz 6-21<br />
(Hinreichen<strong>de</strong> Bedingung für einen relativen Extremwert im Fall n > 2)<br />
Es sei<br />
f → mit y f ( x , x ,…,<br />
)<br />
D ⊆ R, : D W<br />
= eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen<br />
2. Ordnung und<br />
1 2<br />
x<br />
n<br />
0<br />
x sei ein innerer Punkt aus D. Es gelte<br />
0<br />
0<br />
0<br />
x<br />
x<br />
x<br />
=<br />
1 2<br />
n<br />
a) f ( x ) = 0,f ( x ) = 0, …,f<br />
( x ) 0<br />
Gilt<br />
0<br />
b) ∆ ( x )<br />
i<br />
=<br />
f<br />
f<br />
f<br />
x x<br />
1 1<br />
x x<br />
2 1<br />
x x<br />
i 1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( x ) f<br />
x x<br />
( x ) … f ( x )<br />
1 2<br />
x1xi<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( x ) f ( x ) … f ( x )<br />
⋮<br />
x x<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
( x ) f ( x ) … f ( x )<br />
x x<br />
i<br />
2<br />
2<br />
⋮<br />
x x<br />
2 i<br />
x x<br />
i<br />
i<br />
⋮<br />
> 0<br />
für alle<br />
i = 1,2, …,<br />
n , dann hat f an <strong>de</strong>r Stelle<br />
0<br />
x ein Minimum.<br />
c) Gilt ( 1) ∆ ( x ) > 0<br />
i<br />
i<br />
0<br />
− für alle i = 1,2, …,<br />
n , dann hat f an <strong>de</strong>r Stelle<br />
0<br />
d) Ist f<br />
x i x i<br />
( x ) < 0 und f<br />
x x<br />
( x ) 0<br />
0<br />
x keinen Extremwert.<br />
0<br />
( )<br />
j<br />
j<br />
0<br />
> , 1 ≤ i, j ≤ n , dann hat f an <strong>de</strong>r Stelle<br />
∆ heißt Determinante <strong>de</strong>r Hesse-Matrix von f im Punkt<br />
0<br />
x .<br />
n x<br />
0<br />
x ein Maximum.
62<br />
6.8 Extremwerte bei Nebe<strong>nb</strong>edingungen<br />
Satz 6-22 (Lagrangesche Multiplikatorregel für n = 2)<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und f : D → W eine partiell differenzierbare Funktion mit = f (x ,x ) und<br />
y<br />
1 2<br />
die Nebe<strong>nb</strong>edingung laute ( x , x ) 0<br />
g<br />
2<br />
1<br />
= .<br />
Die notwendigen Bedingungen für relative Extremwerte von f unter <strong>de</strong>r Nebe<strong>nb</strong>edingung g<br />
ergeben sich als stationäre Punkte <strong>de</strong>r Lagrangefunktion<br />
L<br />
( λ , x , x ) = f ( x , x ) + λg( x , )<br />
1 2 1 2<br />
1<br />
x<br />
2<br />
λ heißt Lagrangemultiplikator. Es muss also folgen<strong>de</strong>s Gleichungssystem gelöst wer<strong>de</strong>n<br />
L<br />
λ<br />
:<br />
g( x1,<br />
x<br />
2<br />
) = 0<br />
L<br />
x<br />
:<br />
f ( ) ( )<br />
1<br />
x<br />
x1,<br />
x<br />
2<br />
+ λg<br />
x<br />
x1,<br />
x<br />
2<br />
= 0<br />
1<br />
1<br />
L :<br />
f x , x + λg<br />
x , x =<br />
x 2<br />
x 2<br />
( ) ( ) 0<br />
1<br />
2<br />
x 2<br />
1<br />
2<br />
Hinreichen<strong>de</strong> Bedingungen:<br />
Ist die Determinante <strong>de</strong>r Hesse-Matrix von L am stationären Punkt positiv, so liegt ein Maximum<br />
vor, ist sie negativ, dann liegt ein Minimum vor.<br />
H =<br />
L<br />
L<br />
L<br />
λλ<br />
x1λ<br />
x 2λ<br />
L<br />
L<br />
L<br />
λx1<br />
x1x1<br />
x 2x1<br />
Satz 6-23 (Lagrangesche Multiplikatorregel für n > 2)<br />
Es sei<br />
D ⊆ R und : D W<br />
L<br />
L<br />
L<br />
λx<br />
2<br />
x1x<br />
2<br />
x 2x<br />
2<br />
f → eine partiell differenzierbare Funktion mit f ( x)<br />
m(< n) Nebe<strong>nb</strong>edingungen lauten g ( x) 0,g ( x) = 0, ,g ( x) 0<br />
1 2<br />
m<br />
=<br />
y = und die<br />
= … . Die notwendigen Bedingungen<br />
für relative Extremwerte von f unter <strong>de</strong>n m Nebe<strong>nb</strong>edingungen ergeben sich als stationäre<br />
Punkte <strong>de</strong>r Lagrangefunktion<br />
L<br />
( λ , x) = f ( x) + λ g ( x)<br />
Zur Bestimmung <strong>de</strong>r hinreichen<strong>de</strong>n Bedingungen sind die Unter<strong>de</strong>terminanten entlang <strong>de</strong>r<br />
Hauptdiagonalen -beginnend mit <strong>de</strong>r Ordnung 2m+1 - <strong>de</strong>r Hesse Matrix von L.<br />
m<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
i
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 63<br />
⎛ L<br />
λ1<br />
⎜<br />
⎜ L<br />
λ2<br />
H = ⎜ ⋮<br />
⎜<br />
⎝L<br />
x n<br />
λ<br />
λ<br />
λ<br />
1<br />
1<br />
1<br />
L<br />
L<br />
L<br />
λ λ<br />
1 2<br />
λ λ<br />
2<br />
⋮<br />
x λ<br />
an <strong>de</strong>n stationären Punkten zu untersuchen.<br />
m 1<br />
Weisen die Unter<strong>de</strong>terminanten alternieren<strong>de</strong> Vorzeichen beginnend mit ( 1 ) +<br />
n<br />
2<br />
2<br />
…<br />
…<br />
…<br />
− auf, so liegt<br />
ein Maximum vor.<br />
Weisen die Unter<strong>de</strong>terminanten alle ein einheitliches Vorzeichen gegeben durch ( − 1) m<br />
auf, so<br />
liegt ein Minimum vor.<br />
L<br />
L<br />
L<br />
λ x<br />
1 1<br />
λ x<br />
2 1<br />
⋮<br />
x x<br />
n 1<br />
…<br />
…<br />
…<br />
L<br />
L<br />
L<br />
λ x<br />
1 n<br />
λ x<br />
2<br />
⋮<br />
n<br />
n<br />
x x<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
6.9 Integralrechnung<br />
Definition 6-31<br />
Es seien in einem Intervall f ( x)<br />
und F ( x)<br />
gegeben. Es sei ( x)<br />
dort stets<br />
( x) f ( x)<br />
F ′ = .<br />
F dort differenzierbar und es sei<br />
Dann heißt F ( x)<br />
eine Stammfunktion o<strong>de</strong>r ein u<strong>nb</strong>estimmtes Integral von ( x)<br />
mit<br />
bezeichnet.<br />
Satz 6-24<br />
∫ f ( x)dx<br />
, so hat je<strong>de</strong> an-<br />
Ist in einem Intervall F ( x)<br />
Stammfunktion (u<strong>nb</strong>estimmtes Integral) von f ( x)<br />
<strong>de</strong>re Stammfunktion von f ( x)<br />
die Form F ( x)<br />
+ C mit ∈<br />
C R.<br />
f und wird<br />
Satz 6-25<br />
n<br />
∫∑<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
∑ ∫<br />
k<br />
i<br />
f<br />
i(x)dx<br />
= k<br />
i<br />
f<br />
i(x)dx<br />
= ∑ k<br />
iF i(x)<br />
+ C<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
Satz 6-26<br />
1<br />
α + 1<br />
α<br />
α+ 1<br />
a) [ f ( x)<br />
] f ′( x) dx = [ f ( x)<br />
] + C, α ≠ −1<br />
∫
64<br />
b)<br />
∫<br />
f<br />
f<br />
′( x)<br />
( x)<br />
dx = ln f<br />
( x) + C, f ( x) ≠ 0<br />
Tabelle von Stammfunktionen<br />
f ( x)<br />
F ( x)<br />
f ( x)<br />
F ( x)<br />
α<br />
x 1 α+<br />
x<br />
1 + C ( α ≠ −1)<br />
x<br />
e<br />
α + 1<br />
1<br />
x<br />
e x + C<br />
x<br />
ln x<br />
+ C,x ≠ 0<br />
ln x ( ln x − 1) + C<br />
sin x<br />
− cos x + C tan x<br />
− ln cos x + C<br />
cos x<br />
sin x + C<br />
cot x<br />
ln sin x + C<br />
arcsin x x arcsin x + 1−<br />
x<br />
2 + C x<br />
arccos x x arccosx − 1−<br />
x<br />
2 + C cot x<br />
x<br />
arctan arctan − ln( 1+<br />
x<br />
2 ) + C<br />
cot<br />
arc x arc x ( 1+<br />
x<br />
2 ) + C<br />
x<br />
1<br />
2<br />
1<br />
+ ln<br />
2<br />
sinh x<br />
cosh x + C tanh x<br />
ln cosh x + C<br />
cosh x<br />
sinh x + C<br />
coth x<br />
ln sinh x + C<br />
ar sinh x<br />
2<br />
xar sinh x − x + 1 + C tanh x<br />
ar cosh x<br />
2<br />
xar cosh x − x −1<br />
+ C coth x<br />
ar xar tanh x + ln( 1−<br />
x<br />
2 ) + C<br />
2<br />
ar xar coth x + ln( x −1) + C<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Satz 6-27<br />
(Partielle Integration o<strong>de</strong>r Produktintegration)<br />
( x) g′<br />
( x) dx = f ( x) g( x) − f ( x) g( x)dx<br />
∫ f<br />
∫<br />
′<br />
Satz 6-28<br />
(Hauptsatz <strong>de</strong>r Differential- u. Integralrechnung)<br />
Ist f ( x)<br />
in [ a ,b]<br />
stetig und F ( x)<br />
eine beliebige Stammfunktion von f ( x)<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
f<br />
b<br />
( x) dx = F( x) = F( b) − F( a)<br />
a<br />
, so gilt<br />
Satz 6-29<br />
b<br />
∫ −∫<br />
a) f ( x) dx = f ( x)dx<br />
a<br />
a<br />
∫<br />
b) f ( x) dx = 0<br />
a<br />
a<br />
b
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 65<br />
b<br />
c) f ( x) dx f ( x) dx f ( x)dx<br />
a<br />
c<br />
∫ ∫ + ∫<br />
b<br />
a<br />
b<br />
= , a < c < b<br />
c<br />
b<br />
b<br />
1 1 2 2<br />
1∫<br />
1<br />
2∫<br />
a<br />
a<br />
d) [ k f ( x) + k f ( x)<br />
] dx = k f ( x) dx k f ( x) dx<br />
∫ +<br />
a<br />
2<br />
Definition 6-32<br />
Ist f ( x)<br />
über je<strong>de</strong>m endlichen Intervall integrierbar, dann sind die uneigentlichen Integrale<br />
von f ( x)<br />
bei Existenz folgen<strong>de</strong>r Grenzwerte <strong>de</strong>finiert als:<br />
b<br />
b<br />
∫ u→−∞∫<br />
−∞<br />
u<br />
a) f ( x) dx = lim f ( x)dx<br />
∞<br />
∫ ∞∫<br />
b) f ( x) dx = lim f ( x)dx<br />
a<br />
∞<br />
∫<br />
u→<br />
u<br />
a<br />
c) f ( x) dx lim f ( x) dx + lim f ( x)dx<br />
−∞<br />
c<br />
∫<br />
u→−∞<br />
u<br />
t<br />
∫<br />
= für beliebiges c.<br />
t→∞<br />
c
66<br />
7 Komplexe Zahlen<br />
Definition 7-1<br />
Komplexe Zahlen 1 sind Ausdrücke <strong>de</strong>r Form<br />
z = x + iy (x, y ∈ )<br />
Das Symbol i be<strong>de</strong>utet die imaginäre Einheit: i 2 = −1<br />
( i ∉.). Es sind x <strong>de</strong>r Realteil und y<br />
<strong>de</strong>r Imaginärteil <strong>de</strong>r komplexen Zahl z<br />
x = Re( z) ; y = Im( z)<br />
;<br />
z = Re( z) + iIm( z)<br />
Ist speziell y = 0, dann wird mit z = x + i ⋅ 0 die reelle Zahl x i<strong>de</strong>ntifiziert; ist x = 0 und y ≠ 0 ,<br />
dann ist z = 0 + iy = iy eine rein imaginäre Zahl.<br />
Definition 7-2<br />
Zwei komplexe Zahlen z<br />
1<br />
= x1<br />
+ iy1<br />
und z<br />
2<br />
= x<br />
2<br />
+ iy<br />
2<br />
sind nur dann einan<strong>de</strong>r gleich<br />
x +<br />
1<br />
+ iy1<br />
= x<br />
2<br />
iy<br />
2<br />
wenn x<br />
1<br />
= x<br />
2<br />
und y<br />
1<br />
= y<br />
2<br />
gilt, also Real- und Imaginärteil je für sich gleich sind.<br />
Definition 7-3<br />
Die zu<br />
Damit sind:<br />
z = x + iy konjugiert komplexe Zahl z wird <strong>de</strong>finiert durch:<br />
a) Re ( z) = Re( z)<br />
;<br />
b) Im( z) = − Im( z)<br />
c) z = z ⇔ z ∈ Ñ<br />
d) z = z<br />
e) z<br />
1<br />
+ z<br />
2<br />
= z1<br />
+ z<br />
2<br />
z = x − iy<br />
1 Geronimo Cardano, latinisiert Hieronymus Cardanus, italien. Mathematiker, Arzt u. Philosoph, 1501-1576
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 67<br />
Definition 7-4<br />
Der Betrag von z wird <strong>de</strong>finiert durch:<br />
z<br />
=<br />
x<br />
2<br />
+ y<br />
2<br />
=<br />
zz<br />
Definition 7-5<br />
Die Summe z<br />
1<br />
+ z<br />
2<br />
<strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n komplexen Zahlen z<br />
1<br />
= x1<br />
+ iy1<br />
und z<br />
2<br />
= x<br />
2<br />
+ iy<br />
2<br />
ist die<br />
komplexe Zahl: = z + z = (x + x ) + i(y y )<br />
z<br />
1 2 1 2 1<br />
+<br />
2<br />
Beispiel 7-1<br />
z1 2<br />
−<br />
= 3 + 2i; z = 1 4i → + z = 4 − 2i; z − z = 2 6i<br />
z1 2<br />
1 2<br />
+<br />
Definition 7-6<br />
Das Produkt z 1z<br />
2<br />
zweier komplexer Zahlen z<br />
1<br />
= x1<br />
+ iy1<br />
und z<br />
2<br />
= x<br />
2<br />
+ iy<br />
2<br />
ist die komplexe<br />
Zahl: z = z1z<br />
2<br />
= ( x1x<br />
2<br />
− y1y<br />
2<br />
) + i( x1y<br />
2<br />
+ y1x<br />
2<br />
)<br />
Damit sind:<br />
2 2<br />
a) zz = x + y ≥ 0<br />
b) z<br />
1z<br />
2<br />
= z1<br />
z<br />
2<br />
Beispiel 7-2<br />
2<br />
z 1<br />
= 3 + 2i ; = 1−<br />
4i<br />
; z z = (3 + 2i)(1 − 4i) = 3 −12i<br />
+ 2i − 8i = 11 i10<br />
z 2<br />
1 2<br />
−<br />
2 2<br />
z1 z1<br />
= 3 + 2 = 13<br />
Definition 7-7 (Division komplexer Zahlen)<br />
Unter <strong>de</strong>r Voraussetzung z 2<br />
≠ 0 suchen wir diejenige Zahl z, für die bei vorgelegter Zahl z 1<br />
gilt: z<br />
2<br />
z = z1<br />
. Erweiterung mit z<br />
2<br />
liefert z<br />
2<br />
z z<br />
2<br />
= z1z<br />
2<br />
z<br />
z =<br />
z<br />
1<br />
2<br />
z1z<br />
=<br />
z z<br />
2<br />
2<br />
2<br />
x1x<br />
=<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ y y<br />
+ y<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
y1x<br />
+ i<br />
x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
− x<br />
+ y<br />
1<br />
2<br />
2<br />
y<br />
2
68<br />
Beispiel 7-3<br />
z 1<br />
= 3 + 2i ; = 1−<br />
4i<br />
z 2<br />
z<br />
z<br />
3 + 2i<br />
= =<br />
1−<br />
4i<br />
( 3 + 2i)( 1+<br />
4i)<br />
( 1−<br />
4i)( 1+<br />
4i)<br />
3 + 12i + 2i + 8i<br />
=<br />
1+<br />
16<br />
− 5 + 14i 5<br />
= = −<br />
17 17<br />
2<br />
1<br />
+<br />
2<br />
14<br />
i<br />
17<br />
Definition 7-8<br />
Der komplexen Zahl z = x + iy wird <strong>de</strong>rjenige Punkt <strong>de</strong>r Gaußschen Zahlenebene zugeordnet<br />
(Abb. 7-1), <strong>de</strong>r in einem kartesischen Koordinatensystem die Abszisse x = Re(z)<br />
und die<br />
Ordinate y = Im(z) besitzt.<br />
Abb. 7-1 Gaußsche Zahlenebene<br />
Die Menge <strong>de</strong>r reellen Zahlen entspricht also <strong>de</strong>n komplexen Zahlen z mit Im(z) = 0, weshalb<br />
die Abszissenac<strong>hs</strong>e auch als reelle Ac<strong>hs</strong>e bezeichnet wird. Den rein imaginären Zahlen z, also<br />
allen Zahlen z mit Re(z) = 0, entspricht die Ordinatenac<strong>hs</strong>e, die <strong>de</strong>shalb auch als imaginäre<br />
Ac<strong>hs</strong>e bezeichnet wird.<br />
Abb. 7-2 Addition und Subtraktion zweier Komplexer Zahlen
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 69<br />
Hinweis: Oftmals ist es zweckmäßig, in <strong>de</strong>r komplexen Ebene statt <strong>de</strong>s beschriebenen Punktes,<br />
<strong>de</strong>n Vektor-Pfeil zu betrachten, <strong>de</strong>r vom Nullpunkt zum betrachteten Punkt hinweist<br />
(Ortsvektor). Bei dieser Betrachtungsweise addieren sich zwei komplexe Zahlen wie die Kräfte<br />
in einem Kräfteparallelogramm. Die Differenz zweier komplexer Zahlen hat dann die Länge<br />
und Richtung <strong>de</strong>r zweiten Diagonalen im Paralleleogramm (Abb. 7-2).<br />
Der Zahl i entspricht <strong>de</strong>r Punkt (0,1) <strong>de</strong>r imaginären Ac<strong>hs</strong>e und die Zahl 1 <strong>de</strong>m Punkt (1,0)<br />
<strong>de</strong>r reellen Ac<strong>hs</strong>e. In <strong>de</strong>r Geometrie <strong>de</strong>r Ebene ist es üblich, neben <strong>de</strong>n kartesischen Koordinaten,<br />
auch Polarkoordinaten zu benutzen. Ein Punkt in <strong>de</strong>r Ebene wird dann beschrieben durch<br />
seinen Abstand r = OP vom Koordinatenursprung 0 und <strong>de</strong>m Winkel ϕ , <strong>de</strong>n <strong>de</strong>r Fahrstrahl<br />
von 0 nach P mit <strong>de</strong>r positiven x-Ac<strong>hs</strong>e einschließt (Abb. 7-3).<br />
Abb. 7-3 Polarkoordinaten r, ϕ<br />
Der Zusammenhang zwischen <strong>de</strong>n kartesischen Koordinaten und <strong>de</strong>n Polarkoordinaten ist<br />
gegeben durch<br />
x = r cosϕ<br />
y = r sin ϕ<br />
iϕ<br />
Unter Beachtung <strong>de</strong>r Euler-I<strong>de</strong>ntitäten e = cosϕ + isin ϕ;e<br />
die komplexen Zahlen auch in Polarkoordinaten darstellen.<br />
Definition 7-9<br />
Definition 7-10<br />
iϕ<br />
( cosϕ + isin ϕ) = re<br />
−iϕ<br />
= cos ϕ − isin ϕ<br />
2 2<br />
z = x + iy = r<br />
mit r = x + y = z<br />
lassen sich<br />
Der zur komplexen Zahl z ≠ 0 gehörige Winkel ϕ (Abb. 7-3) heißt Argument <strong>de</strong>r komplexen<br />
Zahl z und wird<br />
arg z<br />
= ϕ + 2πk<br />
(k = 0,1, 2 ,..) geschrieben. Das Argument von z ist nicht<br />
ein<strong>de</strong>utig bestimmt, son<strong>de</strong>rn nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π. Es ist also<br />
z =<br />
i<br />
z e<br />
argz
70<br />
Hinweis: Mit <strong>de</strong>n obigen Definitionen ist eine geometrische Interpretation <strong>de</strong>r Multiplikation<br />
und <strong>de</strong>r Division komplexer Zahlen möglich. Es gilt nämlich für die bei<strong>de</strong>n komplexen Zahlen<br />
z 1 und z 2 :<br />
z =<br />
dann gilt für das Produkt z1 ⋅ z<br />
2<br />
einerseits<br />
und an<strong>de</strong>rerseits<br />
Daraus folgt<br />
z ⋅ z<br />
1<br />
2<br />
=<br />
z<br />
i argz<br />
i arg<br />
1<br />
= z1<br />
e , z<br />
2<br />
z<br />
2<br />
e<br />
1<br />
e<br />
z<br />
1<br />
⋅ z<br />
2<br />
=<br />
1 z 2<br />
z<br />
1<br />
⋅ z<br />
2<br />
e<br />
iarg(z ⋅z<br />
)<br />
i argz 1 i argz2<br />
e i(arg z1+<br />
arg z2<br />
)<br />
⋅ z<br />
2<br />
e = z1<br />
⋅ z<br />
2<br />
1<br />
2<br />
Definition 7-11<br />
arg( z1<br />
⋅ z<br />
2<br />
) = arg z1<br />
+ arg z<br />
2<br />
+ 2kπ<br />
Abb. 7-4 Multiplikation komplexer Zahlen<br />
Abb. 7-5 Division komplexer Zahlen<br />
Aus <strong>de</strong>n obigen Betrachtungen ergeben sich nun einfache geometrische Darstellungen <strong>de</strong>r<br />
Multiplikation und <strong>de</strong>r Division komplexer Zahlen.<br />
Multiplikation:<br />
Wir drehen <strong>de</strong>n Vektor z 2 im positiven Sinne um <strong>de</strong>n Winkel ϕ und strecken ihn im<br />
Verhältnis 1:ρ = 1: z<br />
1<br />
Der neue Vektor stellt dann das Produkt z1 ⋅ z<br />
2<br />
dar.<br />
Die Multiplikation komplexer Zahlen entspricht einer Dre<strong>hs</strong>treckung (Abb. 7-4).<br />
Division: Für <strong>de</strong>n Quotienten z 1 /z 2 erhalten wir
Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hoc<strong>hs</strong>chule Neubran<strong>de</strong><strong>nb</strong>urg 71<br />
Dieses Ergebnis <strong>de</strong>uten wir wie folgt:<br />
z<br />
z<br />
2<br />
=<br />
z<br />
1<br />
2<br />
e<br />
i(arg z −arg z )<br />
1 1 2<br />
z<br />
Drehen wir <strong>de</strong>n Vektor z 2 im negativen Sinne um <strong>de</strong>n Winkel ϕ und strecken ihn im<br />
Verhältnis ρ:1, so erhalten wir <strong>de</strong>n Vektor z = z 1 /z 2 (Abb. 7-5)<br />
Definition 7-12<br />
Aus<br />
i argz<br />
z = z e erhalten wir für die n-te Potenz von z:<br />
z<br />
n<br />
n i⋅n⋅argz<br />
= z e und es gilt:<br />
arg( z<br />
n ) = n arg(z) + 2kπ<br />
Bezeichnen wir die Lösungen von<br />
1 2kπ<br />
arg( n w ) = arg(w) +<br />
n n<br />
n<br />
w<br />
=<br />
n<br />
w e<br />
i 2πik<br />
arg(w) +<br />
n n<br />
z n = w generell mit z = n<br />
w , dann folgt<br />
(k = 0,1, …,<br />
n −1)<br />
Hinweis: Es genügt, wenn wir uns auf die Werte k = 0,1, …,n<br />
−1<br />
beschränken, da wir für die<br />
an<strong>de</strong>ren Werte k ∈ Z periodisch immer wie<strong>de</strong>r dieselben komplexen Zahlen erhalten.<br />
Beispiel 7-4<br />
Insbeson<strong>de</strong>re erhalten für w = 1 die n-ten Einheitswurzeln<br />
n<br />
2kπi<br />
n<br />
1 = e<br />
2πk<br />
2πk<br />
= cos + isin<br />
n n<br />
(k = 0,1, …,<br />
n −1)<br />
Sie bil<strong>de</strong>n geometrisch die Eckpunkte eines n-<br />
Ecks. Das n-Eck hat stets <strong>de</strong>n auf <strong>de</strong>r reellen<br />
Ac<strong>hs</strong>e gelegenen Punkt z 0<br />
= 1 zur Ecke. Alle<br />
Eckpunkte z<br />
0<br />
,z1,…,<br />
z<br />
n−1<br />
genügen <strong>de</strong>r Gleichung<br />
x n − 1 = 0<br />
Abb. 7-6 Sec<strong>hs</strong>te Einheitswurzeln<br />
die Kreisteilungsgleichung genannt wird,<br />
weil die Lösungsmenge <strong>de</strong>n Umfang <strong>de</strong>s Einheitskreises<br />
in n gleiche Teile teilt.