8. Wassertransport

8
Wassertransport in
porösen Medien auf der
Kontinuumskala
Darcy-Gesetz
1. Originale Formulierung (1D)
2. Infinitesimale Formulierung (1D)
3. Ungesättigt (1D)
4. Mehrdimensional isotrop
5. Mehrdimensional anisotrop
Kontinuumtheorie: Historischer Abriß
Wasserfluss ...
... entsteht als Folge eines Gradienten des
Gesamtpotentials!
Originale Formulierung
Proportionalität zwischen
Druckgradient und Wasserfluß
Gradient: ∆ H / ∆L
Änderung des hydraulischen Potentials mit einer
Strecke
Fluss: q
Henri Darcy (1856)
q = −K ⋅ ∆H ∆z
• empirisch begründet für
gesättigte Verhältnisse
• einfach
• Poren dürfen nicht zu groß
und nicht zu klein sein
8.1
Darcy-Gesetz
Infinitesimale Formulierung
dH
q = −K
⋅
dz
1

Darcy-Gesetz: Analogien
Darcy-Gesetz
Wärme
j H
dT
= −K
⋅
dx
Ungesättigt, mehrdimensional isotrop
dH
q = −K
⋅
dx
Wasser
Stoffe
Strom
j C
dc
= −D
⋅
dx
dU
I = −
1 ⋅
R dx
⎛ q
⎜
⎜q
⎜
⎝ q
x
y
z
⎞ ⎛ ∂h
∂x
⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎟ = −K(
h)
⋅⎜
∂h
∂y
⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝∂h
∂z
−1⎠
Kontinuumtheorie: Historischer Abriß
Edgar Buckingham (1907)
Def. “Kapillarpotential” für den
ungesättigten Bereich
⎛ dh ⎞
q = −K(
θ ) ⋅⎜
−1⎟
⎝ dx ⎠
“a quantity which measures the
attraction of the soil at any given
point of water”
8.2
Kontinuitäts-Gesetz
“not a simple and directly
measurable quantity like the head
of water, an electric potential, or a
temperature”
Ungesättigt, eindimensional
Kontinuitätsgesetz für ungesättigte Verh.
∂H
q = −K(
h)
⋅
∂z
⎛ ∂h
⎞
= −K(
h)
⋅⎜
−1⎟
⎝ ∂z
⎠
∂h
= −K(
h)
⋅ + K(
h)
∂z
Divergenz des Fließfeldes
= Wassergehaltsänderung
∂θ
= −div(q)
∂t
2

Kontinuumtheorie: Historischer Abriß
Kontinuitätsgesetz 2D
Lorenzo A. Richards (1931)
∂θ
⎛ ∂q
= −⎜
∂t
⎝ ∂x
+
∂q
∂y
⎞
⎟
⎠
Verknüpfung von Kontinuitätsgesetz und
Darcy-Buckingham-Gesetz
1D
∂θ
∂
∂ ⎛ ∂H
= ⎜ K ⋅
t ∂z
⎝ ∂z
⎞
⎟
⎠
3D
∂θ
∂
= div
t
= ∇
[ K ⋅ grad ( H )]
[ K ⋅ ∇H
]
8.3
Richards-Gleichung
Spezifische Wasserkapazität
= Ableitung der
Retentionskurve
C
*
∂θ
=
∂ h
Charles S. Slichter (1897)
Kontinuumtheorie: Historischer Abriß
Verbindung von Fluß- und
Kontinuitätsüberlegungen
für gesättigte Verhältnisse
Divergenz des Fließfeldes
= Speicheränderung
Lorenzo A. Richards (1931)
Kontinuumtheorie: Historischer Abriß
Verknüpfung von Kontinuitätsgesetz und
Darcy-Buckingham-Gesetz
* ∂h
∂ ⎡ ⎛ ∂h
⎞⎤
C ( h)
= ⎢K(
h)
⎜ −1⎟
∂t
∂z
⎥
⎣ ⎝ ∂z
⎠⎦
Charles S. Slichter,
a mathematician at the University of
Wisconsin
3

Kontinuumtheorie: Historischer Abriß
Ernest Carr Childs (1948)
Wasserfluß als Analogon zur Diffusion;
“Diffusivität” ist wassergehaltsabhängig(!)
X
mit
∂θ
θ ∂ 2
= D( )
θ
2
∂t
∂ x
K(
θ )
D ( θ ) =
C
* ( θ )
Ende 8. Stunde
Besonderheiten
Grundwasser
2 2 2
1 ∂ S ∂ h ∂ h ∂ h
= + +
2 2 2
K ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z
– linear
– numerisch gutmütig
– zwei- oder
dreidimensional
unges. Zone
* ∂h
∂ ⎛ ∂h
⎞
C ⋅ = ⎜ K(
θ ) − K ( θ ) ⎟
∂t
∂z
⎝ ∂z
⎠
– nichtlinear:
K=f (θ) oder f (η)
– extrem nichtlinear
(numerisch anspruchsvoll)
– Hoffnung: K (θ) und ψ (θ)
sind eindeutig
– Anwendungen oft
eindimensional
* ∂ψ
∂ ⎡ ⎛ ∂ψ
⎞⎤
C ( ψ ) = ⎢K(
ψ ) ⎜ −1⎟
∂t
∂z
⎥
⎣ ⎝ ∂z
⎠⎦
Kontinuumtheorie: Historischer Abriß
A priori - Limitierungen der Gültigkeit der Richardsgleichung
ergeben sich durch
• Wassertransport in Dampfphase
• fehlende Kontinuität und limitierte
Mobilität der Bodenluft
• Deformation der Festphase
• Thermische und osmotische Gradienten
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