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16 Kapitel 2. Grundlagen
und
κ = πn 1
λ − iα 1
(2.11)
2
Hierbei wurden der mittlere Brechungsindex n 0 und die mittlere Absorption α 0 , sowie
die Modulationsamplituden n 1 und α 1 eingeführt. Als Lösung für das elektrische Feld in
Gleichung 2.3 wird folgender Ansatz gemacht:
E(⃗r) = R(z) exp(−i⃗ϱ⃗r) + S(z) exp(−i⃗ς⃗r) (2.12)
Dabei wurde ein vorher erwähnter, physikalisch sinnvoller Ansatz gewählt: es sind nur 2
Ausbreitungsrichtungen im Material erlaubt; die komplexen Größen R und S stellen die
Amplituden der sich ausbreitenden Wellen dar und hängen nur von z ab. Die Vektoren
⃗ϱ und ⃗ς bestimmen die Ausbreitung der 2 erlaubten Wellen (Referenz- und Signalwelle)
im Medium. ⃗ϱ liegt dabei in Richtung der eintreffenden Referenzwelle und ist durch den
Winkel θ und die Propagationskonstante β festgelegt:
⎛
⃗ϱ = β ⎝
sin θ
0
cos θ
⎞
⎠ (2.13)
Wie ausdrücklich in den Voraussetzungen für die CWT erwähnt, werden alle Ausbreitungsrichtungen,
welche nicht die Braggbedingung erfüllen, vernachlässigt, wodurch die
Richtung der zweiten Welle durch den Gittervektor ⃗ K und die Ausbreitungsrichtung der
Referenzwelle vorgegeben sind:
⎛
⃗ς = ⃗ϱ − K ⃗ = ⎝
sin θ − K sin φ ⎞
β
0 ⎠ (2.14)
cos θ − K cos φ β
Setzt man den Lösungsansatz in Gleichung 2.3 ein, führt die Differenziation aus und vergleicht
jeweils Terme mit gleichem Exponenten (entweder iϱ⃗r oder iς⃗r), so ergibt sich
folgendes Gleichungssystem:
R ′′ − 2iR ′ ρ z − 2iαβR + 2κβS = 0
S ′′ − 2iS ′ σ z − 2iαβS + (β 2 − σ 2 ) + 2κβR = 0
(2.15)
Hierbei wurden die Terme mit Ausbreitungsrichtungen (ϱ+K) und (ς −K) vernachlässigt.
Nimmt man weiterhin an, dass der Energieaustausch zwischen den beiden betrachteten
Wellen langsam stattfindet, können die zweiten Ableitungen vernachlässigt werden und
man erhält die ”coupled wave”-Gleichungen:
c r R ′ + αR = −iκS
c s S ′ + (α + iϑ)S = −iκR
(2.16)