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1
Mathematische
Hilfsmittel

2
Lateinische Schrift
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w
x y z ß ä ö ü
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
U V W X Y Z Ä Ö Ü
Griechische Schrift
α β γ δ ε ς η ϑ ι κ λ µ
Alpha
Beta Gamma
Delta
Epsilon
Zeta Eta
Theta Jota Kappa Lambda
My
ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω
Ny
Ksi
Omikron
Pi
Rho
Sigma Tau Ypsilon
Phi Chi Psi
Omega
Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Jota Kappa Lambda My
Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
Ny Ksi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

Prof. Dr. F.U. Mathiak, HS Neubrandenburg 3
1 Lineare Algebra
1.1 Mengen
Definition 1-1
Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung
oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte werden Elemente der Menge genannt.
Definition 1-2
Die leere Menge Ø ist eine Menge, die kein Element enthält.
Definition 1-3
Die Mengen A und B heißen gleich, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und
umgekehrt.
Definition 1-4
B ist eine Teilmenge von A, wenn jedes Element von B auch Element von A ist: B ⊆ A.
Definition 1-5
Die Vereinigungsmenge von A und B (A ∪ B) ist die Menge, die aus allen Elementen besteht,
die zu A oder B, oder beiden gehören.
Zahlenmengen
Menge der natürlichen Zahlen ÍN = {1,2,3...}
Menge der ganzen Zahlen ÙZ = {...-2,-1,0,1,2..}
Menge der rationalen Zahlen ÐQ = { q
p |p ∈ Z und q∈ Z}
Die Menge der reellen Zahlen R besteht aus den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen.

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1.2 Koordinaten
Definition 1-6
Koordinaten 1 dienen dazu, Punkte in der Ebene oder im Raum festzulegen. Dazu ist ein Koordinatensystem
erforderlich. Das am häufigsten verwendete ist das kartesische 2 (rechtwinklige)
Koordinatensystem. Im einfachsten Fall, der Ebene, besteht es aus zwei zueinander senkrechten
Zahlengeraden, den Koordinatenachsen, die sich im Nullpunkt schneiden. Sie bilden
das Achsenkreuz. Der gemeinsame Ursprung wird Nullpunkt oder Koordinatenanfangspunkt
genannt (Abb. 1-1).
Definition 1-7
Abb. 1-1 Kartesische Koordinaten eines Punktes P
Abb. 1-2: Räumliche kartesische Koordinaten
Im Fall räumlich kartesischer Koordinaten
ist die Orientierung der Achsen ist wie folgt
festgelegt: Schauen wir gegen die z-Richtung
(also von oben), so geht die positive x-Achse
durch eine Linksdrehung um 90° in die positive
y-Achse über. Die drei Achsen bilden ein
Rechtssystem. Je zwei Achsen spannen eine
Ebene im Raum auf, diese bilden ein ebenes
kartesisches Koordinatensystem. Es gibt die
x-y-Ebene, die x-z-Ebene und die y-z-Ebene
(Abb. 1-2)
1 zu kon ... und lat. ordinare = ordnen, also etwa ›einander Zugeordnete‹
2 René Descartes, latinisiert Renatus Cartesius, frz. Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler, 1596-
1650

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Abb. 1-3: Ebene Zylinderkoordinaten
Definition 1-8
Das ebene Polarkoordinatensystem besteht
aus einem Punkt 0 (dem Pol) der Ebene und
einem von 0 ausgehenden Fahrstrahl, der Polarachse.
Die Darstellung eines Punktes P
erfolgt durch das ebene Polarkoordinatenpaar
(r, ϕ), wobei r der Abstand von P zum 0-
Punkt und ϕ der Winkel ist, den die x-Achse
mit dem Fahrstrahl 0-P einschließt (Abb. 1-3).
Definition 1-9
Im räumlichen Zylinderkoordinatensystem
(Abb. 1-4) sind die Koordinatenflächen einmal
die zur z-Achse senkrechten Ebenen
(z = konst.), die von der z-Achse ausgehenden
Halbebenen (ϕ = konst.) und die Zylinderflächen,
deren Achse die z-Achse ist
(r = konst.).
Abb. 1-4: Räumliche Zylinderkoordinaten
Definition 1-10
Im räumlichen Polarkoordinatensystem ist neben einem Punkt 0 als Pol und einer von 0
ausgehenden Polarachse eine Ebene (Polarebene) angegeben, die die Polarachse enthält.
Abb. 1-5: Räumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

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Ein Punkt im Raum wird durch das Tripel (r, ϕ, ϑ) eindeutig bestimmt. Dabei ist r der Abstand
des Punktes P vom Punkt 0, ϕ der Winkel zwischen der Polarachse und der Projektion
der Strecke 0 P in die x-y- Ebene und ϑ der Winkel zwischen 0P
und dem von 0 ausgehenden,
auf der x-y-Ebene senkrecht stehenden Strahl, der zusammen mit der Polarachse ein
Rechtssystem bildet.
Definition 1-11
Unter einer Koordinatentransformation 1 wird der Übergang von einem Koordinatensystem
mit den Koordinaten zu einem anderen Koordinatensystem mittels Transformationsgleichungen
verstanden.
Definition 1-12
Transformation ebener kartesischer Koordinaten bei einer Parallelverschiebung des Koordinatensystems
(Abb. 1-6).
x = u − b
y = v − a
⇔
u = x + b
v = y + a
Abb. 1-6: Parallelverschiebung kartesischer Koordinaten
Definition 1-13
Transformation ebener kartesischer Koordinaten bei einer Drehung des Koordinatensystems
(Abb. 1-7).
x = u cos ϕ − vsin ϕ
y = u sin ϕ + vcos ϕ
⇔
u = x cos ϕ + ysin ϕ
v = −x sin ϕ + ycos ϕ
1 lat. transferre = hinübertragen, hinüberbringen

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Abb. 1-7: Drehung eines kartesischen Koordinatensystems
Definition 1-14
Transformation kartesischer Koordinaten in räumliche Zylinderkoordinaten
x = r cosϕ
y = r sin ϕ
z = z
r =
x
2
+ y
y
ϕ = arctan
x
z = z
2
Abb. 1-8: Räumliche Zylinderkoordinaten, ebene Polarkoordinaten und z-Richtung
Definition 1-15
Transformation kartesischer Koordinaten in räumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)
x = rcosϕsin
ϑ
y = rsin ϕsin
ϑ
z = rcosϑ
r =
ϕ =
x
2
+ y
y
arctan
x
ϑ = arctan
2
+ z
x
2
+ y
z
2
2
Definitionsbereiche:
0 ≤ r ≤ ∞
− π < ϕ ≤ π
0 ≤ ϑ ≤ π

8
Abb. 1-9 Räumliche Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten
2 Definitionen und Rechenregeln für Vektoren
Definition 2-1
Ein Skalar 1 ist eine reelle Zahl.
Definition 2-2
Ein Vektor 2 entspricht einer physikalischen Größe, die einen Betrag und eine Richtung hat 3 .
Eine Vektorgröße kann zur geometrischen Interpretation durch einen Pfeil dargestellt werden,
dessen Länge den Betrag und dessen Spitze die Richtung und die Orientierung angibt. Beispiele
für vektorielle physikalische Größen sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung. Die
Definition zeigt, dass für die Angabe einer vektoriellen Größe mehr als eine Zahl erforderlich
ist und dass sich eine vektorielle Größe beim Übergang in ein anderes Koordinatensystem in
bestimmter Weise transformiert.
Definition 2-3
Abb. 2-1 Freie Vektoren
Abb. 2-2 Linienflüchtige Vektoren
1 zu lat. scalaris = zur Leiter, Treppe gehörig
2 lat. vector = Träger, Fahrer, zu lat. vehere = fahren
3 William Rowan Hamilton, irischer Mathematiker und Physiker, 1805-1865

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Aus der Definition geht hervor, dass sich ein Vektor bei der Parallelverschiebung nicht ändert
(Abb. 2-1). Diese Vektoren werden als freie Vektoren bezeichnet. Ein linienflüchtiger Vektor
(Abb. 2-2) darf nur längs seiner Wirkungslinie verschoben werden (eingeschränkte Parallelverschiebung).
Abb. 2-3 Gebundener Vektor
Definition 2-4
Ein gebundener Vektor hat einen festen
Anfangspunkt P, er darf überhaupt nicht verschoben
werden (Abb. 2-3).
Beispiel 2-1
Freier Vektor:
Linienflüchtiger Vektor:
Gebundener Vektor:
An einem starren Körper angreifendes Drehmoment.
An einem starren Körper angreifende Kraft.
Ortsvektor, an einem deformierbaren Körper angreifende
Kräfte und Momente.
Definition 2-5
Die Länge eines Vektors ist sein Betrag, und wir schreiben: a = a ≥ 0
Definition 2-6
Abb. 2-4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Ist a ein Vektor und λ eine reelle Zahl, so bezeichnet das Symbol λa einen Vektor mit folgenden
Eigenschaften (Abb. 2-4):
1. Der Vektor λa ist parallel zu a
2. λ > 0 ⇒ a und λa sind gleichgerichtet
3. λ < 0 ⇒ a und λa sind entgegengesetzt gerichtet
4. Der Betrag von λa ist: λ a = λ a

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Es bedeuten weiterhin:
λ = 1: Der Vektor a bleibt unverändert.
λ = 0: Es entsteht ein Vektor vom Betrag 0, der Null-Vektor, der keine bestimmte
Richtung hat.
λ = -1: Der Richtungssinn von a wird umgekehrt.
Zwei parallele Vektoren können sich damit nur um einen skalaren Faktor unterscheiden.
Definition 2-7
Ein Einheitsvektor e ist durch e = 1 definiert. Zu jedem Vektor a kann damit ein gleichgerichteter
Einheitsvektor gefunden werden (Abb. 2-5)
Abb. 2-5 Der Einheitsvektor
Da
1
a
a
1 a
den Betrag a = = 1 hat, gilt: a
a a
0 =
a
a
Jeder Vektor lässt sich somit in der Form Betrag mal zugehöriger Einheitsvektor darstellen:
0
a = a a
Definition 2-8
Abb. 2-6 Vektoraddition, Parallelogrammgesetz
Zwei Vektoren a und b wird durch den Operator
„+“ ein neuer Vektor zugeordnet, den
man die Vektorsumme von a und b nennt.
Zur Bildung von a und b wird b durch Parallelverschiebung
im Endpunkt von a angetragen.
Der Vektor a + b weist vom Anfangspunkt
von a zum Endpunkt von b.

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Entsprechend Abb. 2-6 lässt sich die Vektorsumme auch derart bilden, dass der Vektor a durch
Parallelverschiebung im Endpunkt von b angetragen wird. Der Vektor a + b weist vom Anfangspunkt
von b zum Endpunkt von a.
Abb. 2-7 Subtraktion von Vektoren
Auf diese Weise entsteht ein Parallelogramm
mit den orientierten Seiten a und b und der
orientierten Diagonalen a + b, das in der Mechanik
die Anwendung beim Kräfteparallelogramm
findet. In entsprechender Weise
lässt sich die Differenz a − b = a + ( −b) bilden.
Definition 2-9
Es gilt:
a) a − a = 0
b) a + b = b + a
c) (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Assoziativ-Gesetz (Abb. 2-8)
Abb. 2-8 Assoziativgesetz der Addition
Definition 2-10
Mit n Vektoren a , und mit den Koeffizienten λ λ , λ ,...., , welche als reelle
1,a
2,a
3,...
a
n
1, 2 3
λ
n
Zahlen variabel sind, können wir eine lineare Schar von Vektoren bilden:
λ
1a1
+ λ
2
a
2
+ λ
3
a
3
+ ...... + λ
n
a
n
Wir nennen n Vektoren linear unabhängig, wenn sich aus ihnen durch Linearkombination
der Nullvektor
λ
1
a1
+ λ
2
a
2
+ λ
3a
3
+ ...... + λ
n
a
n
= 0
nur durch
λ
= ..... = λ
n
1
= λ
2
= λ
3
=
0

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bilden lässt. Andernfalls sind die Vektoren linear abhängig. Lineare Abhängigkeit bedeutet
also, dass die obige Gleichung für wenigstens einen nicht verschwindenden Skalar λ i erfüllt
ist und damit nach einem Vektor aufgelöst werden kann. Unterstellen wir λ 1
≠ 0 , erhalten wir
a 1 als Linearkombination, Überlagerung oder Superposition:
a
λ
λ
2 3
n
1
= − a
2
− a
3
− .... − a
n
λ1
λ1
λ1
λ
Die geometrische Bedeutung der linearen Abhängigkeit erkennen wir aus den folgenden Beispielen.
Beispiel 2-2 = 2 λ , λ 0
n
1 2
≠
Abb. 2-9 Kollineare Vektoren
Aus λ1a1 + λ2a2 = 0 folgt, dass a 1 und a 2 ein
und derselben Geraden parallel sind. Die Vektoren
a 1 und a 2 heißen dann kollinear. Alle Vektoren,
die zu einer Geraden (der Wirkungslinie
von a 1 ) parallel sind, lassen sich in der Form
ag =λa
1 darstellen (Abb. 2-9).
Beispiel 2-3
n
1 2 3
≠
1 2
= 3, λ , λ , λ 0; a ,a linearunabhängig . Aus λ + λ a + λ a 0 folgt,
dass a 1 , a 2 , a 3 in einer Ebene liegen. Wir sagen: a 1 , a 2 , a 3 sind komplanar 1 .
1
a1
2 2 3 3
=
Definition 2-11
Jeder Vektor, der zu derjenigen Ebene parallel ist, die durch die beiden linear unabhängigen
Vektoren a 1 und a 2 aufgespannt wird, lässt sich in der Form a
e
= l
1a1
+ l
2
a
2
darstellen (Abb. 2-10)
Abb. 2-10 Komplanare Vektoren
1 zu lat. complanare = einebnen

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Beispiel 2-4
n = 4, λ1,λ
2,λ
3,λ
4
≠ 0; a1,a
2,a
3
linear unabhängig
Im dreidimensionalen Raum gilt der
Satz 2-1
Mehr als 3 Vektoren sind stets linear abhängig. Zwischen 4 beliebigen Vektoren besteht also
immer eine Beziehung
λ
1
a1
+ λ
2
a
2
+ λ3a
3
+ λ
4
a
4
= 0
Beispiel 2-5
Sind a
1,a
2
, a
3
drei linear unabhängige Vektoren,
so lässt sich jeder beliebige Vektor des
dreidimensionalen Raumes durch Linearkombination
in a
1,a
2
, a
3
darstellen, also:
a
r
= l a + l a + l
1
1
2
2
3
a
3
Abb. 2-11 Basissystem im räumlichen Fall
Satz 2-2
Drei linear unabhängige Vektoren bilden im Raum ein Basissystem
Hinweis: Die zahlenmäßige Darstellung vektorieller Größen muss so erfolgen, dass wir verschiedene
Vektoren auch ohne geometrische Anschauung miteinander vergleichen können.
Dazu müssen wir im Raum ein Basissystem vorgeben. Da je drei beliebige, linear unabhängige
Vektoren eine Basis bilden, gibt es für die Darstellung ein und derselben vektoriellen Größe
unendlich viele verschiedene Möglichkeiten. Im Unterschied dazu ist die zahlenmäßige
Angabe einer skalaren Größe von der Wahl des Bezugssystems unabhängig.
Definition 2-12
Ist die Basis durch die Vektoren
g
1
,g
2
,g
3
gegeben, so heißt die Gleichung
a = a +
1g
+ a
1 2
g a
2 3g
3

14
die Komponentendarstellung 1 des Vektors a zur Basis g i
(i = 1,2,3)
.
a
1
g
1
,a
2
a
1
g
,a
2
2
,a
,a
3
g
3
3
= KoordinatendesVektors a
= KomponentendesVektors a
Je nach Anordnung der Basisvektoren g i
unterscheiden wir (Abb. 2-12) zwischen einem
Rechts- oder Linkssystem.
Abb. 2-12 Rechts- bzw. Linkssystem
Definition 2-13
Die Drehung von g 1
auf dem kürzesten Wege in g 2
und die Richtung von g 3
bilden ein
Rechtssystem.
Definition 2-14
Es seien
x
y
z
e ,e , e drei Einheitsvektoren, die zueinander orthogonal sind (orthonormierte Basis).
und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Ein Vektor a kann dann als Summe
der 3 Vektoren
a e ,a e ,a e dargestellt werden (Abb. 2-13).
x
x
y
y
z
z
Wir schreiben:
a = a e
=
x
{ a ,a ,a } < e ,e ,e >
x
x
+ a e
y
y
z
y
+ a e
z
x
z
y
z
Abb. 2-13 Kartesische Koordinaten
Hinweis: Die in Spitzklammern hinzugefügte
Basis kann entfallen, wenn Verwechslungen
ausgeschlossen sind. Für die Basisvektoren
folgt dann die Komponentendarstellung
1 zu lat. componere = zusammenstellen

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e
{ 1,0,0 };
e = { 0,1,0 };
e { 0,01, }
x =
y
z =
Den Betrag des Vektors a entnehmen wir der Abb. 2-13
a = a = a + a + a
2
x
2
y
2
z
Der Ortsvektor
r = x e x + y e y + z e z = { x, y,z}
Abb. 2-14 Der Ortsvektor
ist ein gebundener Vektor. Er dient dazu, die Lage
eines Punktes P im Raum anzugeben.
Definition 2-15
Den Zylinderkoordinaten r, ϕ, z werden die Basisvektoren e r , e ϕ , e z zugeordnet, die wie e x , e y ,
e z eine Orthonormalbasis bilden (Abb. 2-15). Dabei gelten die folgenden Beziehungen:
und umgekehrt:
e
e
e
e
e
e
r
ϕ
z
x
y
z
= cosϕe
= −sin
ϕe
= e
= e
z
= cosϕe
= sin ϕe
z
r
x
r
+ sin ϕe
x
y
+ cosϕe
− sin
+ cos
=
y
=
{ cosϕ,sin
ϕ,0}
= { − sin ϕ,cosϕ,0}
= { 0,01, }
ϕe
ϕ = { cosϕ,
− sin ϕ,0}
ϕeϕ
= { sin ϕ,cosϕ,0}
{ 0,01, }
Abb. 2-15 Zylinderkoordinaten

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Ein beliebiger Vektor a kann dann sowohl auf die Basis e x , e y , e z als auch auf die Basis e r , e ϕ ,
e z bezogen werden. Statt
ist dann
a = a x e x + a y e y + a z e z = {a x , a y , a z }
a = a
r
e
r
+ a
ϕ
eϕ
+ a z
e z =
{ a ,a , a }
r
ϕ
z
zu schreiben, und für den Betrag des Vektors a erhalten wir:
2 2
a = a = a
r
+ a
ϕ
+
a
2
z
Mit den obigen Gleichungen folgt dann
und umgekehrt:
a
a
a
r
ϕ
a
a
z
a
x
y
z
=
a
= −a
=
a
= a
= a
= a
r
r
z
x
z
x
cosϕ + a
sin ϕ + a
cosϕ − a
sin ϕ + a
y
ϕ
ϕ
y
sin ϕ
cosϕ
sin ϕ
cosϕ
Dabei ist zu beachten, dass ein Vektor a, je nachdem welchem Punkt im Raum wir ihn zuordnen,
zwar stets die gleichen Koordinaten a x , a y , a z , jedoch jeweils andere Koordinaten a r , a ϕ
besitzt, da die Einheitsvektoren e r und e ϕ von ϕ abhängen (Abb. 2-16).
Abb. 2-16 Abhängigkeit des Vektors a von den Einheitsvektoren

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Der Ortsvektor r hat in Zylinderkoordinaten,
d.h. bei Bezugnahme auf die Orthonormalbasis
e r , e ϕ , e z die Form:
r = rer + zez
bzw.: r =
{ r,0,z}
Abb. 2-17 Ortsvektor in Zylinderkoordinaten
Achtung: Die Polarkoordinate r ist nicht
mit dem Betrag des Ortsvektors zu verwechseln
(Abb. 2-17).
Definition 2-16
Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie komponentenweise gleich sind
a = b ⇔ a = b , a = b , a = b
x
x
y
y
z
z
Einer Vektorgleichung im Raum entsprechen somit drei skalare Gleichungen.
Definition 2-17
Ein Vektor wird mit einem Skalar multipliziert, indem alle seine Komponenten mit dem Skalar
multipliziert werden.
λ a = λ
{ a ,a ,a } = { λa
, λa
, λa
}
x
y
z
x
y
z
Definition 2-18
Für die Summe bzw. Differenz zweier Vektoren gilt:
{ a ± b ,a ± b ,a b }
a ± b =
±
x
x
y
y
z
z
Definition 2-19
0 = { 0,0,0 }
Der Nullvektor hat in jedem Bezugssystem die Koordinaten 0.

18
Definition 2-20
Abb. 2-18 Skalarprodukt zweier Vektoren a und b
Das skalare Produkt (oder auch innere
Produkt) a ⋅ b der beiden Vektoren a und
b liefert einen Skalar, der wie folgt definiert
ist:
a ⋅ b = abcosϕ
Definition 2-21
Für die Basisvektoren folgt:
e
e
⋅
e
x
y
z
e
x
1
0
0
e
y
0
1
0
e
z
0
0
1
oder kurz
e ⋅ e = δ
δ
δ
j
jk
jk
k
= 1
jk
= 0 sonst
j,k =
fürj = k
x, y,z
Definition 2-22
Mit der Definition sind:
a) a ⋅ b = b ⋅ a
b) ( λ a) ⋅ b = a ⋅ ( λb) = λa
⋅ b
c) ( a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
denn es gilt (Abb. 2-19):
a + b cos γ = a cosα + b cosβ
und damit
( a + b)
⋅ c =
=
a + b ⋅ c cos γ
a c cosα + b c cosβ = a ⋅ c + b ⋅ c
Abb. 2-19 Distributivgesetz
womit das Skalarprodukt auf die Koordinaten
zurückgeführt werden kann:

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a ⋅ b =
( a e + a e + a e ) ⋅ ( b e + b e + b e )
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
=
a
a
a
x
y
z
b
b
b
x
x
x
e
e
e
x
y
z
⋅ e
⋅ e
⋅ e
x
x
x
+ a
+ a
+ a
x
y
z
b
b
b
y
y
y
e
e
e
x
y
z
⋅ e
⋅ e
⋅ e
y
y
y
+ a
+ a
x
y
+ a
b
b
z
z
z
b
e
e
z
x
y
e
⋅ e
⋅ e
z
z
z
⋅ e
+
+
z
und damit
a ⋅ b = a b + a b + a
x
x
y
y
z
b
z
cosϕ
=
a
2
x
a
x
b
+ a
x
2
y
+ a
+ a
y
2
z
b
y
b
+ a
2
x
z
b
+ b
z
2
y
+ b
2
z
Insbesondere gilt:
2
a ⋅ a = a = a + a + a = a = a
2
x
2
y
2
z
2
2
Definition 2-23
Die Orthogonalitätsbedingung für zwei Vektoren ( ,b 0)
a ≠ :
a
x
bx
+ a
yby
+ a
zbz
= 0
Definition 2-24
Projektion eines Vektors auf eine vorgegebene Richtung
Wir entnehmen der Abb. 2-20:
0 b b abcosϕ
a b = a
b
b = a cosϕ
= b
2
b b b
bzw.
a ⋅ b
= b
b
a
b 2
Abb. 2-20 Projektion von a auf die Richtung von b
und damit der Betrag des Vektors a
b
a
b
=
a
b
b abcosϕ
= a cosϕ
= =
b
2
b
a ⋅ b
b
2
Liegt statt b ein Einheitsvektor e vor, so ist wegen e = 1
a e
= ( a ⋅e)e

20
und
a e
= a ⋅ e
Insbesondere gilt
a
x
= a ⋅ e
x
a
y
= a ⋅ e
y
a
z
= a ⋅ e
z
Für die Winkel zwischen einem Vektor a und den Basisvektoren gilt dann:
Abb. 2-21 Winkel zwischen a und dem Basisvektor e x
a a
x
y
cosα
x
= cosαy
= ;cosαz
=
a a
a
z
a
Richtungskosinusse
cos
2
2
α + cos α
x
y
2
+ cos α
z
= 1
Die Komponenten eines Einheitsvektors
im orthonormierten Basissystem
sind die Kosinusse der Winkel
zwischen dem Einheitsvektor
und den Koordinatenachsen:
e =
{ cosα
,cosα
, cosα
}
x
y
z
Abb. 2-22 Richtungskosinusse des Einheitsvektors

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Definition 2-25
Das vektorielle Produkt (oder äußere Produkt) zweier Vektoren a und b wird
a × b geschrieben
und wie folgt definiert (Abb. 2-23)
1. a × b ist ein Vektor.
2. a × b steht senkrecht auf a und senkrecht auf b.
3. a, b und a × b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
4. Es ist a × b = a bsinϕ, also gleich dem Flächeninhalt A des von a und b gebildeten Parallelogramms.
Abb. 2-23 Das Vektorprodukt zweier Vektoren
Nach Definition 3 gilt für das Vektorprodukt das kommutative Gesetz nicht, vielmehr ist
a × b = −b
× a
Sind die beiden Vektoren a und b parallel, so ist ϕ = 0 oder ϕ = π, dann ist a × b = 0 .
Es ist also a × b = 0 für:
a = 0
a ≠ 0
a = 0
a||b
und
und
und
b ≠ 0
b = 0
b = 0
( ϕ = 0 oder π)
Insbesondere ist also:
a × a =
0
Für die Einheitsvektoren gilt:

22
×
e
e
e
x
y
z
e
0
− e
e
x
y
z
e
e
y
z
0
− e
x
e
− e
e
z
x
0
y
Definition 2-26
Es gilt
a) λ ( a × b) = ( λa) × b = a × ( λb) = λa
× b
b) ( a + b) × c = a × c + b×
c
Definition 2-27
Zurückführung des Vektorproduktes auf die Koordinaten:
( a e + a e + a e ) × ( b e + b e + b e ) =
a × b = x y z
x y z
x
y
z
x
y
z
a
a
x
y
z
b
b
x
x
x
e
e
x
y
z
× e
× e
x
x
a b e × e
x
+
+
+
a
a
x
y
z
b
b
y
y
y
e
e
x
y
z
× e
× e
y
y
a b e × e
y
+
+
+
a
a
x
y
z
b
b
z
z
z
e
e
x
y
z
× e
× e
z
z
a b e × e
z
und
a × b =
{ a b − a b ,a b − a b ,a b − a b }
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
dafür kann auch folgende Merkregel verwandt werden
a × b =
e
a
b
x
x
x
e
a
b
y
y
y
e
a
b
z
z
z
Achtung: Merkregel gilt so nur bei Bezugnahme auf eine orthogonale normierte Vektorbasis.
Definition 2-28
Das Spatprodukt [ a ,b,c]
ist definiert als das Volumen V des von den Vektoren a, b und c
gebildeten Parallelepipeds (Abb. 2-24)
V = Ah =
a × b
c cos ϕ =
( a × b) ⋅c

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Abb. 2-24 Das Spatprodukt
Wir hätten auch
erhalten können. Insgesamt ist dann
V =
V =
( b × c)
⋅ a
( c × a) ⋅ b
[ a,b,c] = ( a × b) ⋅c
= ( b × c) ⋅a
= ( c×
a) ⋅ b
und es gilt die Regel von der zyklischen Vertauschbarkeit
[ a ,b,c] = [ b,c,a ] = [ c,a,b]
und wegen ( b c) ⋅ a = a ⋅ ( b × c) ≡ ( a × b) ⋅ c
× die (sinnvolle) Vertauschbarkeit von ⋅ und ×
( a × b) ⋅c
= a ⋅( b × c)
Durch Ausrechnen von ( a× b)
⋅ c erhalten wir
[ a,b,c] = ( a y
b z
− a z
b y
) c x
+ ( a z
b x
− a x
b z
) c y
+ ( a x
b y
− a y
b x
) c z
wofür wir auch
[ ,b,c]
a =
a
b
c
x
x
x
a
b
c
y
y
y
a
b
c
z
z
z
hätten schreiben können. Für das Spatprodukt weisen wir noch die Beziehung

24
[ a ,a ,a ][ b ,b ,b ]
1
2
3
1
2
3
=
a ⋅ b
a
a
1
2
3
1
⋅ b
1
⋅ b
1
a ⋅ b
a
a
1
2
3
2
⋅b
⋅ b
2
2
a ⋅ b
a
a
1
2
3
3
⋅b
⋅b
3
3
nach, die für = a ,b = a ,b a , in die Form
b1 1 2 2 3
=
3
[ a ,a ,a ]
1
2
2
3
=
a ⋅ a
a
a
1
2
3
1
⋅a
⋅a
1
1
a ⋅a
a
a
1
2
3
⋅a
⋅ a
2
2
2
a ⋅ a
a
a
1
2
3
⋅a
3
⋅a
3
3
übergeht. Der Beweis erfolgt durch Ausrechnen mit { a ,a , }
a = usw.
1 1x 1y
a 1z
Definition 2-29
Zerlegung eines Vektors in der Ebene nach zwei Richtungen. Der Vektor a in Abb. 2-25 soll in
die vorgegebenen Richtungen a 1 und a 2 zerlegt werden, also a = λ a1
+ λ 2 mit noch unbekannten
λ
und λ .
1 2
1 2a
( a × a ) ⋅ ( a × a ) = λ ( a × a ) 2
2
a × a
1
a = λ a + λ
2
2
1
1
1
1
= λ a × a
1
1
2
2
2
a
2
| ⋅
( a × a )
1
| × a
2
2
Abb. 2-25 Zerlegung eines Vektors in der Ebene
und damit
λ
1
=
( a × a
2
) ⋅( a1
× a
2
)
( a × a ) 2
entsprechend erhalten wir λ
2
und damit insgesamt
1
2
λ
1
=
( a × a 2 ) ⋅ ( a1
× a 2 )
2
( a × a )
1
2
;
λ
2
=
( a1
× a) ⋅ ( a1
× a 2 )
( a × a ) 2
1
2
Wenn a 1 und a 2 parallel sind, so ist × a 0 , in diesem Falle ist keine Zerlegung möglich.
a1 2 =
Sind in der Ebene mehr als zwei Richtungen vorgegeben, so ist die Zerlegung nicht eindeutig.
Definition 2-30
Zerlegung eines Vektors im Raum nach drei vorgegebenen Richtungen.

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Für a gilt nach Abb. 2-26
a = λ
1a1
+ λ2a
2 + λ3a3
mit noch unbekannten λ 1 ,λ 2 und λ 3 .
a = λ a + λ
1
1
2
a
2
+ λ a
3
3
|(a × a ) ⋅
2
3
(a × a ) ⋅a
= λ (a × a ) ⋅a
2
3
1
2
3
1
Abb. 2-26 Zerlegung eines Vektors im Raum
λ
1
=
[ a 2,a
3,a]
[ a ,a ,a ]
2
3
1
=
[ a,a 2,a3]
[ a ,a ,a ]
1
2
3
Entsprechend folgen λ 2 und λ 3 und somit insgesamt
λ
1
=
[ a,a 2,a3]
[ a ,a ,a ]
1
2
3
;
λ
2
=
[ a1,a,a3]
[ a ,a ,a ]
1
2
3
;
λ
3
=
[ a1,a
2,a]
[ a ,a ,a ]
1
2
3
Wenn die Vektoren a 1 , a 2 und a 3 komplanar sind, so gilt [a 1 , a 2 , a 3 ] = 0, und eine Zerlegung ist
in diesem Falle nicht möglich. Sind mehr als drei Richtungen vorgegeben, so ist die Zerlegung
nicht eindeutig.
Definition 2-31 (Mehrfache Produkte)
Für vektorielle Produkte aus drei Vektoren gilt die
Beziehung
a × (b×
c) = (a ⋅c)b
− (a ⋅b)c
wofür wir auch unter Berücksichtigung von
a × (b×
c) =
b c
y
z
e
a
x
x
− b c
z
y
b c
z
x
e
a
y
y
− b
x
c
z
b c
x
y
e
a
z
z
− b c
y
x
Abb. 2-27 Das zweifache Vektorprodukt
=
e
e
e
[ a
y(bxcy
− bycx
) − a
z(bzcx
− bxcz
)]
y[ a
z
(bycz
− bzcy)
− a
x
(bxcy
− bycx
)]
[ a (b c − b c ) − a (b c − b c )]
x
z
x
z
x
x
z
y
y
z
z
y
+
+
und damit
a × (b×
c) = e
e
e
x
y
z
[ a
y
(bxcy
− bycx
) − a
z
(bzcx
− bxcz
)]
[ a
z
(bycz
− bzcy)
− a
x
(bxcy
− bycx
[ a (b c − b c ) − a (b c − b c )]
x
z
x
x
z
y
y
z
z
y
+
+

26
schreiben können. Geometrisch ist sofort einleuchtend, dass der Vektor a × (b×
c)
in der
durch b und c aufgespannten Ebene liegt, da er zu
b× c orthogonal ist. Für zweifache Vektorprodukte
gilt das Assoziativgesetz nicht:
a × (b×
c) ≠ (a × b) × c
Definition 2-32
Es gilt:
a) ( a × b) ⋅ (c × d) = (a ⋅ c)(b ⋅ d) − (a ⋅ d)(b ⋅ c)
b) (a × b) × (c × d) = [ a,c,d] b − [ b,c,d]
a
= [ a,b,d] c − [ a,b,c]d
c) a × (b×
c) + b×
(c×
a) + c×
(a × b) = 0
d)
2 2 2
( a × b) = a b − (a ⋅
b)
2
Definition 2-33
Zerlegung eines Vektors a in zwei Komponenten, von denen eine parallel zu einem vorgegebenen
Vektor e und die andere Komponente dazu senkrecht steht (Abb. 2-28), also
a ||
= a + a
⊥
Abb. 2-28 Vektorzerlegung parallel und senkrecht zu einer vorgegebenen Richtung
Mit
a ||
= (a ⋅ e) e gilt: a = a − a|| = a − (a ⋅ e)e = (e ⋅ e)a − (a ⋅ e)e = e × (a × e)
⊥
und somit (Abb. 2-28)
a = (a ⋅ e)e + e × (a × e)
|| e
⊥ e

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3 Definitionen und Rechenregeln für Matrizen
Definition 3-1
Eine Matrix 1 ist ein geordnetes Schema von Zahlen a ik mit m Zeilen und n Spalten der Form
A
( m×
n )
⎛ a11
⎜
⎜ a
21
= ⎜ ⋯
⎜
⎝a
m1
a
a
a
12
22
⋯
m2
⋯
⋯
⋯
⋯
a1n
⎞
⎟
a
2n ⎟
⋯ ⎟
⎟
a
mn ⎠
Außer dem Zahlenwert eines Elementes a ik ∈ R der Matrix A ist auch seine durch den Doppelindex
i,k festgelegte Stellung im Schema, seine Zeilennummer i und seine Spaltennummer
k entscheidend. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine Matrix vom Typ m × n (gesprochen:
m-Kreuz-n) oder kurz eine
m × n -Matrix. Einzeilige Matrizen A( 1× n ) werden Zeilenvektoren
und einspaltige Matrizen A( m × 1 ) werden Spaltenvektoren genannt und mit
kleinen Buchstaben bezeichnet. Es ist
T
a
i
der i-te Zeilenvektor
a
T
i
=
( a a ⋯ a )
i1
i2
in
und a k der k-te Spaltenvektor
a
k
⎛ a1k
⎞
⎜ ⎟
⎜ a
2k ⎟
= ⎜ ⋯ ⎟
⎜ ⎟
⎝a
mk ⎠
Spezielle Matrizen
a) Nullmatrix
0
( m×
n )
alle
a ij
= 0, i = 1, …,
m, j = 1, …,
n
b) Quadratische Matrix m = n
c) Diagonalmatrix m = n, a ij
= 0 für i ≠ j
1 lat. Quelle, Ursache

28
D
( m×
m)
⎛ a
⎜
⎜ 0
= ⎜ ⋮
⎜
⎝ 0
11
a
0
22
⋮
0
…
⋯
⋱
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
a
mm ⎠
d) Einheitsmatrix der Ordnung m
I
(m×
m)
, a = 0, i ≠ j,a 1
ij ii
=
I
m
( m × )
⎛ 1
⎜
⎜ 0
= ⎜⋯
⎜
⎝ 0
0
1
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1
⎠
Definition 3-2
Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie in allen Elementen übereinstimmen:
A = B ⇔ a = b
( m×
n ) ( m×
n )
ij
ij
für alle i,j
Definition 3-3
Zu jeder Matrix A wird eine transponierte 1 Matrix A T nach folgender Vorschrift gebildet:
A
⎛ a11
⎜
⎜ a
21
= ⎜ ⋯
⎜
⎝a
m1
a
a
12
22
a1n
⎞
⎟
a
2n ⎟
⋯ ⎟
⎟
a
mn ⎠
( m×
n ) ( n×
m)
a
⋯
m2
⋯
⋯
⋯
⋯
A
T
⎛ a11
⎜
⎜a12
= ⎜ ⋯
⎜
⎝a1n
a
a
a
21
22
⋯
2n
⋯
⋯
⋯
⋯
a
m1 ⎞
⎟
a
m2 ⎟
⋯ ⎟
⎟
a
mn ⎠
T
oder kurz A = ( a ) A = ( a )
ik
ki
⎛1
⎜
3⎞
⎟
⎛1
⎝3
4⎞
T
A = ⎜5
2⎟
A = ⎜ ⎟
( 3 2) ( 2×
3) × 2 6
⎜
⎝4
6⎟
⎠
5
⎠
Satz 3-1
T
Es gilt: ( A ) = A
T
1 lat. transponere = übersetzen, hinüberschaffen lassen

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Definition 3-4
Es gilt die folgende Rechenregel:
T T
( A + B) = A +
B
T
Definition 3-5
Eine quadratische Matrix, für die
T
A = A gilt, heißt symmetrisch.
⎛
⎜
A = ⎜
⎜
⎝
4
2
1
2
− 3
− 2
1 ⎞
⎟
− 2⎟
7 ⎟
⎠
Definition 3-6
Eine quadratische Matrix A heißt antimetrisch (schiefsymmetrisch), wenn gilt:
A T = −A
Die Definition erfordert offensichtlich, dass die Hauptdiagonalelemente verschwinden.
⎛ 0
⎜
A = ⎜−
2
⎜
⎝ 1
2
0
− 2
−1⎞
⎟
2⎟
0⎟
⎠
Definition 3-7
Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind heißt
obere Dreiecksmatrix (Rechtsdreiecksmatrix).
A
( n×
n )
⎛a11
⎜
⎜ 0
= ⎜ ⋯
⎜
⎝ 0
a
a
12
22
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
a1n
⎞
⎟
a
2n ⎟
⋯ ⎟
⎟
a
nn ⎠
Definition 3-8
Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind heißt
untere Dreiecksmatrix (Linksdreiecksmatrix).
A
( n×
n )
⎛ a11
⎜
⎜a
21
= ⎜ ⋯
⎜
⎝a
n1
a
a
0
22
⋯
n2
⋯
⋯
⋯
⋯
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⋯ ⎟
⎟
a
nn ⎠

30
Definition 3-9
Zwei Matrizen gleicher Dimension werden addiert (subtrahiert), indem ihre entsprechenden
Elemente addiert (subtrahiert) werden.
C = A ± B ⇔ c = a ± b
( m×
n ) ( m×
n ) ( m×
n )
ij
ij
ij
; i = 1, …,m,
j = 1, …,
n
Definition 3-10
Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit λ
multipliziert wird:
B
= λ
A
( m×
n ) ( m×
n )
⇔
b
ij
= λa
ij
, i = 1, …,m,
j = 1, …,
n
⎛ λa
⎜
⎜ λa
B = λA
= A = ⎜ ⋯
⎜
⎝ λa
11
21
m1
λa
λa
λa
12
⋯
22
m2
⋯
⋯
⋯
⋯
λa1n
⎞
⎟
λa
2n ⎟
⋯ ⎟
⎟
λa
mn ⎠
Satz 3-2
Für Matrizen gleicher Dimension gilt:
+ b) A + ( − A) = 0
a) A 0 = 0 + A = A
c) A B = B + A
+ d) ( A + B) + C = A + ( B + C) = A + B + C
e) λ ( A + B) = λA
+ λB
f) ( λ + λ ) = λ A + A
Definition 3-11
1 2
A
1
λ
2
Es sei A eine
m × n und B eine n × p Matrix, dann gilt für die Produktmatrix C = A⋅
B ,
dass sie die Dimension
m × p hat und dass sich ihre Elemente c ij
als Skalarprodukt aus dem
i-ten Zeilenvektor von A und dem j-ten Spaltenvektor von B ergeben:
⎛ a
⎜
T
1
⎞
⎟
T
⎜ a
2 ⎟
A =
B = ( b1,
b
2
,…,b
p
)
( m×
n ) ⎜ ⎟
( n×
p) T
i
⎜
⋮
⎟
T
a
⎝ m ⎠
n
∑
c = a b = a b , i = 1,2, …,
m ; j = 1,2, …,
p
ij
j
k=
1
ik
kj

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 31
Beispiel 3-1
⎛ 2
⎜
⎝ − 3
− 4
6
⎛
6⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜
− 9⎠
⎜
⎝
3
4
2
1
3
6
− 3
2
4
5⎞
⎟ ⎛
0⎟
= ⎜
− 4⎟
⎝
⎠
2
− 3
26
− 39
10
−15
−14⎞
⎟
21⎠
oder auch
⎛ 2
⎜
⎝ − 3
− 4
6
⎛
6⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜
− 9⎠
⎜
⎝
1
3
2
2
− 4
1
0
− 4
−1
0⎞
⎟ ⎛
5⎟
= ⎜
1⎟
⎝
⎠
2
− 3
26
− 39
10
−15
−14⎞
⎟
21⎠
Für die Matrizenmultiplikation gilt nicht das Kommutativgesetz, d.h., i.a. ist:
A ⋅ B ≠ B ⋅ A
⎛1
⎜
A = ⎜2
⎜
⎝2
2
1
3
3⎞
⎛1
⎟ ⎜
3⎟;
B = ⎜0
1⎟
⎜
⎠ ⎝1
0
1
0
0⎞
⎛4
⎟ ⎜
2⎟;
A ⋅ B = ⎜5
1⎟
⎜
⎠ ⎝3
2
1
3
7⎞
⎛1
⎟ ⎜
5⎟;
B⋅
A = ⎜6
7⎟
⎜
⎠ ⎝3
2
7
5
3⎞
⎟
5⎟.
4⎟
⎠
Einheitsmatrizen reproduzieren beim Multiplizieren, sie spielen also die Rolle der 1 beim
Multiplizieren reeller Zahlen:
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
0⎞
⎛1
⎟ ⎜
0⎟
⋅⎜2
1⎟
⎜
⎠ ⎝2
2
1
3
3⎞
⎛1
⎟ ⎜
3⎟
= ⎜2
1⎟
⎜
⎠ ⎝2
2
1
3
3⎞
⎛1
⎟ ⎜
3⎟
= ⎜2
1⎟
⎜
⎠ ⎝2
2
1
3
3⎞
⎛1
⎟ ⎜
3⎟
⋅⎜0
1⎟
⎜
⎠ ⎝0
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
0⎞
⎛1
⎟ ⎜
0⎟
⋅⎜2
1⎟
⎜
⎠ ⎝2
2⎞
⎛1
⎟ ⎜
1⎟
= ⎜2
3⎟
⎜
⎠ ⎝2
2⎞
⎛1
⎟ ⎜
1⎟
= ⎜2
3⎟
⎜
⎠ ⎝2
2⎞
⎟ ⎛1
1⎟
⋅ ⎜
⎟ ⎝0
3⎠
0⎞
⎟
1⎠
Satz 3-3
Es gilt:
⎜
⎛ A +
⎝
B
⎟
⎞ ⋅
⎠
C
= A ⋅ C+
B ⋅ C
( m×
n ) ( m×
n ) ( n×
p) ( m×
p) ( m×
p)
A ⋅ ⎜
⎛ B +
⎝
C ⎟
⎞ = A ⋅ B+
A ⋅ C
⎠
( m×
n ) ( n×
p) ( n×
p) ( m×
p) ( m×
p)
Definition 3-12
Der Zeilenrang (Spaltenrang) einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen
(Spalten) der Matrix.

32
Satz 3-4
Der Zeilenrang einer beliebigen Matrix ist immer gleich dem Spaltenrang. Es gilt, dass der
Rang von A nie größer ist als das Minimum aus Zeilenzahl und Spaltenzahl:
rg(A)
≤ min(m, n) .
Andernfalls heißt A singulär.
Definition 3-13
Unter der Voraussetzung, dass die Produkte herstellbar sind, gilt für die Matrizenmultiplikation
das Assoziativgesetz:
( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)
Definition 3-14
Eine Matrix A wird mit einem Faktor λ multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit λ
multipliziert wird:
bzw.:
λ A = λ(a
ik
) = ( λa
ik
)
⎛ λa
⎜
⎜ λa
λA
= Aλ
= ⎜ ⋯
⎜
⎝ λa
11
21
m1
λa
λa
λa
12
⋯
22
m2
⋯
⋯
⋯
⋯
λa1n
⎞
⎟
λa
2n ⎟
⋯ ⎟
⎟
λa
mn ⎠
Definition 3-15
Für das Transponieren von Matrizenprodukten gilt:
T T
T T
( λ A) = λA
, (A ⋅ B) = B ⋅
A
T
Hinweis: Das Produkt zweier Matrizen kann die Nullmatrix sein, ohne dass einer der beiden
Faktoren die Nullmatrix ist.
⎛ 2
⎜
⎝ − 3
− 4
6
⎛
6⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜
− 9⎠
⎜
⎝
3
4
2
1
3
6
− 3
2
4
5⎞
⎟ ⎛ 2
0⎟
= ⎜
⎟ ⎝ − 3
− 4⎠
− 4
6
⎛
6⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜
− 9⎠
⎜
⎝
1
3
2
2
− 4
1
0
− 4
−1
0⎞
⎟
5⎟
1⎟
⎠
daraus folgt mit dem Distributivgesetz für die Matrizenmultiplikation

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 33
⎛ 2
⎜
⎝ − 3
− 4
6
⎡⎛
6⎞
⎢⎜
⎟ ⋅
⎢⎜
− 9⎠
⎢⎜
⎣⎝
3
4
2
1
3
6
− 3
2
4
5⎞
⎛
⎟ ⎜
0⎟
− ⎜
− 4⎟
⎜
⎠ ⎝
1
3
2
2
− 4
1
0
− 4
−1
0⎞⎤
⎟⎥
⎛0
5⎟⎥
= ⎜
⎟⎥
⎝0
1⎠⎦
0
0
0⎞
⎟
0⎠
oder
⎛ 2
⎜
⎝ − 3
− 4
6
⎛2
6⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜ 1
− 9⎠
⎜
⎝0
−1
7
5
− 3
6
5
5⎞
⎟ ⎛0
− 5⎟
= ⎜
− ⎟ ⎝0
5⎠
0
0
0⎞
⎟
0⎠
Dieses Beispiel zeigt, dass es nicht möglich ist, generell eine Division für Matrizen zu erklären,
denn dann könnten wir in der Gleichung
⎛ 2
⎜
⎝ − 3
− 4
6
⎛
6⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜
− 9⎠
⎜
⎝
3
4
2
1
3
6
− 3
2
4
5⎞
⎟ ⎛ 2
0⎟
= ⎜
⎟ ⎝ − 3
− 4⎠
− 4
6
⎛
6⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜
− 9⎠
⎜
⎝
1
3
2
2
− 4
1
0
− 4
−1
0⎞
⎟
5⎟
1⎟
⎠
durch die von der Nullmatrix verschiedene Matrix
⎛ 2
⎜
⎝ − 3
− 4
6
6⎞
⎟
− 9⎠
dividieren, was offensichtlich zu einem Widerspruch führen würde.
3.1 Die inverse Matrix
Wir betrachten zunächst das lineare Gleichungssystem
x
2x
1
1
+ 3x
+ 7x
2
2
= a
= a
1
2
a 1 , a 2 ∈ R gegeben. In Matrizenschreibweise lässt sich das Gleichungssystem mit Einführung
von
⎛1
A = ⎜
⎝2
3⎞
⎟,
7⎠
⎛ x
x = ⎜
⎝ x
1
2
⎞
⎟,
⎠
⎛ a
a = ⎜
⎝a
1
2
⎞
⎟
⎠
in der Form
A ⋅ x =
a
schreiben. Die Lösung lautet:

34
x
x
1
2
= 7a
1
= −2a
− 3a
1
2
+ a
2
die mit
⎛ 7
X = ⎜
⎝−
2
− 3⎞
⎟
1⎠
die Gestalt
x = X ⋅ a
annimmt. Also haben wir einerseits
A ⋅ x = A ⋅ X ⋅ a = a
und andererseits
so dass offenbar
A ⋅ X das a und X ⋅ A das x beim Multiplizieren reproduziert. Durch Ausrechnen
bestätigen wir sofort:
x = X ⋅ a = X ⋅ A ⋅ x
⎛1
A ⋅ X = X ⋅ A = I = ⎜
⎝0
0⎞
⎟
1⎠
Definition 3-16
Die quadratische
von A. Dabei ist A eine reguläre
Wir schreiben:
m × m Matrix X mit der Eigenschaft X ⋅ A = A ⋅ X = I heißt inverse Matrix
m × m Matrix und I die m × m Einheitsmatrix.
X = A
−1
Definition 3-17
Die Inverse A -1 der Matrix A kann aus der Definitionsgleichung
A ⋅ A
−1
= A
−1
⋅ A = I
berechnet werden.
Beispiel 3-2
Für n = 3 und X = A -1 gilt:

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 35
⎛ a
⎜
⎜a
⎜
⎝a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
⎞ ⎛ x
⎟ ⎜
⎟ ⋅⎜
x
⎟ ⎜
⎠ ⎝ x
11
21
31
x
x
x
12
22
32
x
x
x
13
23
33
⎞ ⎛1
⎟ ⎜
⎟ = ⎜0
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
0
1
0
0⎞
⎟
0⎟
1⎟
⎠
Der obigen Gleichung entsprechen 3 lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung der Koeffizienten
x ij von A -1 :
a
a
a
11
21
31
x
x
x
11
11
11
+ a
+ a
+ a
12
22
32
x
x
x
21
21
21
+ a
+ a
+ a
13
23
33
x
x
x
31
31
31
= 1
= 0
= 0
a
a
a
11
21
31
x
x
x
12
12
12
+ a
+ a
+ a
12
22
32
x
x
x
22
22
22
+ a
+ a
+ a
13
23
33
x
x
x
32
32
32
= 0
= 1
= 0
a
a
a
11
21
31
x
x
x
13
13
13
+ a
+ a
+ a
12
22
32
x
c
x
23
23
23
+ a
+ a
+ a
13
23
33
x
x
x
33
33
33
= 0
= 0
= 1
Satz 3-5
Die Inverse einer oberen (unteren) Dreiecksmatrix ist wieder eine obere (untere) Dreiecksmatrix.
Beispiel 3-3 (obere Dreiecksmatrix, n = 3):
Aus der obigen Gleichung folgt
a
11
x
11
+ a
a
12
22
x
x
21
21
+ a
+ a
a
13
23
33
x
x
x
31
31
31
= 1
= 0
= 0
a
11
x
12
+ a
a
12
22
x
x
22
22
+ a
+ a
a
13
23
33
x
x
x
32
32
32
= 0
= 1
= 0
a
11
x
13
+ a
a
12
22
x
x
23
23
+ a
+ a
a
13
23
33
x
x
x
33
33
33
= 0
= 0
= 1
und durch rekursive Auflösung
x
x
x
31
21
11
= 0
= 0
=
1
a
11
x
x
x
32
22
12
= 0
1
=
a
22
a
= −
a
12
11
x
22
x
x
x
33
23
13
1
=
a
33
a
= −
a
1
= −
a
23
22
11
x
33
( a x + a x )
13
33
12
23
also
A
−1
⎛ x11
⎜
= ⎜ 0
⎜
⎝ 0
x
x
12
22
0
x
x
x
13
23
33
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

36
Besonders einfach ist die Invertierung einer Diagonalmatrix. Aus
⎛a11
0 0 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 a
22
0 ⎟ folgt
⎜
⎟
⎝ 0 0 a
33 ⎠
A
−1
=
⎛ 1
⎜
⎜ a11
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜
0
⎝
0
1
a
22
0
0
0
1
a
33
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Satz 3-6
Es gilt:
−
T 1 −1
a) ( A ) = ( A ) T
−1
−1
b) ( A ) = A
c)
(A ⋅ B)
−1
= B
−1
⋅ A
−1
−1
1
λ
−1
d) ( λA) = A , λ ≠ 0
e)
−
A 1 =
1
A
Satz 3-7
Die inverse Matrix A -1 einer regulären
m × m Matrix A berechnet sich folgendermaßen:
A
−1
=
1
A
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
+ A
− A
+ A
⋮
11
12
13
− A
+ A
− A
⋮
21
22
23
+ A
− A
+ A
( −1)
( −1)
( −1)
m+
1
m+
2
m+
3
( ) ⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ 1+
m
−1
A1m
⋯ ⋯ ⋯ A
mm ⎠
⋮
31
32
33
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮
A
A
A
11
11
11
⎞
Satz 3-8
Eine quadratische
m × m Matrix A besitzt dann und nur dann eine Inverse, wenn
a) ihre Determinante von Null verschieden ist,
b) der Rang von A gleich m ist,
c) A regulär ist,
d) die Spalten und Zeilen von A eine Basis im R n bilden.

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 37
4 Determinanten
Definition 4-1
Eine n-reihige Determinante 1 ist eine Zahl, die aus gegebenen n 2 Zahlen a ik nach einer noch
zu bestimmenden Vorschrift gebildet wird.
D = det(a
ik
) =
a
ik
=
a
a
a
a
11
21
⋯
a
i1
⋯
n1
a
a
a
a
12
22
⋯
i2
⋯
n2
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
a
a
1k
2k
⋯
ik
⋯
nk
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
a
a
1n
2n
⋯
in
⋯
nn
Zeilen und Spalten heißen allgemein Reihen.
Definition 4-2 (Rechenvorschrift zur Bestimmung der Determinante)
Im Fall n = 1 wird det( a11)
= a11
= a11
Für die Fälle n = 2, 3, 4,... wird der Begriff der n-reihigen Determinante durch die Vorschrift
a
a
11
21
⋯
a
n1
a
a
12
22
⋯
a
n2
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
1n
2n
⋯
a
nn
= a
11
a
22
a
32
⋅
⋯
a
n2
a
a
23
33
⋯
a
n3
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
2n
3n
⋯
a
nn
− a
12
a
a
21
a
31
⋅
⋯
n1
a
a
a
23
33
⋯
n3
a
a
a
24
34
⋯
n4
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
a
2n
3n
⋯
nn
+
+ a
13
a
a
21
a
31
⋅
⋯
n1
a
a
a
22
32
n 2
a
a
a
24
34
⋯ ⋯
n4
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
2n
a
3n
− + ⋯+
( −1)
⋯
nn
n+
1
a
1n
a
a
21
a
31
⋅
⋯
auf den Begriff der (n-1)-reihigen Determinante oder auch Unterdeterminante zurückgeführt.
n1
a
a
a
22
32
⋯
n 2
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
a
2,n−1
3,n−1
⋯
n,n−1
Beispiel 4-1 (n = 2):
a
c
b
d
= a ⋅ d
− b⋅
c
= ad − bc
1 Gottfried Wilhelm Leibniz, deutsch. Mathematiker und Philosoph, 1646-1716

38
Definition 4-3
Entfernen wir aus dem Zahlenschema |a ik | die i-te Zeile und die k-te Spalte und rücken die
verbleibenden Elemente wieder zu einer Determinante zusammen, so entsteht die zum Element
a ik gehörige Unterdeterminante D ik . Sie ist von der Ordnung n-1.
Beispiel 4-2 (n = 3):
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
⇒
D
21
=
a
a
12
32
a
a
13
33
Aus den n 2 Elementen einer n-reihigen Determinante lassen sich n 2 Unterdeterminanten der
Ordnung n-1 bilden.
Definition 4-4
Unter dem Rang einer Matrix versteht man die höchste Ordnung, die deren nicht verschwindende
Unterdeterminanten haben können.
Hinweis: Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, sind alle Unterdeterminanten der Ordnung
l zu betrachten, wobei l entweder die kleinere der beiden Zahlen m und n für m ≠ n
oder l = m = n ist. Ist wenigstens eine dieser Determinanten ≠ 0, so ist der Rang der Matrix A
gleich l. Verschwinden sie jedoch alle, dann sind die Unterdeterminanten l - 1 zu betrachten
usw. In der praktischen Anwendung ist es jedoch besser, umgekehrt zu verfahren, d.h., von
Unterdeterminanten geringerer Ordnung zu denen höherer Ordnung überzugehen, und dabei
folgende Regel zu beachten: Hat man eine nicht verschwindende Unterdeterminante k-ter
Ordnung gefunden, so sind nur noch die Unterdeterminanten der Ordnung (k + 1) zu betrachten,
sich durch Ränderung von D k ergeben
D k
…
⋮
…
⋮
…
D
k
…
…
D
k
…
⋮
⋯
⋮
⋯
D
k
Sind dann alle diese Unterdeterminanten der Ordnung (k + 1) gleich Null, dann ist der Rang
der Matrix gleich k.

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 39
Beispiel 4-3
Gesucht wird der Rang der Matrix
⎛2
⎜
⎜ 1
A =
⎜0
⎜
⎝4
− 4
− 2
1
− 7
3
1
−1
4
1
− 4
3
− 4
0⎞
⎟
2⎟
1⎟
⎟
5
⎠
Die Matrix A enthält in der oberen linken Ecke eine Unterdeterminante zweiter Ordnung
2 − 4
D 2
= = 0 . Es existiert jedoch eine Unterdeterminante zweiter Ordnung, die nicht verschwindet:
D 2
1 − 2
′ − 4 3
= = 2 ≠ 0 . Rändern dieser Unterdeterminante links und unten liefert:
− 2 1
D 3
2 − 4 3
= 1 − 2 1 = 1 ≠ 0 . Durch Rändern von D 3 erhalten wir 1
0 1 −1
2 − 4 3 1
2 − 4 3 0
1 − 2 1 − 4
′ 1 − 2 1 2
D 4
= = 0 und D 4
=
= 0
0 1 −1
3
0 1 −1
1
4 − 7 4 − 4
4 − 7 4 5
Somit ist der Rang von A gleich 3
Definition 4-5
Es existieren 2n Möglichkeiten zur Berechnung einer n-reihigen Determinante. Entwicklung
nach den Elementen der i-ten Zeile (= n Möglichkeiten)
n
D = ∑(
−1)
k=
1
i+
k
a
ik
D
ik
1 ≤ i ≤ n
Entwicklung nach den Elementen der k-ten Spalte (= n Möglichkeiten)
n
D = ∑(
−1)
i=
1
i+
k
a
ik
D
ik
1 ≤ k ≤ n
1 das ist nur auf zwei verschiedene Arten möglich

40
Beispiel 4-4 (n = 3): Entwicklung nach der ersten Zeile
D =
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
= a
11
a
⋅
a
22
32
a
a
23
33
− a
12
a
⋅
a
21
31
a
a
23
33
+ a
13
a
⋅
a
21
31
a
a
22
32
= a
11
a
22
a
33
− a
11
a
23
a
32
− a
12
a
21
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
13
a
22
a
31
+
−
+
−
Schachbrettregel für das Vorzeichen:
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
−
+
Hinweis: In den folgenden Sätzen kann das Wort Reihe sowohl durch das Wort Zeile als auch
durch das Wort Spalte ersetzt werden.
Satz 4-1
Eine Determinante ändert ihren Wert nicht bei Vertauschung ihrer Zeilen mit ihren Spalten
(Spiegelung an der Hauptdiagonalen)
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
=
a
a
a
11
12
13
a
a
a
21
22
23
a
a
a
31
32
33
Satz 4-2
Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen bei Vertauschung zweier paralleler Reihen.
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
a
= − a
a
11
31
21
a
a
a
12
32
22
a
a
a
13
33
23
Satz 4-3
Wenn die Elemente der k-ten Reihe einer Determinante D Summen von zwei Summanden
sind, so lässt sich D als Summe zweier Determinanten darstellen, deren Elemente in der ent-

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 41
sprechenden k-ten Reihe jene Summanden sind und in den übrigen Reihen mit D übereinstimmen.
c
c
c
c
11
21
31
41
c
c
c
c
12
22
32
42
a
a
a
a
1
2
3
4
+ b
1
+ b
+ b
+ b
2
3
4
c
c
c
c
14
24
34
44
=
c
c
c
c
11
21
31
41
c
c
c
c
12
22
32
42
a
a
a
a
1
2
3
4
c
c
c
c
14
24
34
44
+
c
c
c
c
11
21
31
41
c
c
c
c
12
22
32
42
b
b
b
b
1
2
3
4
c
c
c
c
14
24
34
44
Satz 4-4
Ein den Elementen einer Reihe gemeinsamer Faktor darf vor die Determinante gezogen werden.
a
a
a
11
21
31
λa
λa
λa
12
22
32
a
a
a
13
23
33
a
= λ ⋅ a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
23
33
Satz 4-5
Sind die Elemente einer Reihe lauter Nullen, so hat die Determinante den Wert Null.
a
a
11
0
31
a
a
12
0
32
a
a
13
0
33
= 0
Satz 4-6
Sind die Elemente zweier paralleler Reihen zueinander proportional, oder stimmen zwei Reihen
überein, so hat die Determinante den Wert Null.
a
a
a
11
21
31
λa
λa
λa
11
21
31
a
a
a
13
23
33
= 0
a
a
a
11
21
21
a
a
a
12
22
22
a
a
a
13
23
23
= 0
Satz 4-7
Sind A und B beliebige quadratische n-reihige Matrizen, so gilt:
A ⋅ B =
A
B
Beispiel 4-5
Berechnung der Determinante einer oberen Dreiecksmatrix

42
a
11
0
0
a
a
12
22
0
a
a
a
13
23
33
= a
11
a
22
0
a
a
23
33
= a
11
a
22
a
33
= a
11
a
22
a
33
Satz 4-8
Besitzt eine n-reihige Determinante obere oder untere Dreiecksgestalt, so errechnet sich die
Determinante aus dem Produkt der Hauptdiagonalglieder:
D = det(a
) =
n
∏
ik
a ii
i=
1
5 Lineare Gleichungssysteme
Definition 5-1
Unter einem linearen Gleichungssystem (LGS) verstehen wir m lineare Gleichungen, in denen
n Unbekannte x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n auftreten. Hierbei sind die Koeffizienten a
ij
(i = 1...m, j =
1...n) und die Absolutglieder der rechten Seite
b i
= i = 1, …,
m gegeben.
Mit den Vektoren
a
1
a
a
⋮
a
11
12
m1
x
x
1
x
1
1
⎛ a
⎜
= ⎜ ⋮
⎜
⎝a
11
m1
+ a
+ a
12
+ a
22
x
x
m2
2
2
x
⎞
⎟
⎟,
…,a
⎟
⎠
+ … + a
n
+ … + a
2
1n
2n
+ … + a
⎛ a
⎜
= ⎜ ⋮
⎜
⎝a
1n
mn
x
x
mn
n
n
x
= b
n
1
= b
2
= b
m
⎞ ⎛ b
⎟ ⎜
⎟,
…,b
= ⎜ ⋮
⎟ ⎜
⎠ ⎝b
1
m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
erhalten wir die vektorielle Darstellung des LGS
a1 x1
+ a
2x
2
+ … + a
nx
n
= b
Mit A = ( a , ,a )
1
⎛ a11
a12
⋯ a1n
⎞
⎜
⎟
⎜ a
21
a
22
⋯ a
2n ⎟
…
n
= ⎜
⎟ und
⋮ ⋮ ⋮
⎜
⎟
⎝a
m1
a
m2
⋯ a
mn ⎠
⎛ x1
⎞
⎜ ⎟
⎜ x
2 ⎟
x = ⎜ ⋮ ⎟
⎜ ⎟
⎝ x
m ⎠

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 43
folgt die Matrixdarstellung des LGS
A ⋅ x =
b
Ein LGS heißt homogen, wenn b = b = … = b 0 sind. Andernfalls heißt es inhomogen.
1 2
m
=
Beispiel 5-1 (Inhomogenes LGS mit 3 Gleichungen für 3 Unbekannte x 1 , x 2 , x 3 )
4x
2x
x
1
1
1
+
−
+
3x
x
2x
2
2
2
−
+
−
x
x
2x
3
3
3
=
=
=
−1
5
− 5
mit
⎛4
⎜
A = ⎜2
⎜
⎝ 1
3
−1
2
−1⎞
⎟
1⎟;
− 2⎟
⎠
⎛ x
⎜
x = ⎜ x
⎜
⎝ x
1
2
3
⎞
⎟
⎟;
⎟
⎠
⎛ b
⎜
b = ⎜b
⎜
⎝ b
1
2
3
⎞ ⎛ −1⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎟ = ⎜ 5⎟
.
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝−
5⎠
Definition 5-2
Ein Zahlentupel ( xˆ
1,
xˆ
2
,…,
xˆ
n
)
n
∈ R , welches alle m Gleichungen des LGS erfüllt, heißt
Lösung des LGS. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge des LGS.
Satz 5-1
Bei homogenen LGS ist jedes Vielfache der Lösung wieder eine Lösung.
Satz 5-2
Ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten besitzt bei regulärer Koeffizientenmatrix
genau eine Lösung.
Satz 5-3
Ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten besitzt bei regulärer Koeffizientenmatrix
nur die triviale Lösung x = x = … = x 0 .
1 2
n
=

44
Satz 5-4 (Die Cramersche Regel)
Gegeben sei ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten mit einer regulärer
Koeffizientenmatrix in der vektoriellen Darstellung
a1 x1
+ a
2x
2
+ … + a
nx
n
= b ,
dann hat der Lösungsvektor die Komponenten
x
a ,…,a
,b,a
,…,a
1 k−1
k+
1 n
k
=
=
a1,a
2,
…,a
k
,…,a
n
A
k
A
, k = 1,2, …,n.
wobei |A| die Determinante von A und |A k | diejenige Determinante ist, die aus A entsteht,
wenn wir in A die k-te Spalte durch die Spalte der rechten Seite ersetzten 1 .
4x
2x
x
1
1
1
+
−
+
3x
x
2x
2
2
2
−
+
−
x
x
2x
3
3
3
=
=
=
−1
5
− 5
−1
3 −1
4 −1
−1
D 1
= 5 −1
1 = 10
= 2 5 1 = −10
− 5 2 − 2
1 − 5 − 2
4 3 −1
4 3 −1
D 3
= 2 −1
5 = 20
D = 2 −1
1 = 10
1 2 − 5
1 2 − 2
D 2
D1
10 D
2 −10
D3
20
x1 = = = 1; x
2
= = = −1;
x
3
= = = 2
D 10
D 10
D 10
Definition 5-3
Zwei Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.
1 Gabriel Cramer, schweizer. Mathematiker, 1704-1752

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 45
Satz 5-5
Zwei LGS sind genau dann äquivalent, wenn sie sich durch
a) Vertauschen zweier Gleichungen (Zeilen) miteinander,
b) Multiplikation einer Gleichung (Zeile) mit einer reellen Zahl α ≠ 0 ,
c) Addition des Vielfachen einer Gleichung (Zeile) zu einer anderen Gleichung (Zeile)
ineinander überführen lassen.
Gaußscher Algorithmus
Ein LGS wird durch äquivalente Umformungen auf Dreiecksgestalt gebracht. Dieses äquivalente
Gleichungssystem lässt sich rekursiv lösen.
Satz 5-6
Ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten besitzt genau dann nichttriviale
Lösungen, wenn der Rang r der Koeffizientenmatrix kleiner als n ist. Die Lösungsmenge enthält
n-r freie Parameter. Sie hat die Dimension n-r.
Satz 5-7
Ein inhomogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten und Rang von A gleich
besitzt nur dann Lösungen, wenn der Rang von ( A b)
auch gleich r ist.
r < n
Satz 5-8
Ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannten hat genau dann mindestens eine Lösung,
wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A und der Rang der erweiterten Matrix ( A b)
übereinstimmen.
Definition 5-4
Für ein homogenes LGS von n Gleichungen mit n Unbekannten heißt jede Zahl λ i , für die die
Gleichung
( A − λE) ⋅ x = 0
nichttriviale Lösungen besitzt, Eigenwert von A. Notwendige Bedingung dafür ist

46
A − λE
= 0 ,
oder:
a
11
a
a
− λ
21
⋯
n1
a
a
22
a
12
⋯
− λ
n2
⋯
⋯
⋯
⋯
a
a
a
nn
1n
2n
⋯
− λ
= 0
Die nichttrivialen Lösungen x des homogenen Gleichungssystems ( A λE) ⋅ x = 0
− können bei
bekannten Eigenwerten λ i
(i = 1, n) berechnet werden. Sie werden Eigenvektoren x i der
Matrix A zum Eigenwert λ
i
genannt. Der k-te Eigenvektor genügt der Gleichung
Beispiel 5-2 (n = 3)
( A − λ E) ⋅ x 0
k k
=
a
a
a
11
21
31
− λ
a
a
a
12
22
32
− λ
a
a
a
13
23
33
− λ
= 0
Ausmultiplizieren führt auf die charakteristische Gleichung von A:
3 2
λ − A1λ
+ A
2
λ − A
3
= 0
mit den Invarianten
3
3
1
= ∑a
kk
; A
2
= ∑
2
( a a − a a );
A A
A1 jj kk jk kj 3
=
k=
1
j,k=
1
Beispiel 5-3 (n = 2)
a
a
11
21
− λ
a
a
12
22
− λ
= 0
Ausmultiplizieren liefert die quadratische Gleichung:
2
λ −
( + a ) λ + ( a a − a a ) = 0
a11
22 11 22 21 12

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Satz 5-9
Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix A (A = A T ) sind reell.
Beispiel 5-4
⎛3
Gesucht sind die Eigenwerte der symmetrischen Matrix A = ⎜
⎝2
2
Das charakteristische Polynom: λ − 6λ + 5 = 0
hat die Lösungen: λ = ; λ 5 . Das sind die Eigenwerte von A.
1
1 2
=
2⎞
⎟
3⎠
Beispiel 5-5
⎛3
2⎞
Gesucht sind die Eigenvektoren der Matrix A = ⎜ ⎟ .
⎝2
3⎠
Die Eigenwerte sind λ 1
= 1;
λ 2
= 5 . Für den ersten Eigenwert λ
1
= 1 ergibt sich folgendes
Gleichungssystem
⎡⎛
3
⎢⎜
⎣⎝
2
2⎞
⎟ − λ
3⎠
1
⎛1
⎜
⎝0
0⎞⎤
⎛ x
⎟⎥ ⋅⎜
1⎠⎦
⎝ x
1
2
⎞
⎟ = 0
⎠
also
⎛3
−1
⎜
⎝ 2
2x
2x
1
1
+ 2x
+ 2x
2 ⎞ ⎛ x
⎟ ⋅⎜
3 −1⎠
⎝ x
2
2
= 0
= 0
1
2
⎞
⎟ = 0
⎠
⎛ 1⎞
Wir wählen x 1
= t ∈ R, dann folgt x 2
= −t
. Damit ist jeder Vektor x 1 = t⎜
⎟ Eigenvektor
⎝−1⎠
zu λ
1
= 1. Für den zweiten Eigenwert λ
2
= 5 erhalten wir entsprechend
⎡⎛
3
⎢⎜
⎣⎝
2
2⎞
⎟ − λ
3⎠
2
⎛1
⎜
⎝0
0⎞⎤
⎛ x
⎟⎥ ⋅ ⎜
1⎠⎦
⎝ x
1
2
⎞
⎟ = 0
⎠
also
⎛3
− 5
⎜
⎝ 2
− 2x
2x
1
1
2 ⎞ ⎛ x
⎟ ⋅ ⎜
3 − 5⎠
⎝ x
+ 2x
− 2x
2
2
= 0
= 0
1
2
⎞
⎟ = 0
⎠

48
⎛1⎞
Mit x 1
= s beliebig reell folgt x 2
= s . Damit ist jeder Vektor x 2 = s⎜
⎟ Eigenvektor zu
⎝ 1 ⎠
λ
2
= 5. Die auf den Betrag 1 normierten Eigenvektoren sind:
=
1 ⎛ 1⎞
⎜ ⎟;
2 ⎝ −1⎠
e
e1
2
=
1 ⎛1⎞
⎜ ⎟
2 ⎝1⎠
Satz 5-10
Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind orthogonal.
Definition 5-5
Die n unabhängigen Eigenvektoren x i lassen sich in folgender Reihenfolge zu der regulären
Matrix
X = e ,e ,…,
,
( )
1 2
e
n
die Eigenvektormatrix oder auch Modalmatrix genannt wird, zusammenfassen.
Definition 5-6
Für die Modalmatrix gilt:
−
X 1
⋅ A ⋅ X = Λ , wobei
⎛λ1
⎜
⎜ 0
Λ = ⎜…
⎜
⎝ 0
0
λ
2
…
0
…
…
λ
n−1
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
λ
n ⎠
= Diag
( λ )
ii
Diagonalmatrix der Eigenwerte genannt wird.
⎛ 1 1 ⎞
⎛3
2⎞
1 ⎛ 1⎞
1 ⎛1⎞
1 ⎛ 1 1⎞
⎜ − ⎟
−1
⎡1
−1⎤
A = ⎜ ⎟ ; e1 = ⎜ ⎟;
e
2
= ⎜ ⎟ ; X = ⎜ ⎟;
X = 2⎜
2 2 ⎟ =
⎝2
3⎠
2 ⎝−1⎠
2 ⎝1
⎢ ⎥ ;
⎠ 2 ⎝−1
1⎠
⎜ 1 1
⎟ ⎣1
1 ⎦
⎝ 2 2 ⎠
X
−1
⎛1
⋅ A ⋅ X = Λ = ⎜
⎝0
0⎞
⎛λ1
⎟ = ⎜
5⎠
⎝ 0
0 ⎞
⎟
λ
2 ⎠

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 49
6 Analysis
Definition 6-1
Unter einer Funktion f verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Element x einer gegebenen
Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet. D heißt Definitionsbereich und
W heißt Wertebereich. Schreibweise: f : D → Wmity = f (x)
Definition 6-2
Es sei f : D → W eine Funktion.
a) f ist geradsymmetrisch, wenn f(-x) = f(x) für alle x ∈ D gilt.
b) f ist ungeradsymmetrisch (punktsymmetrisch zum Ursprung), wenn f(-x) = -f(x) für alle
x ∈ D gilt.
Definition 6-3
Es ist I ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f:
I → W heißt
a) monoton wachsend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) ist
b) streng monoton wachsend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) < f(x 2 ) ist,
c) monoton fallend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) ist,
d) streng monoton fallend in I, wenn für alle x 1 < x 2 aus I gilt, dass f(x 1 ) > f(x 2 ) ist.
Definition 6-4
Es ist I ⊆ R ein Intervall. Eine Funktion f:
I → W heißt
a) konvex in I, wenn ihr Graph mit größer werdenden x-Werten eine Linkskurve beschreibt,
b) konkav in I, wenn ihr Graph mit größer werdenden x-Werten eine Rechtskurve beschreibt
Definition 6-5
1
Die Umkehrfunktion (inverse Funktion) f − ordnet jedem Element f(x) des Wertebereiches
W das Element x des Definitionsbereiches D zu.

50
Satz 6-1
Jede streng monotone Funktion besitzt eine Umkehrfunktion
Definition 6-6
Eine Funktion der Form
f (x) = a
… + , a n
≠ 0 ,
2
n
0
+ a1x
+ a
2x
+ a
n
x
mit a i ∈ R,
i = 0,1, …,
n , fest, heißt ganze rationale Funktion oder Polynom vom
Gerade n.
Satz 6-2
Ein Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen, d.h. Lösungen der Gleichung f (x) = 0 . Ist
n ungerade, dann gibt es mindestens eine reelle Nullstelle.
Definition 6-7
Ist g(x) ein Polynom vom Grade n und h(x) ein Polynom vom Grade m > 0, dann heißt die
Funktion
2
n
a
0
+ a1x
+ a
2x
+ … + a
n
x g(x)
f (x) =
=
2
m
b + b x + b x + … + b x h(x)
0
1
2
m
eine gebrochen rationale Funktion.
Satz 6-3
Der größtmögliche Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion ist
D max = R\{x|h(x) = 0}
Definition 6-8
Nullstellen des Nenners einer gebrochen rationalen Funktion, die nicht gleichzeitig Nullstellen
des Zählers sind, heißen Pole.

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 51
Definition 6-9
Die Funktion
x
f (x) = e heißt Exponentialfunktion. Sie ist auf R definiert und
e = 2,718281... ist die Eulersche Zahl.
Definition 6-10
Die Umkehrfunktion von e x wird mit f (x) = ln x bezeichnet. Sie heißt (natürliche) Logarithmusfunktion
und ist für x > 0 definiert.
Satz 6-4
1
und a ∈ R, dann gilt:
Es sei ∈ ( 0, ∞) , x ∈ ( 0, ∞) , x ∈ ( 0,
∞)
x
2
a) ln( x1x
2
) = ln x1
+ ln x
2
⎛ x1
⎞
b) ln
⎜ = ln x1
− ln x
2
x
⎟
⎝ 2 ⎠
c) ln( x
a ) = a ln x
Definition 6-11
Der Sinus eines Winkels x wird am rechtwinkligen Dreieck erklärt als das Verhältnis von
Gegenkathete zu Hypotenuse. Der Kosinus von x ist das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse
sin x =
cos x =
g
h
a
h
Am Einheitskreis werden diese Funktionen auf beliebige (im Bogenmaß gemessene) Winkel
ausgedehnt.

52
Beide Funktionen haben die Periode 2 π. Der Definitionsbereich ist R und der Wertebereich
ist [-1,1]. Es gilt:
a) sin( − x) = −sin
x b) cos( − x) = cos(x)
2
2
⎛ π ⎞
c) sin x + cos x = 1 d) cos ⎜ x − ⎟ = sin x
⎝ 2 ⎠
Definition 6-12
sin x
⎛ 1 ⎞
tan x = für alle x ≠ ⎜k
+ ⎟π
,
cos x
⎝ 2 ⎠
cos x
cot x = für alle x ≠ kπ
, k = … −1,0, 1…
sin x
6.1 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen
Definition 6-13
Gegeben ist eine Funktion f : D → W . Wenn bei der Annäherung von x gegen x 0 die Funktionswerte
einem Wert g beliebig nahe kommen, dann heißt g der Grenzwert von y = f (x)
für
x gegen x 0 . Wir schreiben dann
Definition 6-14
lim f (x) = g .
x→
x 0
f (x) hat für x → ∞ ( x → −∞)
den Grenzwert G, wenn es für jedes ε > 0 einen Wert x
ε
gibt,
so dass für alle > x ( x x )
Definition 6-15
x gilt, dass f (x) − G < ε ist.
ε
<
ε
f(x) hat den Grenzwert g an der Stelle x
0
, wenn zu jedem ε > 0 ein δ
ε
derart existiert, dass
f (x) − g < ε für alle x mit x − x 0
< δε
erfüllt ist.

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 53
Definition 6-16
Es sei
f : D → W eine Funktion und x 0
∈ D . Die Funktion f heißt stetig in x 0 , wenn
a) lim f (x)
x→x 0
existiert und
b) lim f (x) = f ( x )
x→x
0
0
Die Funktion heißt stetig in D, wenn sie für alle
Satz 6-5
Für die elementaren Funktionen gilt:
- Polynome sind stetig,
- e x und ln x sind stetig,
- sin x und cos x sind stetig,
.
x 0
∈ D stetig ist.
- gebrochen rationale Funktionen sind stetig für alle x, für die das Nennerpolynom nicht
verschwindet.
Satz 6-6
Es sei die Funktion f : [ a,b] → W stetig und es sei f ( a) > 0 und f ( b) < 0 [oder ( a) 0
f ( b) > 0 ], dann existiert mindestens ein x 0
∈ ( a, b)
mit f ( x
0
) = 0 .
f < und
6.2 Ableitung von Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen
Definition 6-17
Sei I∈R ein Intervall und x 0
∈ I : Als Differenzenquotient von f bezeichnen wir den Ausdruck
Definition 6-18
f
( x) − f ( x )
x − x
0
0
für x ≠ x
0
Sei
I∈R ein Intervall und x 0
∈ I . Die Funktion f heißt differenzierbar in x 0 , wenn der
Grenzwert

54
x→x
( x) − f ( x )
f
lim
0 x − x
existiert. Dieser Grenzwert wird mit f ′( x 0
) bezeichnet und heißt Ableitung oder Differentialquotient
von f in x 0 . f heißt differenzierbar, falls f ′( x 0
) für alle x 0
∈ I existiert.
0
0
Ableitungen spezieller Funktionen
f ( x)
f ′( x)
f ( x)
f ′( x)
a = konst.
0
α
x
α x x
e
x
e
ln x
1
x
sin x
cos x
tan x
1
2
cos x
cos x
− sin x
cot x
1
−
2
sin x
arcsin x
1
1
arctan x
2
2
1−
x
1+
x
arccos x
−
1
1
arc cot x
−
2
2
1−
x
1+
x
sinh x
cosh x
tanh x
cosh x
sinh x
coth x
ar sinh x
ar cosh x
1
x
1
x
2 +
2 −
1
1
1
2
cosh x
1
−
2
sinh x
1
ar tanh x
2
1−
x
1
ar coth x
2
1−
x
Satz 6-7
Es sei
f : D → Wf
und : D Wg
g → . Existieren die Ableitungen f ′( x)
und ( x)
f
D, dann sind auch kf mit k ∈ Ñ, f ± g , fg und g
′
a) [ kf ( x)
] = kf ′( x)
′
b) [ f ( x) ± g( x)
] = f ′( x) ± g′
( x)
′
c) [ f ( x) g( x)
] = f ′( x) g( x) + f ( x) g′
( x)
′
⎡f
( x)
⎤ f ′ x g x − f x g′
x
d) ⎢
g( x)
⎥ =
⎣ ⎦ [ g( x)
] 2
( ) ( ) ( ) ( )
g′ für alle x aus
(für g ≠ 0 ) differenzierbar und es gilt:

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 55
Satz 6-8
Sind f(x) und g(x) differenzierbar und kann g(x) in f(x) eingesetzt werden, dann ist auch f(g(x))
differenzierbar und es gilt
Satz 6-9
Für die Ableitung der Umkehrfunktion
′
[ f ( g(x) )] = f ′( g(x) ) g′
( x)
1
f − an der Stelle
0
f ( x 0
)
−1
′
( f )( y )
0
1
=
f ′
( x )
0
y = gilt
Satz 6-10
Ist f differenzierbar in x 0 , dann ist f auch stetig in x 0 .
Definition 6-19
Ist f ′( x)
differenzierbar, dann heißt die Ableitung von f :[ f ′( x)
] = f ′′ ( x)
von f. Allgemein lässt sich schreiben
Satz 6-11
( n−1
[ ) ′ ( n
f ( x)
] = f )
( x) , n = 2,3, …
′
′
zweite Ableitung
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Es sei I ⊆ D ein Intervall und f differenzierbar
auf I. Dann gilt:
∈ ′ ist.
a) f ist genau dann monoton wachsend auf I, wenn für alle x I f ( x) ≥ 0
∈ ′ ist.
b) f ist genau dann monoton fallend auf I, wenn für alle x If ( x) ≤ 0
′ für alle x ∈ I bis auf endlich viele x, dann ist f streng monoton wachsend auf
c) Ist f ( x) > 0
I.
′ für alle x ∈ I bis auf endlich viele x, dann ist f streng monoton fallend auf I.
d) Ist f ( x) < 0
Satz 6-12
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Es sei I ⊆ D ein Intervall und f zweimal differenzierbar
auf I. Dann gilt:
a) f ist genau dann konvex auf I, wenn f ( x) > 0
b) f ist genau dann konkav auf I, wenn f ( x) < 0
′ für alle x ∈ I (Linkskurve).
′ für alle x ∈ I (Rechtskurve).

56
6.3 Spezielle Anwendungen der Differentialrechnung
Definition 6-20
Unter dem (totalen, vollständigen) Differential einer differenzierbaren Funktion
verstehen wir die Größe dy = f ′( x)dx
für beliebige Zahlen (Zuwächse) dx.
f : D →
W
Abb. 6-1 Linearer Zuwachs dy einer Funktion y(x)
Satz 6-13
(Regel von Bernoulli-L’Hospital)
Es sei
D ⊆ R ein Intervall und D
x 0
∈ . Es seien ,g : D \ { x } W
f
0
→ differenzierbare Funktionen.
Es gelte: lim f ( x) = 0,lim g( x) = 0,
oder lim f ( x) = ±∞,lim g( x) = ±∞
Ferner sei g ( x) ≠ 0
x→x0 x→x 0
x→x0 x→x 0
′ für x ∈ D . Existiert dann der Grenzwert von
existiert auch der Grenzwert von
f
g
( x)
( x)
für x → x
0
und es ist
f
lim
→x
g
( x)
( x)
f ′
= lim
x→
g
x 0 x 0 ′
( x)
( x)
f ′
g′
( x)
( x)
.
für x → x
0
, dann

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6.4 Extremwerte bei Funktionen einer Veränderlichen
Definition 6-21
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion. Ein Punkt x 0
∈ D heißt lokales (relatives)
Maximum (Hochpunkt) von f [lokales(relatives)Minimum(Tiefpunkt) von f], wenn es eine
Zahl h > 0 gibt mit
( x) f ( x 0
)
[ ( x) f ( )
f ≤ für alle x ∈ D mit − h < x < x h
x 0
x
0 0
+
f ≥ für alle x ∈ D mit − h < x < x h ]
x
0 0
+
Satz 6-14
Es sei
f : D → W eine Funktion, die an einer inneren Stelle x 0
∈ D differenzierbar ist. Wenn
f in x 0 einen Extremwert besitzt, dann gilt f ( x
0
) = 0
′ . (Notwendige Bedingung für ein Extremum)
Definition 6-22
Es sei
f : D → W eine differenzierbare Funktion, dann heißt jede Lösung der Gleichung
stationärer Punkt der Funktion f.
( x) 0
f ′ =
Satz 6-15
Es sei f : D → W eine differenzierbare Funktion.
a) (Notwendige Bedingung für einen inneren Extremwert)
Ist x
0
ein innerer Extremwert, dann gilt f ′( x
0
) = 0
b) (Hinreichende Bedingung für Hoch- oder Tiefpunkt)
(i) Es gilt f ( x
0
) = 0
( x) 0
( x) 0
′ und mit h > 0 gilt weiter
f ′ > für x
0
− h < x < x
0
und
f ′ < für < x < x h
x
0 0
+
dann hat f am Punkte x 0 einen Hochpunkt.
(ii) Es gilt f ( x
0
) = 0
( x) 0
′ und mit h > 0 gilt weiter
f ′ < für x
0
− h < x < x
0
und

58
( x) 0
f ′ > für < x < x h
x
0 0
+
dann hat f am Punkte x 0 einen Tiefpunkt.
c) (Hinreichende Bedingung für Hoch- oder Tiefpunkt)
Gilt f ′( x
0
) = 0 und f ′( x
0
) ≠ 0
′ , dann hat f an der Stelle x
0
(i) einen Hochpunkt (Maximum), wenn f ( x
0
) < 0
(ii) einen Tiefpunkt (Minimum), wenn f ( x
0
) > 0
′′
′′ ist.
Satz 6-16
Ist
f : D → W eine differenzierbare Funktion, die in D konkav (konvex) verläuft, und die einen
inneren Punkt
(Minimum).
x 0
∈ D mit f ′( x
0
) = 0 hat, dann besitzt f in x 0 ein globales Maximum
Definition 6-23
Ein Punkt, in dem eine Rechts- und eine Linkskurve (oder eine Links- und eine Rechtskurve)
ohne Knick ineinander übergehen, heißt Wendepunkt.
Satz 6-17
Es sei
Punkt
f : D → W eine mindestens dreimal differenzierbare Funktion. Gilt für einen inneren
x 0
∈ D f ( x
0
) = 0
′′ und f ′′ ( x
0
) ≠ 0
′ , so ist x 0 ein Wendepunkt von f.
6.5 Funktionen von mehreren Veränderlichen
Definition 6-24
Es sei n eine natürliche Zahl. Ist
D ⊆ R, dann heißt eine Vorschrift f : D → W , die jedem n-
dimensionalen Vektor x
mit n Veränderlichen (Variablen).
∈ D genau ein Element y ∈ W mit W ⊆
R zuordnet eine Funktion

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Definition 6-25
Es sei
D ⊆ R, und : D W
f → eine Funktion mit zwei Veränderlichen, y = f ( x , )
1
x 2
. Höhenlinien
oder Niveaulinien sind die geometrischen Orte aller Punkte (x 1 ,x 2 ), für die
konstant ist. Die Gleichung der Höhenlinie ist implizit gegeben durch
( x , x ) y 0
f
1 2
=
− .
y =
y
Definition 6-26
r
f(x) ist homogen vom Grade r, wenn gilt: f ( x) = λ f ( x) , λ > 0
λ .
Beispiel 6-1
2 2
2
2 2
( x) = f ( x , x ) = x , f ( λx) = f ( λx
, λx
) = ( λx
) + ( λx
) = f ( x)
f +
1 2 1
x
2
→ ,
1 2 1
2
λ
d.h. f(x) ist homogen vom Grade 2
6.6 Partielle Ableitungen
Definition 6-27
Es sei
D ⊆ R und f : D → W und x 0
∈ D . Für ein i, 1 ≤ i ≤ n heißt der Grenzwert (falls er
existiert)
lim
0i
x i −x
f
0 0
0 0 0 0 0
( x ,…,
x , x ,…
x ) − f ( x ,…,
x , x ,…
x )
1
i−1
i
n
x
i
− x
1
0
i
i−1
i
n
die i-te partielle Ableitung der Funktion im Punkte
0
x . Für diese Ableitung schreiben wir
∂f
oder f
x
, i = 1,2, …,
n . f heißt (partiell) differenzierbar, wenn f
i
x
für alle x 0 ∈ D und
i
∂x i
alle i = 1,2, …,
n existiert.

60
Definition 6-28
Eine (partiell) differenzierbare Funktion mit n Veränderlichen besitzt n partielle Ableitungen
(1. Ordnung). Jede dieser n partiellen Ableitungen ist wieder eine Funktion von n Veränderlichen.
Sind diese Funktionen wieder differenzierbar, dann können wieder partielle Ableitungen
(2. Ordnung, insgesamt n 2 ) gebildet werden. Analog können partielle Ableitungen 3., 4. und
höherer Ordnung gebildet werden.
Satz 6-18
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine Funktion mit z = f (x, y)
. f sei zweimal partiell differenzierbar.
Sind die Ableitungen f xy und f yx stetig, so gilt:
f
xy
(x, y) = f
yx
(x, y) für alle ( x,
y) ∈ D
Definition 6-29
Es sei
D ⊆ R und f : D → W mit y = f (x)
. Das vollständige (totale) Differential von f ist
gegeben durch
( x) = f
x
dx1
+ f
x
dx
2
+ f
x
dx
n
dy = df
…
+
1 2
n
6.7 Extremwerte bei Funktionen von mehreren Veränderlichen
Satz 6-19
Es sei
Wenn f in
D ⊆ R,
0
x ein innerer Punkt von D und
0
x einen Extremwert besitzt, dann gilt:
f
0
0
0
( x ) = f ( x ) = … = f ( x ) 0
x
x
x
=
1 2
n
(Notwendige Bedingung für ein relatives Extremum)
f : D → W sei partiell differenzierbar in
0
x .
Definition 6-30
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine partiell differenzierbare Funktion. Die Lösungen des Gleichungssystems
f
( x) = 0,f ( x) = 0, …,f
( x) 0
x
=
1 x2
xn

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heißen stationäre Punkte.
Satz 6-20
(Hinreichende Bedingung für einen relativen Extremwert im Fall n = 2)
Es sei D ⊆ R und f : D → W mit z = f (x, y)
eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen
2. Ordnung und ( , )
x sei ein innerer Punkt aus D. Gilt
0
y 0
a) f
x
( x
0
, y
0
) = 0 und f ( x
0
, y
0
) 0
f
xx
( x
0
, y
0
) f
xy
( x
0
, y0
)
b) ( , y0
):
=
f ( x , y ) f ( x , y )
y
= und
2
( x , y ) f ( x , y ) − f ( x , y ) 0
∆ x
0
= f
xx 0 0 yy 0 0 xy 0 0
> ,
dann hat f an der Stelle ( , )
yx
0
0
0
y 0
yy
0
0
x ein relatives Extremum.
Diese ist ein Maximum, falls f
xx
( x
0
, y
0
) < 0 ist und ein Minimum, falls f ( x
0
, y
0
) 0
Gilt dagegen a) und ∆ ( , y ) 0 , dann ist ( , )
x kein Extremum, sondern es liegt ein Sattelpunkt
vor.
x
0 0
<
0
y 0
xx
> ist.
Satz 6-21
(Hinreichende Bedingung für einen relativen Extremwert im Fall n > 2)
Es sei
f → mit y f ( x , x ,…,
)
D ⊆ R, : D W
= eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen
2. Ordnung und
1 2
x
n
0
x sei ein innerer Punkt aus D. Es gelte
0
0
0
x
x
x
=
1 2
n
a) f ( x ) = 0,f ( x ) = 0, …,f
( x ) 0
Gilt
0
b) ∆ ( x )
i
=
f
f
f
x x
1 1
x x
2 1
x x
i 1
0
0
0
( x ) f
x x
( x ) … f ( x )
1 2
x1xi
0
0
0
( x ) f ( x ) … f ( x )
⋮
x x
2
0
0
0
( x ) f ( x ) … f ( x )
x x
i
2
2
⋮
x x
2 i
x x
i
i
⋮
> 0
für alle
i = 1,2, …,
n , dann hat f an der Stelle
0
x ein Minimum.
c) Gilt ( 1) ∆ ( x ) > 0
i
i
0
− für alle i = 1,2, …,
n , dann hat f an der Stelle
0
d) Ist f
x i x i
( x ) < 0 und f
x x
( x ) 0
0
x keinen Extremwert.
0
( )
j
j
0
> , 1 ≤ i, j ≤ n , dann hat f an der Stelle
∆ heißt Determinante der Hesse-Matrix von f im Punkt
0
x .
n x
0
x ein Maximum.

62
6.8 Extremwerte bei Nebenbedingungen
Satz 6-22 (Lagrangesche Multiplikatorregel für n = 2)
Es sei
D ⊆ R und f : D → W eine partiell differenzierbare Funktion mit = f (x ,x ) und
y
1 2
die Nebenbedingung laute ( x , x ) 0
g
2
1
= .
Die notwendigen Bedingungen für relative Extremwerte von f unter der Nebenbedingung g
ergeben sich als stationäre Punkte der Lagrangefunktion
L
( λ , x , x ) = f ( x , x ) + λg( x , )
1 2 1 2
1
x
2
λ heißt Lagrangemultiplikator. Es muss also folgendes Gleichungssystem gelöst werden
L
λ
:
g( x1,
x
2
) = 0
L
x
:
f ( ) ( )
1
x
x1,
x
2
+ λg
x
x1,
x
2
= 0
1
1
L :
f x , x + λg
x , x =
x 2
x 2
( ) ( ) 0
1
2
x 2
1
2
Hinreichende Bedingungen:
Ist die Determinante der Hesse-Matrix von L am stationären Punkt positiv, so liegt ein Maximum
vor, ist sie negativ, dann liegt ein Minimum vor.
H =
L
L
L
λλ
x1λ
x 2λ
L
L
L
λx1
x1x1
x 2x1
Satz 6-23 (Lagrangesche Multiplikatorregel für n > 2)
Es sei
D ⊆ R und : D W
L
L
L
λx
2
x1x
2
x 2x
2
f → eine partiell differenzierbare Funktion mit f ( x)
m(< n) Nebenbedingungen lauten g ( x) 0,g ( x) = 0, ,g ( x) 0
1 2
m
=
y = und die
= … . Die notwendigen Bedingungen
für relative Extremwerte von f unter den m Nebenbedingungen ergeben sich als stationäre
Punkte der Lagrangefunktion
L
( λ , x) = f ( x) + λ g ( x)
Zur Bestimmung der hinreichenden Bedingungen sind die Unterdeterminanten entlang der
Hauptdiagonalen -beginnend mit der Ordnung 2m+1 - der Hesse Matrix von L.
m
∑
i=
1
i
i

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⎛ L
λ1
⎜
⎜ L
λ2
H = ⎜ ⋮
⎜
⎝L
x n
λ
λ
λ
1
1
1
L
L
L
λ λ
1 2
λ λ
2
⋮
x λ
an den stationären Punkten zu untersuchen.
m 1
Weisen die Unterdeterminanten alternierende Vorzeichen beginnend mit ( 1 ) +
n
2
2
…
…
…
− auf, so liegt
ein Maximum vor.
Weisen die Unterdeterminanten alle ein einheitliches Vorzeichen gegeben durch ( − 1) m
auf, so
liegt ein Minimum vor.
L
L
L
λ x
1 1
λ x
2 1
⋮
x x
n 1
…
…
…
L
L
L
λ x
1 n
λ x
2
⋮
n
n
x x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
6.9 Integralrechnung
Definition 6-31
Es seien in einem Intervall f ( x)
und F ( x)
gegeben. Es sei ( x)
dort stets
( x) f ( x)
F ′ = .
F dort differenzierbar und es sei
Dann heißt F ( x)
eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral von ( x)
mit
bezeichnet.
Satz 6-24
∫ f ( x)dx
, so hat jede an-
Ist in einem Intervall F ( x)
Stammfunktion (unbestimmtes Integral) von f ( x)
dere Stammfunktion von f ( x)
die Form F ( x)
+ C mit ∈
C R.
f und wird
Satz 6-25
n
∫∑
i=
1
n
∑ ∫
k
i
f
i(x)dx
= k
i
f
i(x)dx
= ∑ k
iF i(x)
+ C
i=
1
n
i=
1
Satz 6-26
1
α + 1
α
α+ 1
a) [ f ( x)
] f ′( x) dx = [ f ( x)
] + C, α ≠ −1
∫

64
b)
∫
f
f
′( x)
( x)
dx = ln f
( x) + C, f ( x) ≠ 0
Tabelle von Stammfunktionen
f ( x)
F ( x)
f ( x)
F ( x)
α
x 1 α+
x
1 + C ( α ≠ −1)
x
e
α + 1
1
x
e x + C
x
ln x
+ C,x ≠ 0
ln x ( ln x − 1) + C
sin x
− cos x + C tan x
− ln cos x + C
cos x
sin x + C
cot x
ln sin x + C
arcsin x x arcsin x + 1−
x
2 + C x
arccos x x arccosx − 1−
x
2 + C cot x
x
arctan arctan − ln( 1+
x
2 ) + C
cot
arc x arc x ( 1+
x
2 ) + C
x
1
2
1
+ ln
2
sinh x
cosh x + C tanh x
ln cosh x + C
cosh x
sinh x + C
coth x
ln sinh x + C
ar sinh x
2
xar sinh x − x + 1 + C tanh x
ar cosh x
2
xar cosh x − x −1
+ C coth x
ar xar tanh x + ln( 1−
x
2 ) + C
2
ar xar coth x + ln( x −1) + C
1
2
1
2
Satz 6-27
(Partielle Integration oder Produktintegration)
( x) g′
( x) dx = f ( x) g( x) − f ( x) g( x)dx
∫ f
∫
′
Satz 6-28
(Hauptsatz der Differential- u. Integralrechnung)
Ist f ( x)
in [ a ,b]
stetig und F ( x)
eine beliebige Stammfunktion von f ( x)
b
∫
a
f
b
( x) dx = F( x) = F( b) − F( a)
a
, so gilt
Satz 6-29
b
∫ −∫
a) f ( x) dx = f ( x)dx
a
a
∫
b) f ( x) dx = 0
a
a
b

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b
c) f ( x) dx f ( x) dx f ( x)dx
a
c
∫ ∫ + ∫
b
a
b
= , a < c < b
c
b
b
1 1 2 2
1∫
1
2∫
a
a
d) [ k f ( x) + k f ( x)
] dx = k f ( x) dx k f ( x) dx
∫ +
a
2
Definition 6-32
Ist f ( x)
über jedem endlichen Intervall integrierbar, dann sind die uneigentlichen Integrale
von f ( x)
bei Existenz folgender Grenzwerte definiert als:
b
b
∫ u→−∞∫
−∞
u
a) f ( x) dx = lim f ( x)dx
∞
∫ ∞∫
b) f ( x) dx = lim f ( x)dx
a
∞
∫
u→
u
a
c) f ( x) dx lim f ( x) dx + lim f ( x)dx
−∞
c
∫
u→−∞
u
t
∫
= für beliebiges c.
t→∞
c

66
7 Komplexe Zahlen
Definition 7-1
Komplexe Zahlen 1 sind Ausdrücke der Form
z = x + iy (x, y ∈ )
Das Symbol i bedeutet die imaginäre Einheit: i 2 = −1
( i ∉.). Es sind x der Realteil und y
der Imaginärteil der komplexen Zahl z
x = Re( z) ; y = Im( z)
;
z = Re( z) + iIm( z)
Ist speziell y = 0, dann wird mit z = x + i ⋅ 0 die reelle Zahl x identifiziert; ist x = 0 und y ≠ 0 ,
dann ist z = 0 + iy = iy eine rein imaginäre Zahl.
Definition 7-2
Zwei komplexe Zahlen z
1
= x1
+ iy1
und z
2
= x
2
+ iy
2
sind nur dann einander gleich
x +
1
+ iy1
= x
2
iy
2
wenn x
1
= x
2
und y
1
= y
2
gilt, also Real- und Imaginärteil je für sich gleich sind.
Definition 7-3
Die zu
Damit sind:
z = x + iy konjugiert komplexe Zahl z wird definiert durch:
a) Re ( z) = Re( z)
;
b) Im( z) = − Im( z)
c) z = z ⇔ z ∈ Ñ
d) z = z
e) z
1
+ z
2
= z1
+ z
2
z = x − iy
1 Geronimo Cardano, latinisiert Hieronymus Cardanus, italien. Mathematiker, Arzt u. Philosoph, 1501-1576

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Definition 7-4
Der Betrag von z wird definiert durch:
z
=
x
2
+ y
2
=
zz
Definition 7-5
Die Summe z
1
+ z
2
der beiden komplexen Zahlen z
1
= x1
+ iy1
und z
2
= x
2
+ iy
2
ist die
komplexe Zahl: = z + z = (x + x ) + i(y y )
z
1 2 1 2 1
+
2
Beispiel 7-1
z1 2
−
= 3 + 2i; z = 1 4i → + z = 4 − 2i; z − z = 2 6i
z1 2
1 2
+
Definition 7-6
Das Produkt z 1z
2
zweier komplexer Zahlen z
1
= x1
+ iy1
und z
2
= x
2
+ iy
2
ist die komplexe
Zahl: z = z1z
2
= ( x1x
2
− y1y
2
) + i( x1y
2
+ y1x
2
)
Damit sind:
2 2
a) zz = x + y ≥ 0
b) z
1z
2
= z1
z
2
Beispiel 7-2
2
z 1
= 3 + 2i ; = 1−
4i
; z z = (3 + 2i)(1 − 4i) = 3 −12i
+ 2i − 8i = 11 i10
z 2
1 2
−
2 2
z1 z1
= 3 + 2 = 13
Definition 7-7 (Division komplexer Zahlen)
Unter der Voraussetzung z 2
≠ 0 suchen wir diejenige Zahl z, für die bei vorgelegter Zahl z 1
gilt: z
2
z = z1
. Erweiterung mit z
2
liefert z
2
z z
2
= z1z
2
z
z =
z
1
2
z1z
=
z z
2
2
2
x1x
=
x
2
2
2
+ y y
+ y
1
2
2
2
y1x
+ i
x
2
2
2
− x
+ y
1
2
2
y
2

68
Beispiel 7-3
z 1
= 3 + 2i ; = 1−
4i
z 2
z
z
3 + 2i
= =
1−
4i
( 3 + 2i)( 1+
4i)
( 1−
4i)( 1+
4i)
3 + 12i + 2i + 8i
=
1+
16
− 5 + 14i 5
= = −
17 17
2
1
+
2
14
i
17
Definition 7-8
Der komplexen Zahl z = x + iy wird derjenige Punkt der Gaußschen Zahlenebene zugeordnet
(Abb. 7-1), der in einem kartesischen Koordinatensystem die Abszisse x = Re(z)
und die
Ordinate y = Im(z) besitzt.
Abb. 7-1 Gaußsche Zahlenebene
Die Menge der reellen Zahlen entspricht also den komplexen Zahlen z mit Im(z) = 0, weshalb
die Abszissenachse auch als reelle Achse bezeichnet wird. Den rein imaginären Zahlen z, also
allen Zahlen z mit Re(z) = 0, entspricht die Ordinatenachse, die deshalb auch als imaginäre
Achse bezeichnet wird.
Abb. 7-2 Addition und Subtraktion zweier Komplexer Zahlen

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 69
Hinweis: Oftmals ist es zweckmäßig, in der komplexen Ebene statt des beschriebenen Punktes,
den Vektor-Pfeil zu betrachten, der vom Nullpunkt zum betrachteten Punkt hinweist
(Ortsvektor). Bei dieser Betrachtungsweise addieren sich zwei komplexe Zahlen wie die Kräfte
in einem Kräfteparallelogramm. Die Differenz zweier komplexer Zahlen hat dann die Länge
und Richtung der zweiten Diagonalen im Paralleleogramm (Abb. 7-2).
Der Zahl i entspricht der Punkt (0,1) der imaginären Achse und die Zahl 1 dem Punkt (1,0)
der reellen Achse. In der Geometrie der Ebene ist es üblich, neben den kartesischen Koordinaten,
auch Polarkoordinaten zu benutzen. Ein Punkt in der Ebene wird dann beschrieben durch
seinen Abstand r = OP vom Koordinatenursprung 0 und dem Winkel ϕ , den der Fahrstrahl
von 0 nach P mit der positiven x-Achse einschließt (Abb. 7-3).
Abb. 7-3 Polarkoordinaten r, ϕ
Der Zusammenhang zwischen den kartesischen Koordinaten und den Polarkoordinaten ist
gegeben durch
x = r cosϕ
y = r sin ϕ
iϕ
Unter Beachtung der Euler-Identitäten e = cosϕ + isin ϕ;e
die komplexen Zahlen auch in Polarkoordinaten darstellen.
Definition 7-9
Definition 7-10
iϕ
( cosϕ + isin ϕ) = re
−iϕ
= cos ϕ − isin ϕ
2 2
z = x + iy = r
mit r = x + y = z
lassen sich
Der zur komplexen Zahl z ≠ 0 gehörige Winkel ϕ (Abb. 7-3) heißt Argument der komplexen
Zahl z und wird
arg z
= ϕ + 2πk
(k = 0,1, 2 ,..) geschrieben. Das Argument von z ist nicht
eindeutig bestimmt, sondern nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π. Es ist also
z =
i
z e
argz

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Hinweis: Mit den obigen Definitionen ist eine geometrische Interpretation der Multiplikation
und der Division komplexer Zahlen möglich. Es gilt nämlich für die beiden komplexen Zahlen
z 1 und z 2 :
z =
dann gilt für das Produkt z1 ⋅ z
2
einerseits
und andererseits
Daraus folgt
z ⋅ z
1
2
=
z
i argz
i arg
1
= z1
e , z
2
z
2
e
1
e
z
1
⋅ z
2
=
1 z 2
z
1
⋅ z
2
e
iarg(z ⋅z
)
i argz 1 i argz2
e i(arg z1+
arg z2
)
⋅ z
2
e = z1
⋅ z
2
1
2
Definition 7-11
arg( z1
⋅ z
2
) = arg z1
+ arg z
2
+ 2kπ
Abb. 7-4 Multiplikation komplexer Zahlen
Abb. 7-5 Division komplexer Zahlen
Aus den obigen Betrachtungen ergeben sich nun einfache geometrische Darstellungen der
Multiplikation und der Division komplexer Zahlen.
Multiplikation:
Wir drehen den Vektor z 2 im positiven Sinne um den Winkel ϕ und strecken ihn im
Verhältnis 1:ρ = 1: z
1
Der neue Vektor stellt dann das Produkt z1 ⋅ z
2
dar.
Die Multiplikation komplexer Zahlen entspricht einer Drehstreckung (Abb. 7-4).
Division: Für den Quotienten z 1 /z 2 erhalten wir

Prof. Dr. F.U. Mathiak, Hochschule Neubrandenburg 71
Dieses Ergebnis deuten wir wie folgt:
z
z
2
=
z
1
2
e
i(arg z −arg z )
1 1 2
z
Drehen wir den Vektor z 2 im negativen Sinne um den Winkel ϕ und strecken ihn im
Verhältnis ρ:1, so erhalten wir den Vektor z = z 1 /z 2 (Abb. 7-5)
Definition 7-12
Aus
i argz
z = z e erhalten wir für die n-te Potenz von z:
z
n
n i⋅n⋅argz
= z e und es gilt:
arg( z
n ) = n arg(z) + 2kπ
Bezeichnen wir die Lösungen von
1 2kπ
arg( n w ) = arg(w) +
n n
n
w
=
n
w e
i 2πik
arg(w) +
n n
z n = w generell mit z = n
w , dann folgt
(k = 0,1, …,
n −1)
Hinweis: Es genügt, wenn wir uns auf die Werte k = 0,1, …,n
−1
beschränken, da wir für die
anderen Werte k ∈ Z periodisch immer wieder dieselben komplexen Zahlen erhalten.
Beispiel 7-4
Insbesondere erhalten für w = 1 die n-ten Einheitswurzeln
n
2kπi
n
1 = e
2πk
2πk
= cos + isin
n n
(k = 0,1, …,
n −1)
Sie bilden geometrisch die Eckpunkte eines n-
Ecks. Das n-Eck hat stets den auf der reellen
Achse gelegenen Punkt z 0
= 1 zur Ecke. Alle
Eckpunkte z
0
,z1,…,
z
n−1
genügen der Gleichung
x n − 1 = 0
Abb. 7-6 Sechste Einheitswurzeln
die Kreisteilungsgleichung genannt wird,
weil die Lösungsmenge den Umfang des Einheitskreises
in n gleiche Teile teilt.