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2.2. Die ”Coupled Wave Theory” 13<br />
2.2 Die ”Coupled Wave Theory”<br />
Wie im vorigen Abschnitt erwähnt, ist es bei der Behandlung von Volumenhologrammen<br />
nicht länger möglich, die Beugung als Oberflächenphänomen zu behandeln.<br />
Eine Standardtheorie zur analytischen Beschreibung von Volumenhologrammen ist die so<br />
genannte ”Coupled Wave Theory” (CWT) von H. Kogelnik[4]. Daneben existieren zur<br />
Beschreibung von überlagerten Gittern noch Erweiterungen dieser Theorie[6], sowie einige<br />
komplett numerische Ansätze. Während die Theorie von Kogelnik für sehr einfache<br />
Spezialfälle eine analytische Lösung zur Verfügung stellt, versuchen diese numerischen Verfahren,<br />
die grundlegenden Maxwell-Gleichungen zu lösen. Sehr bekannte Algorithmen sind<br />
beispielsweise die ”Finite Difference Time Domain”-Methode[8], oder die ”Fourier Modal<br />
Method”, auch als ”Rigorous Coupled Wave Analysis” (RCWA[9]) bekannt.<br />
Die CWT von Kogelnik allerdings stellt im Bereich der Holografie eine Referenz dar, an<br />
deren Aussagekraft sich alle Erweiterungen und numerischen Verfahren zunächst messen<br />
müssen; oft liefern die numerischen Ansätze keine weiteren Einsichten. Auch für die vorliegende<br />
Arbeit wird im Wesentlichen auf die ursprüngliche Version von Kogelnik zurückgegriffen.<br />
Die Grundzüge der Theorie und die Behandlung des für uns wichtigen Spezialfalls<br />
der Phasen-Reflexionshologramme werden im Folgenden dargestellt.<br />
Die im Hologramm aufgenommenen Interferenzmuster können anschaulich als Überlagerung<br />
von Bragg-Ebenen 2 verschiedener Richtungen und Raumfrequenzen angesehen werden.<br />
Die CWT beschreibt das Verhalten einer Referenzwelle R, welche auf ein einzelnes Bragg-<br />
Gitter trifft und dabei Energie an eine gestreute Signalwelle S abgibt. Die Geometrie ist in<br />
Abbildung 2.6 dargestellt. Die z-Achse wurde senkrecht zur Grenzfläche des holografischen<br />
Mediums gelegt, die x-Achse verläuft in der Ebene des einfallenden Strahls und parallel<br />
zur Grenzfläche. Im Medium ist ein sinusförmiges Brechungsindexgitter vorhanden, dessen<br />
Gittervektor ⃗ K den Winkel Φ mit der z-Achse einschließt. ⃗ K ist senkrecht zu den eingeschriebenen<br />
Ebenen orientiert und hat den Betrag |K| = 2π/Λ, wobei Λ die Gitterperiode<br />
darstellt. Der mittlere Brechungsindex innerhalb und außerhalb der Schicht wird vereinfachend<br />
als identisch angenommen; eine Brechung an den Grenzflächen tritt daher nicht<br />
auf.<br />
Für die mathematische Beschreibung werden noch folgende Annahmen gemacht, die für<br />
die Behandlung im Rahmen der CWT notwendig sind:<br />
• Es werden lediglich sinusförmige Gitter betrachtet.<br />
• Es wird ausschließlich s-Polarisation betrachtet. Hierbei ist die Polarisationsrichtung<br />
2 Diese Bezeichnung geht auf die Festkörperphysik zurück. Hier ist eine ”Reflexion” von Strahlung (durch<br />
konstruktive Interferenz) an einer parallelen Schar von Netzebenen in Kristallen nur möglich, falls die so<br />
genannte ”Bragg-Bedingung” (Gl. 2.2) erfüllt ist; diese Netzebenen werden als Bragg-Ebenen bezeichnet.<br />
Für eine nähere Behandlung siehe bspw. [10, 21]. Im Falle von Hologrammen können parallele, periodische<br />
Brechungsindexvariationen ebenfalls als Bragg-Ebenen interpretiert werden.