Montag 14.12.2009
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Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
$Id: potential.tex,v 1.4 2009/12/14 15:55:24 hk Exp $<br />
§4 Potentialfelder<br />
4.1 Wegunabhängige Integrierbarkeit<br />
Definition 4.1: Seien U ⊆ R n offen und F : U → R n ein stetiges Vektorfeld. Dann<br />
heißt F ein Potentialfeld wenn für alle in U verlaufenden Kurven γ, δ mit gleichen<br />
Startpunkt und Endpunkt stets ∫ F · ds = ∫ F · ds ist.<br />
γ δ<br />
In anderen Worten sollen Kurvenintegrale über das Vektorfeld F also nur von Anfangsund<br />
Endpunkt des Integrationswegs abhängen. Anstelle von Potentialfeld“ sind auch<br />
”<br />
die Bezeichnungen konservatives Vektorfeld“ oder wegunabhängig integrierbares Vektorfeld“<br />
gebräuchlich. Wie wir bereits gesehen haben ist keinesfalls jedes Vektorfeld ein<br />
” ”<br />
Potentialfeld, es handelt sich um eine echte Bedingung an das Vektorfeld. Haben wir ein<br />
Potentialfeld auf einer offenen Menge U ⊆ R n , so ist es naheliegend für Kurvenintegrale<br />
über F den Integrationsweg gar nicht hinzuschreiben, sondern nur seinen Anfangs- und<br />
Endpunkt anzugeben, also so etwas wie ∫ q<br />
F (s) · ds mit p, q ∈ U zu schreiben. Damit<br />
p<br />
dieser Ausdruck für alle möglichen p, q ∈ U sinnvoll ist, brauchen wir das es überhaupt<br />
zu allen p, q ∈ U immer eine Kurve γ in U mit Startpunkt p und Endpunkt q gibt.<br />
Dies bedeutet gerade das die Menge U zusammenhängend ist, denn in §9.4 im letzten<br />
Semester hatten wir dies so definiert das sich je zwei Punkte in U sogar durch einen<br />
Streckenzug verbinden lassen.<br />
Definition 4.2: Eine Gebiet im R n ist eine offene, zusammenhängende und nicht leere<br />
Menge U ⊆ R n . Sind U ⊆ R n ein Gebiet, F : U → R n ein Potentialfeld und p, q ∈ U,<br />
so wählen wir eine Kurve γ in U mit Startpunkt p und Endpunkt q, und definieren<br />
∫ q ∫ q<br />
∫<br />
F · ds = F (s) · ds := F · ds.<br />
p<br />
p<br />
Mit dieser Schreibweise verhält sich das Integral über F dann so wie das eindimensionale<br />
Rieman-Integral, für alle p, q, r ∈ U ist nämlich nach §3.Satz 2.(c,d) stets<br />
∫ q<br />
p<br />
F (s) · ds +<br />
∫ r<br />
q<br />
F (s) · ds =<br />
∫ r<br />
p<br />
F (s) · ds und<br />
γ<br />
∫ p<br />
q<br />
F (s) · ds = −<br />
∫ q<br />
p<br />
F (s) · ds.<br />
Weiter ist ∫ p<br />
F (s) · ds = 0 für jeden Punkt p ∈ U, d.h. das Integral von F über eine<br />
p<br />
geschlossene Kurve ist immer Null. Dies ist tatsächlich gleichwertig dazu das F ein<br />
Potentialfeld ist<br />
∮<br />
F ist konservativ ⇐⇒ Für jede geschlossene Kurve γ in U ist F · ds = 0.<br />
γ<br />
14-1
Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
Angenommen wir haben ein Vektorfeld F dessen Integral über<br />
jede geschlossene Kurve gleich Null ist. Seien dann γ, δ zwei<br />
beliebige Kurven mit gleichen Anfangs- und Endpunkt. Dann<br />
können wir die geschlossene Kurve<br />
ɛ := γ + δ −<br />
γ<br />
δ<br />
bilden, die zunächst γ entlangläuft und dann mit δ in umgekehrter<br />
Richtung zurückläuft. Nach unserer Voraussetzung an<br />
F ist dann<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∮<br />
F · ds − F · ds = F · ds + F · ds = F · ds = 0,<br />
γ<br />
δ<br />
γ<br />
δ − ɛ<br />
und somit ist tatsächlich ∫ F · ds = ∫ F · ds. Wir wollen jetzt einige Beispiele konservativer<br />
Vektorfelder durchgehen.<br />
γ δ<br />
Als ein einfaches Beispiel betrachten wir die Erdanziehung. Für die Menge U können<br />
wir dann etwa U := R 3 verwenden und die Erdanziehung wird durch das konstante<br />
Vektorfeld F (x, y, z) = −ge 3 beschrieben, wobei g die Erdbeschleunigung ist. Wenn<br />
wir ein Kurvenintegral ∫ F · ds betrachten, so hatten wir in §3.3 bereits festgehalten<br />
γ<br />
das dieses Kurvenintegral gerade die von F entlang des Weges γ geleistete Arbeit ist.<br />
In dieser Situation ist klar, das diese Arbeit nur von der Höhendifferenz des Start- und<br />
Endpunkts der Kurve abhängt. Dies kann man auch leicht nachrechnen<br />
∫<br />
∫ b<br />
F · ds = − gγ 3(t) ′ dt = g · (γ 3 (a) − γ 3 (b))<br />
γ<br />
a<br />
wobei γ 3 die z-Komponente von γ ist und [a, b] für das Definitionsintervall der Kurve γ<br />
steht. Damit ist insbesondere gezeigt das F ein Potentialfeld ist. Betrachten wir weiter<br />
die Funktion<br />
ϕ : U → R; (x, y, z) ↦→ −gz<br />
so können wir unsere Gleichung als<br />
∫ q<br />
p<br />
F · ds = ϕ(q) − ϕ(p)<br />
für alle Punkte p, q ∈ U lesen. Als ein zweites Beispiel betrachten wir einmal das<br />
Gravitationsfeld G eines fixierten Körpers K der Masse M, d.h. der Körper K wirkt<br />
auf eine Masse m im Punkt q die Kraft F = mG(q) aus. Schon in §3.2 hatten wir die<br />
Formel<br />
G(q) = −γM q<br />
|q| 3<br />
festgehalten, wobei wir uns den Körper K im Koordinatenursprung denken. Kurvenintegrale<br />
über das Gravitationsfeld G bedeuten dann wieder so etwas ähnliches wie<br />
geleistete Arbeit, wird ein Körper der Masse m längs der Kurve δ im Gravitationsfeld<br />
14-2
Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
G bewegt, so ist W = m ∫ G · ds die vom Gravitationsfeld geleistete Arbeit. Insbesondere<br />
sollten die Kurvenintegrale wohl wieder nur vom Abstand des Anfangs- und<br />
δ<br />
Endpunkts der Kurve zum Nullpunkt abhängen. Dies rechnet man am bequemsten in<br />
Kugelkoordinaten nach. Nach §3.4 ist der Orstvektor in Kugelkoordinaten gleich re r ,<br />
das Gravitationsfeld schreibt sich also als<br />
G(r, φ, ψ) = − γM r 3 re r = − γM r 2 e r = − γM r 2 ∂<br />
∂r .<br />
Für die Kurve δ(t) = (r(t), φ(t), ψ(t)), a ≤ t ≤ b wird<br />
∫<br />
∫ b<br />
r ′ b<br />
(t) 1<br />
G · ds = −γM dt = γM r(t)<br />
2<br />
r(t) ∣ = γM<br />
Definieren wir also<br />
δ<br />
a<br />
ϕ(p) := γM<br />
|p| ,<br />
so haben wir erneut für alle p, q ∈ R 3 \{0} die Gleichung<br />
∫ q<br />
p<br />
G(s) · ds = ϕ(q) − ϕ(p).<br />
a<br />
( 1<br />
r(b) − 1 )<br />
.<br />
r(a)<br />
Diese Beispiele führen auf den Begriff von Potentialen eines konservativen Vektorfelds.<br />
Definition 4.3: Sei F ein auf einem Gebiet U ⊆ R n definiertes konservatives Vektorfeld.<br />
Ein Potential von F ist dann eine Funktion ϕ : U → R mit<br />
für alle p, q ∈ U.<br />
∫ q<br />
p<br />
F (s) · ds = ϕ(q) − ϕ(p)<br />
Da die ein Potential definierende Formel analog zur Berechnung des Rieman-Integrals<br />
einer Funktion f durch eine Stammfunktion F als ∫ b<br />
f(t) dt = F (b) − F (a) ist, spricht<br />
a<br />
man oft auch von einer Stammfunktion ϕ des konservativen Vektorfelds F . Auch die<br />
Bezeichnung Potentialfeld“ für das Potential ϕ kommt vor, man sollte das dann aber<br />
”<br />
nicht mit dem ebenfalls als Potentialfeld bezeichneten Vektorfeld F verwechseln.<br />
Genau wie Stammfunktionen einer reellen Funktion ist ein Potential bis auf eine<br />
additive Konstante eindeutig. Da nur Differenzen von ϕ auftauchen, ist die Summe<br />
eines Potentials und einer Konstanten wieder ein Potential von F . Ist umgekehrt der<br />
Funktionswert ϕ(p) = c in einem Punkt p ∈ U festgelegt, so ist für jedes andere q ∈ U<br />
auch<br />
ϕ(q) = ϕ(p) + (ϕ(q) − ϕ(p)) = c +<br />
∫ q<br />
p<br />
F (s) · ds<br />
eindeutig festgelegt. Diese Formel gibt uns umgekehrt auch eine erste Möglichkeit zur<br />
Berechnung von Potentialen. Man wählt willkürlich einen Punkt p ∈ U und einen<br />
14-3
Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
Funktionswert c ∈ R im Punkt p, und definiert ϕ dann durch die obige Formel. Wenn<br />
es überhaupt ein Potential gibt, so muss dieses ϕ dann eines sein. Etwas unschön an<br />
dieser Formel ist noch, dass die Berechnung von ∫ q<br />
F · ds die Wahl einer Kurve von p<br />
p<br />
nach q erfordert. Ein einfacher Ansatz hierfür ist die Verbindungsstrecke<br />
γ(t) = p + t(q − p), 0 ≤ t ≤ 1,<br />
aber im Allgemeinen muss diese natürlich nicht ganz in U verlaufen. Mengen bei denen<br />
es ein passendes p ∈ U gibt so, dass all diese Strecken ganz in U sind, nennt man<br />
sternförmig.<br />
p<br />
p+t(q−p)<br />
q<br />
p<br />
Verbindungsstrecke nicht in U<br />
Sternförmige Menge<br />
Definition 4.4: Eine Menge A ⊆ R n heißt sternförmig bezüglich eines Punkts p ∈ A<br />
wenn für jeden Punkt q ∈ A auch die Verbindungsstrecke {p + t(q − p)|0 ≤ t ≤ 1} ⊆ A<br />
ganz in A liegt. Die Menge A heißt sternförmig wenn es einen Punkt p ∈ A gibt so,<br />
dass A bezüglich des Punkts p sternförmig ist.<br />
Haben wir ein bezüglich eines Punktes p ∈ U sternförmiges Gebiet U ⊆ R n , und ein<br />
konservatives Vektorfeld F auf U, so wird die obige Formel für ein Potential von F zu<br />
ϕ(q) =<br />
∫ q<br />
p<br />
F (s) · ds =<br />
∫ 1<br />
0<br />
F (p + t(q − p)) · (q − p) dt.<br />
Wenn es überhaupt ein Potential von F gibt, so muss dieses eines sein. Überprüfen wir<br />
einmal was sich im Beispiel der Erdanziehung ergibt. Der Einfachheit halber betrachten<br />
wir diese diesmal auf dem ganzen R 3 und nehmen p = 0. Es ergibt sich dann das uns<br />
schon bekannte Potential<br />
ϕ(x, y, z) =<br />
∫ 1<br />
0<br />
⎛<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
−g<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ · ⎝<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⎞<br />
⎠ dt = −gz.<br />
14-4
Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
4.2 Gradientenfelder<br />
Wir wollen nun umgekehrt von einem Potential ϕ starten und daraus ein konservatives<br />
Vektorfeld berechnen dessen Potential dann ϕ ist. Schon im letzten Semester in §9.5<br />
hatten wir den Gradienten von ϕ als<br />
grad ϕ(x) :=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂f<br />
∂x 1<br />
(x)<br />
.<br />
∂f<br />
∂x n<br />
(x)<br />
definiert, d.h. als den aus den partiellen Ableitungen von f gebildeten Vektor. Damit<br />
können wir jedem Skalarfeld ϕ auf einer offenen Menge U ⊆ R n als Ableitung das<br />
zugehörige Gradientenfeld F = grad ϕ : U → R n zuordnen. Aus dem letzten Semester<br />
kennen wir auch einige der geometrischen Eigenschaften des Gradientenfeldes:<br />
1. Sind x ∈ U und u ∈ R n , so gilt die Gleichung<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ϕ ′ (x)u = grad ϕ(x) · u,<br />
die Ableitung von ϕ im Punkt x ist also durch skalare Multiplikation mit dem<br />
Gradienten in x gegeben.<br />
2. Das Gradientenfeld F = grad ϕ zeigt in jedem Punkt in die Richtung des stärksten<br />
Anstiegs des Potentials ϕ.<br />
3. Die Feldstärke |F (x)| ist in linearer Näherung der Betrag des Anstiegs von ϕ in<br />
Richtung von F .<br />
4. Das Gradientenfeld F steht senkrecht auf den Niveaumengen<br />
M c := {x ∈ U|ϕ(x) = c} (c ∈ R)<br />
von ϕ. Dies hatten wir zwar im letzten Semester nicht explizit festgehalten, es<br />
folgt aber leicht aus den damals beschriebenen Aussagen. Ist nämlich γ eine in<br />
einer Niveaumenge M c , c ∈ R verlaufende Kurve, also ϕ(γ(t)) = c für alle t im<br />
Definitionsbereich von γ, so folgt durch Ableiten in x = γ(t) mit der Kettenregel<br />
auch<br />
0 = d dt ϕ(γ(t)) = ϕ′ (x)γ ′ (t) = grad ϕ(x) · γ ′ (t) = F (x) · γ ′ (t),<br />
d.h. F (x) steht senkrecht auf allen in M c liegenden Kurven, und damit auf M c<br />
selbst.<br />
Wir wollen uns einmal zwei Beispiele zu diesen Eigenschaften des Gradientenfeldes<br />
anschauen. Wir beginnen mit<br />
14-5
Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
30<br />
20<br />
1<br />
10<br />
–1<br />
y<br />
0.5<br />
0<br />
4<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
x<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
1<br />
0.5<br />
ϕ(x, y) = tan y<br />
x + x2 y + x3 + y 3<br />
3<br />
0<br />
–0.5<br />
y<br />
0<br />
–0.5<br />
–1<br />
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4<br />
x<br />
Niveaumengen und grad ϕ<br />
Wir wollen uns auch noch ein dreidimensionales Beispiel<br />
ϕ(x, y, z) = z 2 x + y cos x − 2yz + z2<br />
2<br />
anschauen. Da wir auf die Graphen nicht ”<br />
von oben draufschauen“ können malen wir<br />
jeweils nur eine Niveaufläche M c und das Gradientenfeld<br />
6<br />
5<br />
4<br />
z<br />
3<br />
2<br />
1<br />
6<br />
5<br />
4<br />
z<br />
3<br />
2<br />
1<br />
6<br />
5<br />
4<br />
z<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
y<br />
4<br />
0<br />
0<br />
0 0<br />
0 0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
4<br />
x<br />
y<br />
4<br />
4<br />
x<br />
y<br />
5<br />
5<br />
5<br />
5<br />
6 6<br />
6 6<br />
4<br />
5<br />
5<br />
6 6<br />
c = 0 c = 5 c = 10<br />
4<br />
2<br />
3<br />
x<br />
1<br />
0<br />
Beachte wie die Niveaufläche für größer werdendes c der Gradientenrichtung folgt. Die<br />
im obigen Punkt (4) verwendete Formel können wir tatsächlich auch benutzen, um<br />
einzusehen das jedes Gradientenfeld konservativ ist. Sei nämlich ϕ : U → R eine stetig<br />
differenzierbare Funktion auf einem Gebiet U ⊆ R n . Wir betrachten das Gradientenfeld<br />
F = grad ϕ. Für jede ganz in U verlaufende Kurve γ : [a, b] → U haben wir dann<br />
∫<br />
γ<br />
F · ds =<br />
∫ b<br />
a<br />
grad ϕ(γ(t)) · γ ′ (t) dt =<br />
∫ b<br />
a<br />
14-6<br />
[ d<br />
dt ϕ(γ(t)) ]<br />
dt = ϕ(γ(b)) − ϕ(γ(a)).
Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
Damit ist F ein konservatives Vektorfeld mit<br />
∫ q<br />
p<br />
F (s) · ds = ϕ(q) − ϕ(p)<br />
für alle p, q ∈ U und insbesondere ist das Skalarfeld ϕ mit dem wir gestartet sind ein<br />
Potential von F . Tatsächlich gilt auch die Umkehrung dieses Satzes, auf deren Beweis<br />
wir hier aber verzichten wollen.<br />
Satz 4.1 (Charakterisierung der Potenzialfelder)<br />
Seien U ⊆ R n ein Gebiet und F : U → R n eine stetiges Vektorfeld auf U. Dann ist F<br />
genau dann ein Potentialfeld wenn F ein Gradientenfeld ist, d.h. wenn es eine stetig<br />
differenzierbare Funktion ϕ : U → R mit F = grad ϕ gibt. Die Funktionen ϕ mit dieser<br />
Eigenschaft sind dann genau die Potentiale von ϕ.<br />
Insbesondere haben wir damit eine erste Methode zu entscheiden ob ein Vektorfeld F<br />
ein Potenzialfeld ist.<br />
Gegeben: Ein stetiges Vektorfeld F auf einem Gebiet U ⊆ R n .<br />
Aufgabe: Entscheide ob F ein Potentialfeld ist, und bestimme gegebenenfalls ein<br />
Potential von f.<br />
Verfahren: Wir gehen in den folgenden Schritten vor:<br />
1. Wähle einen Punkt p ∈ U, falls möglich so das U sternförmig zu p ist.<br />
2. Für jeden Punkt q ∈ U wähle eine Kurve γ mit Startpunkt p und Endpunkt q,<br />
und berechne die Zahl ϕ(q) := ∫ F (s) · ds. Typischerweise wird für γ entweder<br />
γ<br />
die Verbindungsstrecke von p nach q genommen oder eine Kurve die aus Stücken<br />
jeweils parallel zu einer der Koordinatenachsen zusammengesetzt ist.<br />
3. Berechne das Gradientenfeld grad ϕ und teste ob F = grad ϕ ist. Wenn ja, so ist<br />
F konservativ mit Potential ϕ und wenn nein so ist F nicht konservativ.<br />
Wir wollen dieses Verfahren einmal an den beiden zu Beginn dieses Kapitels angegebenen<br />
Vektorfeldern<br />
( )<br />
( )<br />
y<br />
y<br />
F (x, y) =<br />
und G(x, y) =<br />
y − x<br />
x − y<br />
durchführen. Wir hatten bereits gesehen, dass F definitiv kein Potentialfeld ist, und<br />
behauptet das G eines ist. Beide Vektorfelder sind auf U = R 2 definiert, und U ist<br />
sternförmig zu jedem Punkt. Wir führen jetzt das obige Verfahren für beide Vektorfelder<br />
durch und wählen p = 0. Das Kandidatenpotential ist dann für F<br />
ϕ(x, y) =<br />
∫ 1<br />
0<br />
(<br />
aber der Gradient von ϕ ist<br />
ty<br />
ty − tx<br />
) ( ) x<br />
· dt =<br />
y<br />
∫ 1<br />
( 0<br />
grad ϕ(x, y) =<br />
y<br />
0<br />
(txy + ty 2 − txy) dt = 1 2 y2<br />
)<br />
.<br />
14-7
Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
Wie wir bereits wussten ist F also kein Potentialfeld. Für das Vektorfeld G rechnen<br />
wir<br />
∫ 1<br />
( ) ( ) ∫<br />
ty x 1<br />
ψ(x, y) =<br />
· dt = (txy+txy−ty 2 ) dt = 1 tx − ty y<br />
2 (2xy−y2 ) = xy− 1 2 y2 ,<br />
0<br />
und diesmal ist tatsächlich<br />
grad ψ(x, y) =<br />
0<br />
( y<br />
x − y<br />
)<br />
= G(x, y).<br />
Das Vektorfeld G ist also wirklich ein Potentialfeld und ψ ist ein Potential von G.<br />
Das F nicht konservativ ist, kann man auch deutlich daran sehen das F (x, y) nicht<br />
senkrecht auf den Niveaumengen ϕ(x, y) = c ist.<br />
4<br />
4<br />
y<br />
2<br />
y<br />
2<br />
–4 –2 0<br />
2 4<br />
x<br />
–4 –2 0<br />
2 4<br />
x<br />
–2<br />
–2<br />
–4<br />
F (x, y) und Niveaumengen y 2 = 2c<br />
–4<br />
G(x, y) senkrecht auf ψ(x, y) = c<br />
4.3 Das Potentialkriterium<br />
Im Prinzip können wir mit dem Verfahren des letzten Abschnitts von jedem Vektorfeld<br />
feststellen ob es konservativ ist oder nicht. Falls das Vektorfeld allerdings nicht konservativ<br />
war, ist die versuchsweise Berechnung eines Potentials im Nachhinhein recht viel<br />
unnötiger Aufwand. Das in diesem Abschnitt vorgestellte Potentialkriterium erlaubt es<br />
schon im Vorwege zu entscheiden ob ein Vektorfeld ein Potentialfeld ist oder nicht.<br />
Ist F = (F 1 , . . . , F n ) ein stetig differenzierbares Potentialfeld, so gibt es nach Satz<br />
1 ein Potential ϕ mit F = grad ϕ, d.h. für 1 ≤ i ≤ n ist F i = ∂ϕ/∂x i . Für verschiedene<br />
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Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
Indizes 1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j folgt mit Satz 10.1 aus dem letzten Semester<br />
∂F i<br />
∂x j<br />
=<br />
∂2 ϕ<br />
∂x i ∂x j<br />
=<br />
∂2 ϕ<br />
∂x j ∂x i<br />
= ∂F j<br />
∂x i<br />
,<br />
und dies ist somit eine notwendige Bedingung dafür das F konservativ ist. Dies ist das<br />
sogenannte<br />
Potentialkriterium für F (x) = F 1 (x) ∂<br />
∂x 1<br />
+ · · · + F n (x) ∂<br />
∂x n<br />
:<br />
Speziell für n = 2 bedeutet dies<br />
Für alle 1 ≤ i < j ≤ n ist ∂F i<br />
∂x j<br />
= ∂F j<br />
∂x i<br />
.<br />
Potentialkriterium für F (x, y) = f(x, y) ∂<br />
∂x + g(x, y) ∂ ∂y :<br />
∂f<br />
∂y = ∂g<br />
∂x<br />
und für n = 3 wird die Bedingung zu<br />
Potentialkriterium für F (x, y, z) = f(x, y, z) ∂<br />
∂x + g(x, y, z) ∂ ∂y + h(x, y, z) ∂ ∂z :<br />
∂f<br />
∂y = ∂g<br />
∂x , ∂f<br />
∂z = ∂h<br />
∂x<br />
und<br />
∂g<br />
∂z = ∂h<br />
∂y .<br />
Das Potentialkriterium ist zunächst nur eine notwendige Bedingung, d.h. wenn F ein<br />
Potentialfeld ist, so erfüllt F auch das Potentialkriterium, aber nicht unbedingt umgekehrt.<br />
Wir betrachten zum Beispiel das folgende Vektorfeld auf U = R 2 \{0}<br />
Dann gilt<br />
und<br />
F (x, y) =<br />
(<br />
∂<br />
−<br />
y )<br />
∂y x 2 + y 2<br />
( −<br />
y )<br />
x 2 +y 2<br />
x =<br />
x 2 +y 2<br />
x ∂<br />
x 2 + y 2 ∂y −<br />
y<br />
x 2 + y 2<br />
∂<br />
∂x .<br />
= − x2 + y 2 − 2y 2<br />
(x 2 + y 2 ) 2 = y2 − x 2<br />
(x 2 + y 2 ) 2<br />
∂ x<br />
∂x x 2 + y = x2 + y 2 − 2x 2<br />
= y2 − x 2<br />
2 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) = ∂ (<br />
−<br />
y )<br />
,<br />
2 ∂y x 2 + y 2<br />
das Vektorfeld F erfüllt also das Potentialkriterium. Wir betrachten jetzt die Kurve<br />
γ, die n ∈ Z mal im Abstand R > 0 um den Nullpunkt läuft, also γ(t) =<br />
(R cos(nt), R sin(nt)), 0 ≤ t ≤ 2π. Es ist<br />
F (γ(t)) = 1 R<br />
( − sin(nt)<br />
cos(nt)<br />
)<br />
( − sin(nt)<br />
und γ ′ (t) = nR<br />
cos(nt)<br />
14-9<br />
)
Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 <strong>Montag</strong> 14.12<br />
also<br />
∮<br />
γ<br />
F (s) · ds =<br />
∫ 2π<br />
0<br />
n dt = 2πn,<br />
und somit ist F kein Potentialfeld obwohl F das Potentialkriterium erfüllt. Um besser<br />
zu sehen was hier passiert schreiben wir das Vektorfeld F in Polarkoordinaten um<br />
F (r, φ) = − sin φ<br />
r<br />
= − sin φ<br />
r<br />
∂<br />
∂x + cos φ ∂<br />
r ∂y<br />
(<br />
cos φ ∂ ∂r − sin φ<br />
r<br />
)<br />
∂<br />
∂φ<br />
+ cos φ<br />
r<br />
(<br />
sin φ ∂ ∂r + cos φ<br />
r<br />
)<br />
∂<br />
∂φ<br />
= 1 r 2 ∂<br />
∂φ .<br />
Integrieren wir dies längs einer Kurve γ(t) = (r(t), φ(t)), a ≤ t ≤ b in Polarkoordinaten,<br />
so wird<br />
∫<br />
∫ b<br />
F (s) · ds = φ ′ (t) dt = φ(b) − φ(a),<br />
γ<br />
a<br />
und dies scheint doch nur von Anfangs- und Endpunkt von γ abzuhängen. Dies ist<br />
aber nur eine Täuschung, die Polarkoordinate φ ist ja auf ganz R 2 \{0} nur bis auf<br />
additive Vielfache von 2π festgelegt. Damit ist es auch kein Zufall das bei unserem oben<br />
berechneten Kurvenintegral ∮ F · ds gerade ein Vielfaches von 2π herausgekommen<br />
γ<br />
ist. Schränken wir uns für φ auf ein Intervall der Länge 2π ein, so gibt es dagegen ein<br />
Potential nämlich ϕ(φ, r) = φ in Polarkoordinaten. Damit ist F beispielsweise auf der<br />
geschlitzten Ebene C − = C\R ≤0 ein Potentialfeld und das Argument φ = ϕ(x, y) von<br />
(x, y) ist ein Potential. Bei der Umkehrung des Potentialkriteriums ist nicht so sehr<br />
das Vektorfeld F das Problem, sondern die Menge U auf der es definiert ist.<br />
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