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2.2. Die ”Coupled Wave Theory” 13
2.2 Die ”Coupled Wave Theory”
Wie im vorigen Abschnitt erwähnt, ist es bei der Behandlung von Volumenhologrammen
nicht länger möglich, die Beugung als Oberflächenphänomen zu behandeln.
Eine Standardtheorie zur analytischen Beschreibung von Volumenhologrammen ist die so
genannte ”Coupled Wave Theory” (CWT) von H. Kogelnik[4]. Daneben existieren zur
Beschreibung von überlagerten Gittern noch Erweiterungen dieser Theorie[6], sowie einige
komplett numerische Ansätze. Während die Theorie von Kogelnik für sehr einfache
Spezialfälle eine analytische Lösung zur Verfügung stellt, versuchen diese numerischen Verfahren,
die grundlegenden Maxwell-Gleichungen zu lösen. Sehr bekannte Algorithmen sind
beispielsweise die ”Finite Difference Time Domain”-Methode[8], oder die ”Fourier Modal
Method”, auch als ”Rigorous Coupled Wave Analysis” (RCWA[9]) bekannt.
Die CWT von Kogelnik allerdings stellt im Bereich der Holografie eine Referenz dar, an
deren Aussagekraft sich alle Erweiterungen und numerischen Verfahren zunächst messen
müssen; oft liefern die numerischen Ansätze keine weiteren Einsichten. Auch für die vorliegende
Arbeit wird im Wesentlichen auf die ursprüngliche Version von Kogelnik zurückgegriffen.
Die Grundzüge der Theorie und die Behandlung des für uns wichtigen Spezialfalls
der Phasen-Reflexionshologramme werden im Folgenden dargestellt.
Die im Hologramm aufgenommenen Interferenzmuster können anschaulich als Überlagerung
von Bragg-Ebenen 2 verschiedener Richtungen und Raumfrequenzen angesehen werden.
Die CWT beschreibt das Verhalten einer Referenzwelle R, welche auf ein einzelnes Bragg-
Gitter trifft und dabei Energie an eine gestreute Signalwelle S abgibt. Die Geometrie ist in
Abbildung 2.6 dargestellt. Die z-Achse wurde senkrecht zur Grenzfläche des holografischen
Mediums gelegt, die x-Achse verläuft in der Ebene des einfallenden Strahls und parallel
zur Grenzfläche. Im Medium ist ein sinusförmiges Brechungsindexgitter vorhanden, dessen
Gittervektor ⃗ K den Winkel Φ mit der z-Achse einschließt. ⃗ K ist senkrecht zu den eingeschriebenen
Ebenen orientiert und hat den Betrag |K| = 2π/Λ, wobei Λ die Gitterperiode
darstellt. Der mittlere Brechungsindex innerhalb und außerhalb der Schicht wird vereinfachend
als identisch angenommen; eine Brechung an den Grenzflächen tritt daher nicht
auf.
Für die mathematische Beschreibung werden noch folgende Annahmen gemacht, die für
die Behandlung im Rahmen der CWT notwendig sind:
• Es werden lediglich sinusförmige Gitter betrachtet.
• Es wird ausschließlich s-Polarisation betrachtet. Hierbei ist die Polarisationsrichtung
2 Diese Bezeichnung geht auf die Festkörperphysik zurück. Hier ist eine ”Reflexion” von Strahlung (durch
konstruktive Interferenz) an einer parallelen Schar von Netzebenen in Kristallen nur möglich, falls die so
genannte ”Bragg-Bedingung” (Gl. 2.2) erfüllt ist; diese Netzebenen werden als Bragg-Ebenen bezeichnet.
Für eine nähere Behandlung siehe bspw. [10, 21]. Im Falle von Hologrammen können parallele, periodische
Brechungsindexvariationen ebenfalls als Bragg-Ebenen interpretiert werden.