3.5 Finite-Elemente-Methoden

3.5 Finite-Elemente-Methoden
Finite-Element-Methoden (FEM) werden vorzugsweise eingesetzt
bei schwierigen, z.B. krummlinig berandeten Strukturen.
Dort zeigen sich Vorteile gegenüber den wesentlich weniger
aufwendigen Finite-Differenzen-Techniken.
In zwei Dimensionen basieren Standard-Finite-Element-Techniken
auf stückweise polynominalen Ansatzfunktionen auf Drei- bzw.
Vierecken (Elementen).
Der Fehler durch polynomiale Approximationen kann durch
folgende Ungleichung abgeschätzt werden:
mit der Energienorm
0,2
definiert durch
H
f ( x)
= ( f ( x))
0 ,2
H 2
D
H
⋅ dx
k
h
u (k)
C
ist der Grad des approximierenden Polynoms,
die maximale Kantenlänge des lokalen Elements,
bezeichnet das Maximum der k-ten partiellen Ableitungen.
ist eine Konstante abhängig von den inneren Winkeln des Elements.
Kap. 3.5: Finite Element Methoden Seite 1 / 3 V1.0 © A. B. Gilg

Diese Konstante C istbeschränkt durch
C < const.
sinα
mit α als unterer Schranke der Innenwinkel aller Elemente.
Es ist deshalb notwendig, Elemente mit entarteten Winkeln zu
vermeiden!
Für den praktischen Einsatz muss das FE-Netz sehr fein gewählt
werden, da
und
die Ladungsträgerkonzentrationen in gewissen Zonen sehr
stark variieren,
die Ladungsträgerkonzentrationen besser durch
exponentielle als durch polynomiale Funktionen zu
approximieren sind.
Damit ist die Standard-FE-Methode, ähnlich wie die Standard-
FD-Methode für die Lösung der Halbleitergleichungen praktisch
ungeeignet.
Für die eindim. HL-Gleichungen existiert eine exponentiell
modifizierte FE-Methode, die jedoch nicht auf mehrere
Dimensionen erweiterbar ist.
Kap. 3.5: Finite Element Methoden Seite 2 / 3 V1.0 © A. B. Gilg

Zur Verbesserung gibt es drei Ansätze:
1. Wechsel der abhängigen Variablen
2. Modifizierte Ansatzfunktionen auf den Elementen
3. Modifizierte Gewichtsfunktionen für die Residuenintegrale
zu 1)
Die Wahl der Variablen (ψ, φ n , φ p ) scheint Vorteile zu besitzen
gegenüber (ψ, n, p).
Jedoch sind die Residuenintegrale aufwendiger (durch numerische
Integration) zu berechnen, die zudem bei exponentiell variierenden
Funktionen sehr ungenau ist und polynomiale Approximationen für
φ n und φ p erfordern wiederum ein sehr feines Gitter.
zu 2)
Einzelne Ansätze basierend auf modifizierten Formfunktionen
wurden analysiert.
Sie haben sich bisher nicht als generell vorteilhaft erwiesen.
zu 3)
Ansätze mit exponentiell modifizierten Gewichtsfunktionen für die
Residuenintegrale erscheinen zwar anwendbar für die HL-Gleichungen,
sind aber bisher praktisch noch nicht erprobt.
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