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2.2. Die ”Coupled Wave Theory” 15
Die Behandlung der beschriebenen Situation beginnt mit der skalaren Helmholtz-Gleichung
im Medium (
∇ 2 + k 2 (⃗r) ) E(⃗r) = 0 (2.3)
Hierbei stellt E(⃗r) die komplexe Amplitude der y-Komponente des elektrischen Feldes dar;
die Propagationskonstante k ist definiert als:
k 2 = ω2
ɛ − iωµσ (2.4)
c2 wobei ω der Frequenz des einfallenden Lichts entspricht, c der Lichtgeschwindigkeit im
Vakuum, ɛ der dielektrischen Konstante, σ der Leitfähigkeit und µ die magnetische Permeabilität
des Mediums darstellt. Es wird weiterhin vereinfachend angenommen, dass µ
konstant ist und den gleichen Wert hat wie im Vakuum.
Das Hologramm kann nun dargestellt werden als periodische Variation der beiden Materialkonstanten
σ (Amplitudenhologramm) und ɛ (Phasenhologramm):
ɛ(⃗r) = ɛ 0 + ɛ 1 cos( ⃗ K⃗r) (2.5)
σ(⃗r) = σ 0 + σ 1 cos( ⃗ K⃗r) (2.6)
Hier stellen ɛ 0 und σ 0 die Mittelwerte der Materialkonstanten dar und ɛ 1 und σ 1 die Amplitude
des betrachteten kosinusförmigen Gitters. Weiterhin wurde zur Vereinfachung die
Vektorschreibweise für den Ortsvektor ⃗r und den Gittervektor K ⃗ eingeführt:
⎛
⃗r = ⎝
x
y
z
⎞
⎠ ;
⃗ K = |K|
⎛
⎝
sin φ
0
cos φ
⎞
⎠ ;
|K| = 2π Λ
Die Gleichungen 2.4, 2.5 und 2.6 können zusammengefasst werden zu
(
k 2 = β 2 − 2iαβ + 2κβ exp(iK⃗r) ⃗ + exp(−iK⃗r)
⃗ )
(2.7)
wobei drei neue Abkürzungen eingeführt wurden; die mittlere Propagationskonstante β, die
mittlere Absorptionskonstante α, sowie die Kopplungskonstante κ, welche folgendermaßen
definiert sind:
β = 2π√ ɛ 0
λ
κ = 1 4
; α = µcσ 0
2 √ ɛ 0
(2.8)
( 2πɛ1
λ √ − iµcσ )
1
√
ɛ 0 ɛ0
(2.9)
Die vorher erwähnten Annahmen über die beschränkte Modulationstiefe erlauben (über
Taylor-Entwicklungen für ɛ und σ) die Vereinfachung zu:
β = 2πn 0
λ
(2.10)