Zentrische Streckung
Zentrische Streckung
Zentrische Streckung
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MathBuch 9+ Theorie Form LU 05<br />
Bezirksschule Brugg<br />
Die Abbildung, die der Pantograph erzeugt, heisst <strong>Streckung</strong>.<br />
<strong>Zentrische</strong> <strong>Streckung</strong><br />
Durch zentrische <strong>Streckung</strong>en entstehen ähnliche (formgleiche) Figuren:<br />
<strong>Streckung</strong>sfaktor:<br />
a' = k·a<br />
k =<br />
ZA ' : ZA = 4 : 1 = 4<br />
Jede Strecke wird auf eine<br />
k-mal so lange Bildstrecke<br />
abgebildet:<br />
1<br />
<br />
a<br />
k = 4<br />
'<br />
a' = k·a<br />
a' = 4·a<br />
k > 1 Vergrösserung<br />
k < 1 Verkleinerung<br />
k = 1 identische Abbildung<br />
Eine zentrische <strong>Streckung</strong> ist festgelegt durch das <strong>Streckung</strong>szentrum Z und den <strong>Streckung</strong>sfaktor k.<br />
Jeder Bildpunkt (z.B. A’) liegt auf einem Strahl vom Zentrum durch den Originalpunkt (z.B. auf ZA)<br />
Der <strong>Streckung</strong>sfaktor k bestimmt die Entfernung des Bildpunktes vom <strong>Streckung</strong>szentrum Z.<br />
Jede Strecke wird auf eine zu ihr parallele Bildstrecke abgebildet:<br />
Jeder Winkel wird auf einen gleich grossen Bildwinkel abgebildet: = ’<br />
AB<br />
//<br />
A' B'<br />
Flächeninhalte:<br />
Rauminhalte:<br />
1<br />
F<br />
k = 3<br />
In ähnlichen Figuren ist der Flächeninhalt<br />
der Bildfigur genau k 2 -mal so gross<br />
wie der Flächeninhalt der Originalfigur.<br />
F' = k·a · k·b = k 2·ab = k 2 · F<br />
F' = 3 2 · F = 9F<br />
F'<br />
1<br />
V<br />
k = 3<br />
V'<br />
In ähnlichen Figuren ist der Rauminhalt<br />
der Bildfigur genau k 3 -mal so gross wie<br />
der Rauminhalt der Originalfigur.<br />
V' = k·a · k·b · k·c = k 3 · abc = k 3 · V<br />
V' = 3 3 · V = 27V<br />
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MathBuch 9+ Theorie Form LU 05<br />
Bezirksschule Brugg<br />
Ähnlichkeit<br />
In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zu einander ähnlich, wenn sie durch eine<br />
geometrische Abbildung, die sich aus zentrischen <strong>Streckung</strong>en und Kongruenzabbildungen<br />
(Verschiebung, Drehung, Spiegelung) zusammensetzen lässt, ineinander überführt werden<br />
können.<br />
Die Dreiecke ABC und AB’C’ sind ähnlich:<br />
b<br />
b'<br />
C<br />
C’<br />
A<br />
<br />
a<br />
a'<br />
c<br />
<br />
c'<br />
B<br />
’<br />
B’<br />
= ’<br />
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.<br />
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn entsprechende Längen proportional sind.<br />
<br />
a'<br />
a<br />
<br />
b'<br />
b<br />
<br />
c'<br />
k<br />
c<br />
Beispiel-Aufgabe:<br />
Ein Dreieck hat die Längen a = 5 cm, b = 7 cm und c = 6 cm<br />
Bei einem ähnlichen Dreieck beträgt die Seite a’ = 8 cm.<br />
Berechne die restlichen Seiten b’ und c’!<br />
Lösung:<br />
a' 8 cm<br />
<br />
a 5 cm<br />
1,6 k<br />
b’ = k · b = 1,6 · 7 cm = 11,2 cm<br />
c’ = k · c = 1,6 · 6 cm = 9,6 cm<br />
k ist der <strong>Streckung</strong>s- oder Vergösserungsfaktor.<br />
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