Montag 14.12.2009

Mathematik für Ingenieure III, WS 2009/2010 Montag 14.12
$Id: potential.tex,v 1.4 2009/12/14 15:55:24 hk Exp $
§4 Potentialfelder
4.1 Wegunabhängige Integrierbarkeit
Definition 4.1: Seien U ⊆ R n offen und F : U → R n ein stetiges Vektorfeld. Dann
heißt F ein Potentialfeld wenn für alle in U verlaufenden Kurven γ, δ mit gleichen
Startpunkt und Endpunkt stets ∫ F · ds = ∫ F · ds ist.
γ δ
In anderen Worten sollen Kurvenintegrale über das Vektorfeld F also nur von Anfangsund
Endpunkt des Integrationswegs abhängen. Anstelle von Potentialfeld“ sind auch
”
die Bezeichnungen konservatives Vektorfeld“ oder wegunabhängig integrierbares Vektorfeld“
gebräuchlich. Wie wir bereits gesehen haben ist keinesfalls jedes Vektorfeld ein
” ”
Potentialfeld, es handelt sich um eine echte Bedingung an das Vektorfeld. Haben wir ein
Potentialfeld auf einer offenen Menge U ⊆ R n , so ist es naheliegend für Kurvenintegrale
über F den Integrationsweg gar nicht hinzuschreiben, sondern nur seinen Anfangs- und
Endpunkt anzugeben, also so etwas wie ∫ q
F (s) · ds mit p, q ∈ U zu schreiben. Damit
p
dieser Ausdruck für alle möglichen p, q ∈ U sinnvoll ist, brauchen wir das es überhaupt
zu allen p, q ∈ U immer eine Kurve γ in U mit Startpunkt p und Endpunkt q gibt.
Dies bedeutet gerade das die Menge U zusammenhängend ist, denn in §9.4 im letzten
Semester hatten wir dies so definiert das sich je zwei Punkte in U sogar durch einen
Streckenzug verbinden lassen.
Definition 4.2: Eine Gebiet im R n ist eine offene, zusammenhängende und nicht leere
Menge U ⊆ R n . Sind U ⊆ R n ein Gebiet, F : U → R n ein Potentialfeld und p, q ∈ U,
so wählen wir eine Kurve γ in U mit Startpunkt p und Endpunkt q, und definieren
∫ q ∫ q
∫
F · ds = F (s) · ds := F · ds.
p
p
Mit dieser Schreibweise verhält sich das Integral über F dann so wie das eindimensionale
Rieman-Integral, für alle p, q, r ∈ U ist nämlich nach §3.Satz 2.(c,d) stets
∫ q
p
F (s) · ds +
∫ r
q
F (s) · ds =
∫ r
p
F (s) · ds und
γ
∫ p
q
F (s) · ds = −
∫ q
p
F (s) · ds.
Weiter ist ∫ p
F (s) · ds = 0 für jeden Punkt p ∈ U, d.h. das Integral von F über eine
p
geschlossene Kurve ist immer Null. Dies ist tatsächlich gleichwertig dazu das F ein
Potentialfeld ist
∮
F ist konservativ ⇐⇒ Für jede geschlossene Kurve γ in U ist F · ds = 0.
γ
14-1

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Angenommen wir haben ein Vektorfeld F dessen Integral über
jede geschlossene Kurve gleich Null ist. Seien dann γ, δ zwei
beliebige Kurven mit gleichen Anfangs- und Endpunkt. Dann
können wir die geschlossene Kurve
ɛ := γ + δ −
γ
δ
bilden, die zunächst γ entlangläuft und dann mit δ in umgekehrter
Richtung zurückläuft. Nach unserer Voraussetzung an
F ist dann
∫ ∫ ∫ ∫ ∮
F · ds − F · ds = F · ds + F · ds = F · ds = 0,
γ
δ
γ
δ − ɛ
und somit ist tatsächlich ∫ F · ds = ∫ F · ds. Wir wollen jetzt einige Beispiele konservativer
Vektorfelder durchgehen.
γ δ
Als ein einfaches Beispiel betrachten wir die Erdanziehung. Für die Menge U können
wir dann etwa U := R 3 verwenden und die Erdanziehung wird durch das konstante
Vektorfeld F (x, y, z) = −ge 3 beschrieben, wobei g die Erdbeschleunigung ist. Wenn
wir ein Kurvenintegral ∫ F · ds betrachten, so hatten wir in §3.3 bereits festgehalten
γ
das dieses Kurvenintegral gerade die von F entlang des Weges γ geleistete Arbeit ist.
In dieser Situation ist klar, das diese Arbeit nur von der Höhendifferenz des Start- und
Endpunkts der Kurve abhängt. Dies kann man auch leicht nachrechnen
∫
∫ b
F · ds = − gγ 3(t) ′ dt = g · (γ 3 (a) − γ 3 (b))
γ
a
wobei γ 3 die z-Komponente von γ ist und [a, b] für das Definitionsintervall der Kurve γ
steht. Damit ist insbesondere gezeigt das F ein Potentialfeld ist. Betrachten wir weiter
die Funktion
ϕ : U → R; (x, y, z) ↦→ −gz
so können wir unsere Gleichung als
∫ q
p
F · ds = ϕ(q) − ϕ(p)
für alle Punkte p, q ∈ U lesen. Als ein zweites Beispiel betrachten wir einmal das
Gravitationsfeld G eines fixierten Körpers K der Masse M, d.h. der Körper K wirkt
auf eine Masse m im Punkt q die Kraft F = mG(q) aus. Schon in §3.2 hatten wir die
Formel
G(q) = −γM q
|q| 3
festgehalten, wobei wir uns den Körper K im Koordinatenursprung denken. Kurvenintegrale
über das Gravitationsfeld G bedeuten dann wieder so etwas ähnliches wie
geleistete Arbeit, wird ein Körper der Masse m längs der Kurve δ im Gravitationsfeld
14-2

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G bewegt, so ist W = m ∫ G · ds die vom Gravitationsfeld geleistete Arbeit. Insbesondere
sollten die Kurvenintegrale wohl wieder nur vom Abstand des Anfangs- und
δ
Endpunkts der Kurve zum Nullpunkt abhängen. Dies rechnet man am bequemsten in
Kugelkoordinaten nach. Nach §3.4 ist der Orstvektor in Kugelkoordinaten gleich re r ,
das Gravitationsfeld schreibt sich also als
G(r, φ, ψ) = − γM r 3 re r = − γM r 2 e r = − γM r 2 ∂
∂r .
Für die Kurve δ(t) = (r(t), φ(t), ψ(t)), a ≤ t ≤ b wird
∫
∫ b
r ′ b
(t) 1
G · ds = −γM dt = γM r(t)
2
r(t) ∣ = γM
Definieren wir also
δ
a
ϕ(p) := γM
|p| ,
so haben wir erneut für alle p, q ∈ R 3 \{0} die Gleichung
∫ q
p
G(s) · ds = ϕ(q) − ϕ(p).
a
( 1
r(b) − 1 )
.
r(a)
Diese Beispiele führen auf den Begriff von Potentialen eines konservativen Vektorfelds.
Definition 4.3: Sei F ein auf einem Gebiet U ⊆ R n definiertes konservatives Vektorfeld.
Ein Potential von F ist dann eine Funktion ϕ : U → R mit
für alle p, q ∈ U.
∫ q
p
F (s) · ds = ϕ(q) − ϕ(p)
Da die ein Potential definierende Formel analog zur Berechnung des Rieman-Integrals
einer Funktion f durch eine Stammfunktion F als ∫ b
f(t) dt = F (b) − F (a) ist, spricht
a
man oft auch von einer Stammfunktion ϕ des konservativen Vektorfelds F . Auch die
Bezeichnung Potentialfeld“ für das Potential ϕ kommt vor, man sollte das dann aber
”
nicht mit dem ebenfalls als Potentialfeld bezeichneten Vektorfeld F verwechseln.
Genau wie Stammfunktionen einer reellen Funktion ist ein Potential bis auf eine
additive Konstante eindeutig. Da nur Differenzen von ϕ auftauchen, ist die Summe
eines Potentials und einer Konstanten wieder ein Potential von F . Ist umgekehrt der
Funktionswert ϕ(p) = c in einem Punkt p ∈ U festgelegt, so ist für jedes andere q ∈ U
auch
ϕ(q) = ϕ(p) + (ϕ(q) − ϕ(p)) = c +
∫ q
p
F (s) · ds
eindeutig festgelegt. Diese Formel gibt uns umgekehrt auch eine erste Möglichkeit zur
Berechnung von Potentialen. Man wählt willkürlich einen Punkt p ∈ U und einen
14-3

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Funktionswert c ∈ R im Punkt p, und definiert ϕ dann durch die obige Formel. Wenn
es überhaupt ein Potential gibt, so muss dieses ϕ dann eines sein. Etwas unschön an
dieser Formel ist noch, dass die Berechnung von ∫ q
F · ds die Wahl einer Kurve von p
p
nach q erfordert. Ein einfacher Ansatz hierfür ist die Verbindungsstrecke
γ(t) = p + t(q − p), 0 ≤ t ≤ 1,
aber im Allgemeinen muss diese natürlich nicht ganz in U verlaufen. Mengen bei denen
es ein passendes p ∈ U gibt so, dass all diese Strecken ganz in U sind, nennt man
sternförmig.
p
p+t(q−p)
q
p
Verbindungsstrecke nicht in U
Sternförmige Menge
Definition 4.4: Eine Menge A ⊆ R n heißt sternförmig bezüglich eines Punkts p ∈ A
wenn für jeden Punkt q ∈ A auch die Verbindungsstrecke {p + t(q − p)|0 ≤ t ≤ 1} ⊆ A
ganz in A liegt. Die Menge A heißt sternförmig wenn es einen Punkt p ∈ A gibt so,
dass A bezüglich des Punkts p sternförmig ist.
Haben wir ein bezüglich eines Punktes p ∈ U sternförmiges Gebiet U ⊆ R n , und ein
konservatives Vektorfeld F auf U, so wird die obige Formel für ein Potential von F zu
ϕ(q) =
∫ q
p
F (s) · ds =
∫ 1
0
F (p + t(q − p)) · (q − p) dt.
Wenn es überhaupt ein Potential von F gibt, so muss dieses eines sein. Überprüfen wir
einmal was sich im Beispiel der Erdanziehung ergibt. Der Einfachheit halber betrachten
wir diese diesmal auf dem ganzen R 3 und nehmen p = 0. Es ergibt sich dann das uns
schon bekannte Potential
ϕ(x, y, z) =
∫ 1
0
⎛
⎝
0
0
−g
⎞
⎛
⎠ · ⎝
x
y
z
⎞
⎠ dt = −gz.
14-4

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4.2 Gradientenfelder
Wir wollen nun umgekehrt von einem Potential ϕ starten und daraus ein konservatives
Vektorfeld berechnen dessen Potential dann ϕ ist. Schon im letzten Semester in §9.5
hatten wir den Gradienten von ϕ als
grad ϕ(x) :=
⎛
⎜
⎝
∂f
∂x 1
(x)
.
∂f
∂x n
(x)
definiert, d.h. als den aus den partiellen Ableitungen von f gebildeten Vektor. Damit
können wir jedem Skalarfeld ϕ auf einer offenen Menge U ⊆ R n als Ableitung das
zugehörige Gradientenfeld F = grad ϕ : U → R n zuordnen. Aus dem letzten Semester
kennen wir auch einige der geometrischen Eigenschaften des Gradientenfeldes:
1. Sind x ∈ U und u ∈ R n , so gilt die Gleichung
⎞
⎟
⎠
ϕ ′ (x)u = grad ϕ(x) · u,
die Ableitung von ϕ im Punkt x ist also durch skalare Multiplikation mit dem
Gradienten in x gegeben.
2. Das Gradientenfeld F = grad ϕ zeigt in jedem Punkt in die Richtung des stärksten
Anstiegs des Potentials ϕ.
3. Die Feldstärke |F (x)| ist in linearer Näherung der Betrag des Anstiegs von ϕ in
Richtung von F .
4. Das Gradientenfeld F steht senkrecht auf den Niveaumengen
M c := {x ∈ U|ϕ(x) = c} (c ∈ R)
von ϕ. Dies hatten wir zwar im letzten Semester nicht explizit festgehalten, es
folgt aber leicht aus den damals beschriebenen Aussagen. Ist nämlich γ eine in
einer Niveaumenge M c , c ∈ R verlaufende Kurve, also ϕ(γ(t)) = c für alle t im
Definitionsbereich von γ, so folgt durch Ableiten in x = γ(t) mit der Kettenregel
auch
0 = d dt ϕ(γ(t)) = ϕ′ (x)γ ′ (t) = grad ϕ(x) · γ ′ (t) = F (x) · γ ′ (t),
d.h. F (x) steht senkrecht auf allen in M c liegenden Kurven, und damit auf M c
selbst.
Wir wollen uns einmal zwei Beispiele zu diesen Eigenschaften des Gradientenfeldes
anschauen. Wir beginnen mit
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30
20
1
10
–1
y
0.5
0
4
3.5
3
2.5
x
2
1.5
1
1
0.5
ϕ(x, y) = tan y
x + x2 y + x3 + y 3
3
0
–0.5
y
0
–0.5
–1
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x
Niveaumengen und grad ϕ
Wir wollen uns auch noch ein dreidimensionales Beispiel
ϕ(x, y, z) = z 2 x + y cos x − 2yz + z2
2
anschauen. Da wir auf die Graphen nicht ”
von oben draufschauen“ können malen wir
jeweils nur eine Niveaufläche M c und das Gradientenfeld
6
5
4
z
3
2
1
6
5
4
z
3
2
1
6
5
4
z
3
2
1
0
0
1
2
3
y
4
0
0
0 0
0 0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
x
y
4
4
x
y
5
5
5
5
6 6
6 6
4
5
5
6 6
c = 0 c = 5 c = 10
4
2
3
x
1
0
Beachte wie die Niveaufläche für größer werdendes c der Gradientenrichtung folgt. Die
im obigen Punkt (4) verwendete Formel können wir tatsächlich auch benutzen, um
einzusehen das jedes Gradientenfeld konservativ ist. Sei nämlich ϕ : U → R eine stetig
differenzierbare Funktion auf einem Gebiet U ⊆ R n . Wir betrachten das Gradientenfeld
F = grad ϕ. Für jede ganz in U verlaufende Kurve γ : [a, b] → U haben wir dann
∫
γ
F · ds =
∫ b
a
grad ϕ(γ(t)) · γ ′ (t) dt =
∫ b
a
14-6
[ d
dt ϕ(γ(t)) ]
dt = ϕ(γ(b)) − ϕ(γ(a)).

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Damit ist F ein konservatives Vektorfeld mit
∫ q
p
F (s) · ds = ϕ(q) − ϕ(p)
für alle p, q ∈ U und insbesondere ist das Skalarfeld ϕ mit dem wir gestartet sind ein
Potential von F . Tatsächlich gilt auch die Umkehrung dieses Satzes, auf deren Beweis
wir hier aber verzichten wollen.
Satz 4.1 (Charakterisierung der Potenzialfelder)
Seien U ⊆ R n ein Gebiet und F : U → R n eine stetiges Vektorfeld auf U. Dann ist F
genau dann ein Potentialfeld wenn F ein Gradientenfeld ist, d.h. wenn es eine stetig
differenzierbare Funktion ϕ : U → R mit F = grad ϕ gibt. Die Funktionen ϕ mit dieser
Eigenschaft sind dann genau die Potentiale von ϕ.
Insbesondere haben wir damit eine erste Methode zu entscheiden ob ein Vektorfeld F
ein Potenzialfeld ist.
Gegeben: Ein stetiges Vektorfeld F auf einem Gebiet U ⊆ R n .
Aufgabe: Entscheide ob F ein Potentialfeld ist, und bestimme gegebenenfalls ein
Potential von f.
Verfahren: Wir gehen in den folgenden Schritten vor:
1. Wähle einen Punkt p ∈ U, falls möglich so das U sternförmig zu p ist.
2. Für jeden Punkt q ∈ U wähle eine Kurve γ mit Startpunkt p und Endpunkt q,
und berechne die Zahl ϕ(q) := ∫ F (s) · ds. Typischerweise wird für γ entweder
γ
die Verbindungsstrecke von p nach q genommen oder eine Kurve die aus Stücken
jeweils parallel zu einer der Koordinatenachsen zusammengesetzt ist.
3. Berechne das Gradientenfeld grad ϕ und teste ob F = grad ϕ ist. Wenn ja, so ist
F konservativ mit Potential ϕ und wenn nein so ist F nicht konservativ.
Wir wollen dieses Verfahren einmal an den beiden zu Beginn dieses Kapitels angegebenen
Vektorfeldern
( )
( )
y
y
F (x, y) =
und G(x, y) =
y − x
x − y
durchführen. Wir hatten bereits gesehen, dass F definitiv kein Potentialfeld ist, und
behauptet das G eines ist. Beide Vektorfelder sind auf U = R 2 definiert, und U ist
sternförmig zu jedem Punkt. Wir führen jetzt das obige Verfahren für beide Vektorfelder
durch und wählen p = 0. Das Kandidatenpotential ist dann für F
ϕ(x, y) =
∫ 1
0
(
aber der Gradient von ϕ ist
ty
ty − tx
) ( ) x
· dt =
y
∫ 1
( 0
grad ϕ(x, y) =
y
0
(txy + ty 2 − txy) dt = 1 2 y2
)
.
14-7

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Wie wir bereits wussten ist F also kein Potentialfeld. Für das Vektorfeld G rechnen
wir
∫ 1
( ) ( ) ∫
ty x 1
ψ(x, y) =
· dt = (txy+txy−ty 2 ) dt = 1 tx − ty y
2 (2xy−y2 ) = xy− 1 2 y2 ,
0
und diesmal ist tatsächlich
grad ψ(x, y) =
0
( y
x − y
)
= G(x, y).
Das Vektorfeld G ist also wirklich ein Potentialfeld und ψ ist ein Potential von G.
Das F nicht konservativ ist, kann man auch deutlich daran sehen das F (x, y) nicht
senkrecht auf den Niveaumengen ϕ(x, y) = c ist.
4
4
y
2
y
2
–4 –2 0
2 4
x
–4 –2 0
2 4
x
–2
–2
–4
F (x, y) und Niveaumengen y 2 = 2c
–4
G(x, y) senkrecht auf ψ(x, y) = c
4.3 Das Potentialkriterium
Im Prinzip können wir mit dem Verfahren des letzten Abschnitts von jedem Vektorfeld
feststellen ob es konservativ ist oder nicht. Falls das Vektorfeld allerdings nicht konservativ
war, ist die versuchsweise Berechnung eines Potentials im Nachhinhein recht viel
unnötiger Aufwand. Das in diesem Abschnitt vorgestellte Potentialkriterium erlaubt es
schon im Vorwege zu entscheiden ob ein Vektorfeld ein Potentialfeld ist oder nicht.
Ist F = (F 1 , . . . , F n ) ein stetig differenzierbares Potentialfeld, so gibt es nach Satz
1 ein Potential ϕ mit F = grad ϕ, d.h. für 1 ≤ i ≤ n ist F i = ∂ϕ/∂x i . Für verschiedene
14-8

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Indizes 1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j folgt mit Satz 10.1 aus dem letzten Semester
∂F i
∂x j
=
∂2 ϕ
∂x i ∂x j
=
∂2 ϕ
∂x j ∂x i
= ∂F j
∂x i
,
und dies ist somit eine notwendige Bedingung dafür das F konservativ ist. Dies ist das
sogenannte
Potentialkriterium für F (x) = F 1 (x) ∂
∂x 1
+ · · · + F n (x) ∂
∂x n
:
Speziell für n = 2 bedeutet dies
Für alle 1 ≤ i < j ≤ n ist ∂F i
∂x j
= ∂F j
∂x i
.
Potentialkriterium für F (x, y) = f(x, y) ∂
∂x + g(x, y) ∂ ∂y :
∂f
∂y = ∂g
∂x
und für n = 3 wird die Bedingung zu
Potentialkriterium für F (x, y, z) = f(x, y, z) ∂
∂x + g(x, y, z) ∂ ∂y + h(x, y, z) ∂ ∂z :
∂f
∂y = ∂g
∂x , ∂f
∂z = ∂h
∂x
und
∂g
∂z = ∂h
∂y .
Das Potentialkriterium ist zunächst nur eine notwendige Bedingung, d.h. wenn F ein
Potentialfeld ist, so erfüllt F auch das Potentialkriterium, aber nicht unbedingt umgekehrt.
Wir betrachten zum Beispiel das folgende Vektorfeld auf U = R 2 \{0}
Dann gilt
und
F (x, y) =
(
∂
−
y )
∂y x 2 + y 2
( −
y )
x 2 +y 2
x =
x 2 +y 2
x ∂
x 2 + y 2 ∂y −
y
x 2 + y 2
∂
∂x .
= − x2 + y 2 − 2y 2
(x 2 + y 2 ) 2 = y2 − x 2
(x 2 + y 2 ) 2
∂ x
∂x x 2 + y = x2 + y 2 − 2x 2
= y2 − x 2
2 (x 2 + y 2 ) 2 (x 2 + y 2 ) = ∂ (
−
y )
,
2 ∂y x 2 + y 2
das Vektorfeld F erfüllt also das Potentialkriterium. Wir betrachten jetzt die Kurve
γ, die n ∈ Z mal im Abstand R > 0 um den Nullpunkt läuft, also γ(t) =
(R cos(nt), R sin(nt)), 0 ≤ t ≤ 2π. Es ist
F (γ(t)) = 1 R
( − sin(nt)
cos(nt)
)
( − sin(nt)
und γ ′ (t) = nR
cos(nt)
14-9
)

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also
∮
γ
F (s) · ds =
∫ 2π
0
n dt = 2πn,
und somit ist F kein Potentialfeld obwohl F das Potentialkriterium erfüllt. Um besser
zu sehen was hier passiert schreiben wir das Vektorfeld F in Polarkoordinaten um
F (r, φ) = − sin φ
r
= − sin φ
r
∂
∂x + cos φ ∂
r ∂y
(
cos φ ∂ ∂r − sin φ
r
)
∂
∂φ
+ cos φ
r
(
sin φ ∂ ∂r + cos φ
r
)
∂
∂φ
= 1 r 2 ∂
∂φ .
Integrieren wir dies längs einer Kurve γ(t) = (r(t), φ(t)), a ≤ t ≤ b in Polarkoordinaten,
so wird
∫
∫ b
F (s) · ds = φ ′ (t) dt = φ(b) − φ(a),
γ
a
und dies scheint doch nur von Anfangs- und Endpunkt von γ abzuhängen. Dies ist
aber nur eine Täuschung, die Polarkoordinate φ ist ja auf ganz R 2 \{0} nur bis auf
additive Vielfache von 2π festgelegt. Damit ist es auch kein Zufall das bei unserem oben
berechneten Kurvenintegral ∮ F · ds gerade ein Vielfaches von 2π herausgekommen
γ
ist. Schränken wir uns für φ auf ein Intervall der Länge 2π ein, so gibt es dagegen ein
Potential nämlich ϕ(φ, r) = φ in Polarkoordinaten. Damit ist F beispielsweise auf der
geschlitzten Ebene C − = C\R ≤0 ein Potentialfeld und das Argument φ = ϕ(x, y) von
(x, y) ist ein Potential. Bei der Umkehrung des Potentialkriteriums ist nicht so sehr
das Vektorfeld F das Problem, sondern die Menge U auf der es definiert ist.
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