4 Das Austauschverfahren

4 Das Austauschverfahren
4.1 Motivation
Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem
a 11 x 1 + a 12 x 2 +· · ·+ a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +· · ·+ a 2n x n = b 2 (4.1)
.
.
a m1 x 1 +a m2 x 2 +· · ·+a mn x n = b m
aus m Gleichungen mit n Unbekannten. Mit
⎞
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
A =
⎜
⎟
⎝ .
.
⎠
a m1 a m2 · · · a mn
⎞
b 1
b = b 2 ⎜ ⎟
⎝ .
⎠
b m
⎞
x 1
x = x 2
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
x n
lautet es kurz
A x = b . (4.2)
Im Fall m = n könnte man probieren, (4.2) durch Inversion von A zu lösen,
x = A −1 b falls m = n det A = 0 .
Mit a = −b bringen wir (4.2) in die äquivalente sogenannte Normalform
A x + a = 0 . (4.3)
Neben (4.3) betrachten wir das sogenannte allgemeine lineare Gleichungssystem
y = A x + a . (4.4)
Interpretiert man x als Eingang und y aus Ausgang, so ist der Eingang x so zu bestimmen,
dass der Ausgang y zum Nullvektor wird.
Mit (4.4) ist die Abbildung
f : R n → R m
f(x) = A x + a
verbunden. Im Falle von a = 0 ist dies eine sogenannte lineare Abbildung, da dann
f(λx + µy) = λf(x) + µf(x)
für x y ∈ R n λ µ ∈ R
59

4 Das Austauschverfahren
gilt. Im Allgemeinen ist f nicht mehr linear, ist aber eine affin-lineare Abbildung. Interpretiert
man (4.4) zeilenweise, so ist mit (4.4) ein System von reell-wertigen affin-linearen
Funktionen
f i : R n → R f i (x) = a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n + a i
verbunden, weswegen (4.4) auch als System linearer Funktionen bezeichnet wird.
Zur Lösung des linearen Gleichungssystems (4.3) versucht man nun x so zu bestimmen,
dass (4.4) mit y = 0 gilt. Eine Idee dazu wäre, die affin-lineare Abbildung f insgesamt zu
invertieren, d. h.
f(x) = y
nach x aufzulösen. Das wird im Allgemeinen nicht gelingen.
Eine abgeschwächte Idee wäre, im Gleichungssystem f(x) = y eine Gleichung nach einer
Komponente von x aufzulösen, also eine der Funktionen f i bezüglich x i zu invertieren, und
dann die erhaltene Beziehung für x i in die anderen Gleichungen einzusetzen. Man probiert
dann das Verfahren weiter anzuwenden, bis man möglichst nach allen x i aufgelöst hat.
Beispiel 4.1. Wir betrachten
y 1 = a 11 x 1 +a 12 x 2 + a 1
y 2 = a 21 x 1 +a 22 x 2 + a 2 . (4.5)
Wir nehmen a 11 = 0 an. Dann können wir in der ersten Gleichung von (4.7) nach x 1 auflösen
und erhalten
x 1 = 1 y 1 − a 12
x 2 − a 1
.
a 11 a 11 a 11
Wegen
a 21 ( 1
a 11
y 1 − a 12
a 11
x 2 − a 1
a 11
) + a 22 x 1 + a 2 = a 21
a 11
y 1 + a 11a 22 − a 21 a 12
a 11
x 2 + a 11a 2 − a 21 a 1
a 11
ergibt sich durch Einsetzen in (4.5)
x 1 = a 11y 1 +a 12x 2 + a 1
y 2 = a 21y 1 +a 22x 2 + a 2 (4.6)
mit
a 11 = 1
a 11
a 12 = − a 12
a 11
a 1 = − a 1
a 11
a 21 = a 21
a 11
a 22 = a 11a 22 − a 21 a 12
a 11
b 2 = a 11a 2 − a 21 a 1
a 11
.
Im Unterschied zu (4.5) haben wir in (4.6) die Variablen x 1 und y 1 ausgetauscht. Gilt nun
a 22 = a 11a 22 − a 21 a 12
a 11
= 0
60

4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
so können wir auch x 2 gegen y 2 austauschen. Analog zu oben erhalten wir
mit
a
11 = a 22 a 11 − a 21 a 12
a
22
x 1 = a
11y 1 +a
12y 2 + a
1
x 2 = a
21y 1 +a
22y 2 + a
2 (4.7)
a
12 = a 12
a
22
a
22 = 1
a
22
a
21 = − a 21
a
22
Mit y 1 = y 2 = 0 lesen wir aus (4.7) die eindeutige Lösung
ab.
x 1 = a
1 x 2 = a
2
a
1 = a 21 a 1 − a 11 a 2
a 22
a
2 = − a 2
a .
22
Ziel ist nun, dass im Beispiel beschriebene Verfahren so zu verallgemeinern und zu strukturieren,
dass wir damit Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Unbekannten behandeln
können. Dazu sollte eine Schreibweise gewählt werden, die auf weitgehend auf das Nötigste
reduziert aber gut lesbar bleibt.
Mit a 10 = a 1 a 20 = a 2 könnten wir zum Beispiel (4.5) durch folgendes Tableau ersetzen:
x 1 x 2 1
y 1 a 11 a 12 a 10
y 2 a 12 a 22 a 20
4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
4.2.1 Vorbereitung
Wir schreiben das lineare Gleichungssystem (4.1)
a 11 x 1 + a 12 x 2 +· · ·+ a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 +· · ·+ a 2n x n = b 2
.
.
als Tableau
mit
a m1 x 1 +a m2 x 2 +· · ·+a mn x n = b m
x 1 x 2 · · · x n 1
y 1 a 11 a 12 · · · a 1n a 10
y 2 a 21 a 22 · · · a 2n a 20
. . . .
y m a m1 a m2 · · · a mn a m0
a i0 = −b i für i = 1 . . . m .
61

4 Das Austauschverfahren
4.2.2 Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes
Im Tableau
x 1 · · · x τ · · · x n 1
y 1 a 11 · · · a 1τ · · · a 1n a 10
. . . . .
y σ a σ1 · · · a στ · · · a σn a σ0 (T)
. . . .
y m a m1 · · · a mτ · · · a mn a m0
wollen wir x τ gegen y σ austauschen und setzen dazu
a στ = 0
voraus. Die Zeile σ heißt Pivotzeile, die Spalte τ heißt Pivotspalte und a στ heißt Pivotelement
oder Hauptstützelement.
Der Zeile σ entspricht die Gleichung
y σ = a σ1 x 1 + · · · + a στ x τ + · · · + a σn x n + a σ0 .
Lösen wir diese Gleichung nach x τ auf und ersetzen wie im Beispiel 4.1 in den anderen
Gleichungen des Gleichungssystems x τ durch den entsprechenden Ausdruck, so erhalten wir
das neue Tableau
mit den Austauschregeln
(R 1 ) a στ = − 1
a στ
(R 2 ) a σk = − a σk
a στ
(R 3 ) a iτ = a iτ
a στ
x 1 · · · y σ · · · x n 1
y 1 a 11 · · · a 1τ · · · a 1n a 10
. . . . .
x σ a σ1 · · · a στ · · · a σn a σ0 (T’)
. . . .
y m a m1 · · · a mτ · · · a mn a m0
für k = 0 . . . n mit k = τ
für i = 1 . . . m mit i = σ
(R 4 ) a ik = a ika στ − a iτ a σk
a στ
für i = 1 . . . m k = 0 . . . n mit k = τ i = σ .
Wir erhalten:
62

4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
Satz 4.2. Falls a στ = 0 gilt, kann man das Tableau (T ) in ein neues Tableau (T ) unter
Anwendung der Regeln R 1 , R 2 , R 3 , R 4 so umwandeln, dass die T) bzw. T’) entsprechenden
Gleichungssysteme äquivalent sind: Alle Werte x 1 x 2 ... x n y 1 y 2 ... y m , die (T ) erfüllen,
genügen auch (T ) und umgekehrt.
Beweis. Mit p = a στ lautet die Zeile σ von (T )
y σ = a σ1 x 1 + a σ2 x 2 + · · · + px τ + · · · + a σn x n + a σ0 .
Wegen p = a στ = 0 kann man diese Gleichung nach x τ auflösen und erhält:
x τ = a σ1
−p x 1 + a σ2
−p x 2 + · · · + 1 p y σ + a σn
−p x n + a σ0
−p
(4.8)
Durch Vergleich von (4.8) mit der Zeile σ von (T )
x τ = a σ1x 1 + a σ2x 2 + · · · + a στ y σ + · · · + α σnx n + a σ0 (4.9)
ergeben sich die Austauschregeln R 1 und R 2 . Setzt man (4.9) in die i-te Zeile (für i = σ)
y i = a i1 x 1 + a i2 x 2 + ... + a ik x k + ... + a iτ x τ + ... + a in x n + a i0
von (T ) ein, so ergibt sich, wenn man nach x 1 x 2 ... x k ... y σ ... x n ordnet
y i = (a i1 +a iτ a σ1)x 1 +(a i2 +a iτ a σ2)x 2 +· · ·+a iτ a στ y σ +· · ·+(a in +a iτ a σn)x n +(a i0 +a iτ a σ0).
Vergleicht man dies mit der Zeile i = σ von (T )
y i = a i1x 1 + a i2x 2 + · · · + a iτ y σ + · · · + a inx n + a i0
so erhält man für k = τ die Austauschregel R 4 und für k = τ unter Beachtung von a στ = 1 p
(Austauschregel R 1 ) die Austauschregel R 3 .
Somit ist gezeigt, dass man aus (T ) mit Benutzung von R 1 bis R 4 das äquivalente Tableau
(T ) erhält.
4.2.3 Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes
Ziel unseres Verfahrens ist auch, die Zahl der Rechenschritte zu minimieren. Aus Regel R 4
erhalten wir durch Kürzen
(R 4) a ik = a ik − a iτ a σk
a στ
für i = 1 . . . m k = 0 . . . n mit k = τ i = σ
was jeweils eine Multiplikation weniger als in R 4 ist. Wenden wir nun noch Regel R 2 an, so
ergibt sich
63

4 Das Austauschverfahren
(R
4) a ik = a ik + a iτ a σk für i = 1 . . . m k = 0 . . . n mit k = τ i = σ .
Da die Zahlen a σk somit zur Berechnung des neuen Tableaus mehrfach verwendet werden,
sollten wir sie an passender Stelle notieren: Wir ergänzen (T ) nach Regel R 2 durch die
Kellerzeile K der Zahlen
a σk = − a σk
a στ
für k = 0 . . . n mit k = τ
wobei wir in die Pivotspalte ein ∗ eintragen:
T x 1 · · · x k · · · x τ · · · x n 1
y 1 a 11 · · · a 1k · · · a 1τ · · · a 1n a 10
. .
.
.
.
y σ a σ1 · · · a σk · · · p · · · a σn a σ0
.
.
.
y i a i1 · · · a ik · · · a iτ · · · a in a i0
. .
.
.
.
y m a m1 · · · a mk · · · a mτ · · · a mn a m0
K a σ1 a σk ∗ a σn a σ0
.
.
Das neue Tableau (T ) erhalten wir nun durch folgende Austauschschritte:
• (A 1 ) Ersetze das Pivotelement a στ entsprechend R 1 durch − 1
a στ
.
• (A 2 ) Ersetze anderen Elemente a σk in der Pivotzeile durch die Elemente in der Kellerzeile.
• (A 3 ) Ersetze anderen Elemente a iτ in der Pivotspalte entsprechend R 3 durch a iτ
a στ
.
• (A 4 ) Ersetze schließlich alle übrigen Elemente a ik durch ihre Summe mit dem Produkt
aus dem entsprechenden Element der alten Pivotspalte a iτ und dem entsprechenden
Element a σk aus der Kellerzeile, also durch a ik + a iτ a σk .
Beispiel 4.3. Wir betrachten
64

4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
y 1 = 3x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 − 1
y 2 = 2x 1 + x 2 − 3x 3 + x 4
y 3 = x 1 − x 2 − x 4
y 4 = x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 1
d. h. das rechtsstehende Tableau
S 1 x 1 x 2 x 3 x 4 1
y 1 3 2 −1 1 −1
y 2 2 1 −3 1 0
y 3 1 −1 0 −1 0
y 4 1 2 2 0 1
K
Wir wählen σ = 3 und τ = 4 und damit das Pivotelement
a στ = −1 = 0 .
Weiter tragen wir die Kellerzeile der Zahlen
− a σk
a στ
ein.
S 1 x 1 x 2 x 3 x 4 1
y 1 3 2 −1 1 −1
y 2 2 1 −3 1 0
y 3 1 −1 0 −1 0
y 4 1 2 2 0 1
K 1 −1 0 ∗ 0
Wir wenden nun die Austauschschritte
A 1 , A 2 , A 3 und A 4 an und erhalten
S 2 x 1 x 2 x 3 y 3 1
y 1 4 1 −1 −1 −1
y 2 3 0 −3 −1 0
x 4 1 −1 0 −1 0
y 4 1 2 2 0 1
K
4.2.4 Fortsetzung des Austauschverfahrens
Das Verfahren kann immer fortgesetzt werden, wenn es im entstandenem Tableau noch ein
x τ in der Kopfzeile und ein y σ aus der linken Spalte gibt mit
a στ = 0 .
In dem Fall ist der Austausch von x τ gegen y σ durch Anwendung der entsprechenden Schritte
durch Anwendung der Schritte A 1 , A 2 , A 3 und A 4 möglich.
Beispiel 4.4. Wir setzen Beispiel 4.3 fort. Wir wollen x 3 gegen y 1 austauschen, σ = 1,
τ = 3, was wegen
möglich ist.
a στ = −1 = 0
65

4 Das Austauschverfahren
Wir ergänzen das Tableau durch die Kellerzeile
und erhalten:
S 2 x 1 x 2 x 3 y 3 1
y 1 4 1 −1 −1 −1
y 2 3 0 −3 −1 0
x 4 1 −1 0 −1 0
y 4 1 2 2 0 1
K 4 1 ∗ −1 −1
Wir wenden nun die Austauschschritte
A 1 , A 2 , A 3 und A 4 an:
S 3 x 1 x 2 y 1 y 3 1
x 3 4 1 −1 −1 −1
y 2 −9 −3 3 2 3
x 4 1 −1 0 −1 0
y 4 9 4 −2 −2 −1
K
Hier wollen wir nun x 2 gegen y 2 austauschen
und tragen die entsprechenden Kellerzeile
ein.
S 3 x 1 x 2 y 1 y 3 1
x 3 4 1 −1 −1 −1
y 2 −9 −3 3 2 3
x 4 1 −1 0 −1 0
y 4 9 4 −2 −2 −1
K −3 ∗ 1 2
3
Es verbleibt, x 1 gegen y 4 auszutauschen,
wozu die entsprechende Kellerzeile eingetragen
wird.
S 4 x 1 y 2 y 1 y 3 1
x 3 1 − 1 3
x 2 −3 − 1 3
x 4 4 1
3
y 4 −3 − 4 3
K ∗ − 4 9
0 − 1 3
1 2
3
−1 − 5 3
2 2
3
2 2
3 9
1
0
1
−1
3
1
Wir wenden die Austauschschritte A 1 ,
A 2 , A 3 und A 4 an:
S 4 x 1 y 2 y 1 y 3 1
x 3 1 − 1 3
x 2 −3 − 1 3
x 4 4 1
3
y 4 −3 − 4 3
Dieses entspricht nach Anordnung entsprechend wachsender Indizes
K
0 − 1 3
1 2
3
−1 − 5 3
2 2
3
0
1
−1
Wir wenden die Austauschschritte A 1 ,
A 2 , A 3 und A 4 an und erhalten das gesuchte
Tableau mit vollständigem Austausch:
S 5 y 4 y 2 y 1 y 3 1
x 3 − 1 − 7 2 − 1 1
3 9 3 9
x 2 1 1 −1 0 −2
x 4 − 4 − 13 5 − 7 3
3 9 3 9
x 1 − 1 − 4 2 2 1
3 9 3 9
3
x 1 = 2 3 y 1 − 4 9 y 2 + 2 9 y 3 − 1 3 y 4 + 1
x 2 = −y 1 + y 2 + y 4 − 2
x 3 = 2 3 y 1 − 7 9 y 2 − 1 9 y 3 − 1 3 y 4 + 1
x 4 = 5 3 y 1 − 13
9 y 2 − 7 9 y 3 − 4 3 y 4 + 3
66

4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus
woraus wir mit y = (y 1 y 2 y 3 y 4 ) = 0 nun die Lösung
x = (1 −2 1 3)
des Gleichungssystems leicht ablesen.
Wie wir dem entstandenem System entnehmen, haben wir eigentlich mehr berechnet als nur
die Lösung des Gleichungssystems. Die Frage wäre, was wir mehr berechnet haben und ob
wir die Rechnung nicht noch weiter reduzieren können.
Beispiel 4.5. Wir betrachten
y 1 = 2x 1 + x 2 + x 3 − 2
y 2 = x 1 − x 2 + 2
y 3 = x 1 + 5x 2 + 2x 3
y 4 = 2x 2 + x 4
bzw. nebenstehendes Tableau
Wir wollen y 4 gegen x 4 austauschen und
ergänzen um die entsprechende Kellerzeile:
S 1 x 1 x 2 x 3 x 4 1
y 1 2 1 1 0 −2
y 2 1 −1 0 0 2
y 3 1 5 2 0 0
y 4 0 2 0 1 0
K 0 −2 0 ∗ 0
Wir wollen x 1 gegen y 2 austauschen und
ergänzen um die entsprechende Kellerzeile:
S 2 x 1 x 2 x 3 y 4 1
y 1 2 1 1 0 −2
y 2 1 −1 0 0 2
y 3 1 5 2 0 0
x 4 0 −2 0 1 0
K ∗ 1 0 0 −2
S 1 x 1 x 2 x 3 x 4 1
y 1 2 1 1 0 −2
y 2 1 −1 0 0 2
y 3 1 5 2 0 0
y 4 0 2 0 1 0
Wir wenden die Austauschschritte A 1 ,
A 2 , A 3 und A 4 an:
S 2 x 1 x 2 x 3 y 4 1
y 1 2 1 1 0 −2
y 2 1 −1 0 0 2
y 3 1 5 2 0 0
x 4 0 −2 0 1 0
K
Wir wenden die Austauschschritte A 1 ,
A 2 , A 3 und A 4 an:
S 3 y 2 x 2 x 3 y 4 1
y 1 2 3 1 0 −6
x 1 1 1 0 0 −2
y 3 1 6 2 0 −2
x 4 0 −2 0 1 0
K
67

4 Das Austauschverfahren
Wir wollen y 1 gegen x 3 austauschen und
ergänzen um die entsprechende Kellerzeile:
S 3 y 2 x 2 x 3 y 4 1
y 1 2 3 1 0 −6
x 1 1 1 0 0 −2
y 3 1 6 2 0 −2
x 4 0 −2 0 1 0
K −2 −3 ∗ 0 6
Wir wenden die Austauschschritte A 1 ,
A 2 , A 3 und A 4 an:
S 4 y 2 x 2 y 1 y 4 1
x 3 −2 −3 1 0 6
x 1 1 1 0 0 −2
y 3 −3 0 2 0 10
x 4 0 −2 0 1 0
Für einen vollständigen Austausch müsste noch y 2 gegen das in der Kopfzeile verbliebene
x 2 austauschen werden. Da das zugehörige Pivotelement 0 ist, geht dies jedoch nicht. Wir
erhalten
x 1 = y 2 + x 2 − 2
x 3 = y 1 − 2y 2 − 3x 2 + 6
x 4 = y 4 − 2x 2
y 3 = 2y 1 − 3y 2 + 10 .
Auch hieran erkennt man, dass y 3 gegen kein x k mehr austauschbar ist, denn y 3 kommt nur
in der letzten Gleichung vor und diese enthält kein x k .
Wir erkennen auch, dass x = (x 1 x 2 x 3 x 4 ) nie so gewählt werden kann, dass das Gleichungssystem
mit y = (y 1 y 2 y 3 y 4 ) = 0 gelöst wird.
Entstehende Fragen sind:
Wäre ein vollständiger Austausch vielleicht möglich gewesen, wenn wir in einer anderen
Ordnung getauscht hätten?
Was besagt, dass der Austausch nicht vollständig durchgeführt werden konnte?
K
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens AV)
4.3.1 Inversion von Matrizen
Sei A = (a ij ) ij=1...n eine n-reihige Matrix. Wir betrachten die Gleichung
und damit das Tableau
y = Ax
x 1 x 2 · · · x n 1
y 1 a 11 a 12 · · · a 1n 0
y 2 a 21 a 22 · · · a 2n 0
. . . . .
y n a n1 a n2 · · · a nn 0
68

4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens AV)
Wir nehmen nun an, dass ein vollständiger Austausch der x 1 , . . . , x n gegen die y 1 , . . . , y n
durchgeführt wurde, was (nach Sortieren der Spalten und Zeilen) zum Tableau
y 1 y 2 · · · y n 1
x 1 c 11 c 12 · · · c 1n 0
x 2 c 21 c 22 · · · c 2n 0
. . . .
x n c n1 c n2 · · · c nn 0
geführt habe. Dieses entspricht der Gleichung
x = C y
mit der quadratischen Matrix C = (c ij ) ij=1...n . Mit y = Ax folgt
Ex = x = C A x
für alle x ∈ R n
und damit
d. h.,
C A = E
A −1 = C .
Mit dem Austauschverfahren haben wir also ein weiteres Verfahren zur Bestimmung der
Inversen von quadratischen Matrizen:
Satz 4.6. Wenn das Austauschverfahren mit einer quadratischen Matrix A vollständig
durchführbar ist, dann ist A invertierbar und man erhält die Inverse A −1 aus dem letzten
Tableau.
Es gilt auch die Umkehrung:
Satz 4.7. Wenn die quadratische Matrix A invertierbar ist, dann ist das Austauschverfahren
mit der quadratischen Matrix A vollständig durchführbar ist, dann ist A invertierbar und
man erhält die Inverse A −1 aus dem letzten Tableau.
Bemerkung 4.8. In den obigen Tableaus zur Berechnung von A −1 besteht die letzte Spalte
stets nur aus Nullen. Da sie keinerlei Bedeutung für die Berechnung von A −1 hat, kann sie
auch weggelassen werden.
Wir bestimmen nun die Anzahl der nötigen Multiplikationen (inklusive Divisionen) und
Additionen (inklusive Subtraktionen) für die Inversion einer n-reihigen Matrix nach obigem
Verfahren:
Wir haben n Austauschschritte durchzuführen. Je Austausch benötigen wir eine Inversion
in A 1 , n − 1 Multiplikationen zur Erzeugung der Kellerzeile für A 2 , n − 1 Multiplikationen
69

4 Das Austauschverfahren
zur Erzeugung der Elemente in der Pivotspalte und je eine Multiplikation und eine Addition
für die verbleibenden Elemente gemäß A 4 . Dies sind je Austausch (n − 1) 2 Additionen und
n 2 Multiplikationen.
Insgesamt sind höchsten (und im Allgemeinen tatsächlich)
n(n − 1) 2
n 3
Additionen
Multiplikationen
zur Berechnung der Inversen einer n-reihigen Matrix mit dem Austauschverfahren nötig.
Wir vergleichen mit der Berechnung der Inversen über die Bestimmung von Determinanten
gemäß Satz 3.59 durch
A −1 = (−1) i+k det A ik
det A . (4.10)
Bezeichnen m n und a n die Anzahl der Multiplikationen und Additionen zur Berechnung
einer n-reihigen Determinante, so benötigen wir für die Berechnung einer n-reihigen Determinanten
nach Entwicklungssatz die Berechnung von n (n−1)-reihigen Unterdeterminanten
und dann noch n Multiplikationen und n − 1 Additionen, es gilt also
m n = n · m n−1 + n a n = n · a n−1 + n − 1 .
Mit
ergibt sich
m 2 = 2 a 2 = 1
m n ≥ a n = n − 1 .
Wir erhalten beispielsweise folgende Höchstzahlen, welche in ungünstigen Fällen auch erreicht
werden:
Austauschverfahren
allein für det A
n Additionen Multiplikationen Additionen Multiplikationen
3 12 27 5 9
4 36 64 23 40
5 80 125 119 205
10 810 1000 ≈ 3.6 · 10 6 ≈ 6.2 · 10 6
100 9.801 · 10 5 10 6 ≈ 9.3 · 10 157 ≈ 1.6 · 10 158
Das Austauschverfahren ist also mindestens ab n = 5 der Berechnung über Determinanten
vorzuziehen.
Beispiel 4.9. Zu bestimmen sei die Inverse von
70

4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens AV)
A = ⎜
⎝
1 2 3 0
2 3 0 0
3 0 2 1
0 1 0 2
⎞
⎟
⎠ .
Mit Austausch von y 1 gegen x 1 erhalten
wir nebenstehendes Tableau mit entsprechender
Kellerzeile.
S 1 x 1 x 2 x 3 x 4
y 1 1 2 3 0
y 2 2 3 0 0
y 3 3 0 2 1
y 4 0 1 0 2
K ∗ −2 −3 0
Wir erhalten mit den Regeln A 1 , A 2 , A 3
und A 4
S 2 y 1 x 2 x 3 x 4
Wir erhalten mit den Regeln A 1 , A 2 , A 3
und A 4
S 3 y 1 y 4 x 3 x 4
x 1 1 −2 −3 0
y 2 2 −1 −6 0
y 3 3 −6 −7 1
y 4 0 1 0 2
K 0 ∗ 0 −2
Wir tauschen nun y 4 gegen x 2 und ergänzen
die Kellerzeile.
Wir erhalten mit den Regeln A 1 , A 2 , A 3
und A 4
S 4 y 1 y 4 x 3 y 2
x 1 1 −2 −3 4
y 2 2 −1 −6 2
y 3 3 −6 −7 13
x 2 0 1 0 −2
K −1 1
2
3 ∗
Wir tauschen nun y 2 gegen x 4 und ergänzen
die Kellerzeile.
Wir erhalten mit den Regeln A 1 , A 2 , A 3
und A 4
S 5 y 1 y 4 y 3 y 2
x 1 −3 0 9 2
x 4 −1 1
2
y 3 −10 1
2
3 1
2
32 13
2
x 2 2 0 −6 −1
K
2
64
− 1
64
∗ − 13
64
x 1 − 12
64
x 4 − 4
x 3
64
2
64
x 2
8
64
− 9
64
29
64
− 1
64
6
64
18
64
6
64
2
64
− 12
64
11
64
− 7 64
− 13
64
14
64
Wir tauschen nun y 3 gegen x 3 und ergänzen
die Kellerzeile.
Damit erhalten wir schließlich
⎞
−1 11 18 −9
A −1 = 1
64 ·
8 14 −12 6
⎜
⎟
⎝ 20 −13 2 −1
−4 −7 6 29
⎠ . 71

4 Das Austauschverfahren
4.3.2 Lösung Linearer Gleichungssysteme
Wir betrachten wir die Lösung eines linearen Gleichungssystem
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1
a 12 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 (4.11)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m
mit n Unbekannten x 1 , . . . , x n und m Gleichungen. Hierbei kann m > n m = n oder m < n
gelten. Wir haben dem Gleichungssystem das allgemeine lineare Gleichungssystem
.
y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n − b 1
y 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n − b 2 (4.12)
.
y m = a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n − b m
und diesem das Tableau
T 0 x 1 x 2 · · · x n 1
y 1 a 11 a 12 · · · a 1n a 10
y 2 a 21 a 22 · · · a 2n a 20
.
.
.
.
y m a m1 a m2 · · · a mn a m0
mit
a i0 = −b i
für i = 1 . . . m
zugeordnet. Dabei ist x = (x 1 x 2 . . . x n ) genau dann eine Lösung von (4.11), wenn (4.12)
für dieses x = (x 1 x 2 . . . x n ) mit y = (y 1 y 2 . . . y m ) erfüllt ist.
Nach Satz 4.2 verwandelt jeder Austauschschritte eines x τ in der Kopfzeile gegen ein y σ in
der linken Spalte das Tableau (T 0 ) in ein äquivalentes Tableau (T 1 ): Alle Werte x 1 , x 2 , . . . ,
x n , y 1 , y 2 , . . . , y m , die (T ) erfüllen, genügen auch (T ) und umgekehrt.
Um nun (4.11) zu lösen, tauscht man ausgehend von (T 0 ) schrittweise und solange es möglich
ist, Variable y k in der linken Spalte gegen geeignete x i in der Kopfzeile aus und erzeugt so
eine Abfolge von Tableaus (T ). Diese Tableau sind ebenfalls alle äquivalent.
Das letzte Tableau (T e ) nach e Austauschschritten, bei dem kein weiterer Austausch mehr
möglich sei, habe die Form
72

4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens AV)
T e y i1 · · · y ie x ke1 · · · x kn 1
x k1 µ 11 · · · µ 1e µ 1e+1 · · · µ 1n µ 10
.
.
.
.
.
.
x ke µ e1 · · · µ ee µ ee+1 · · · µ en µ e0
y ie1 µ e+11 · · · µ e+1e µ e+1e+1 · · · µ e+1n µ e+10
.
.
.
.
.
.
y im µ m1 · · · µ me µ me+1 · · · µ mn µ m0
Hierbei seien schon die Zeilen im Tableau so sortiert, dass in den ersten e Zeilen die aus
der Kopfzeile in die linke Spalte getauschten Variablen x k1 bis x ke stehen, welche gegen die
y i1 bis y ie getauscht wurden. Danach kommen die Zeilen mit den m − e nichtausgetauchten
Variablen y ie1 bis y im . Entsprechend seien auch die Spalten sortiert: Zuerst die e Spalten zu
den eingetauschten y i1 bis y ie und dann die n − e Spalten der in der Kopfzeile verbliebenen
x ke+1 bis x kn .
Dabei können folgende Fälle eintreten:
Fall 1 Der Austausch ist vollständig möglich. Es gilt m = e und man erhielt das Tableau
T m y i1 · · · y im x km1 · · · x kn 1
x k1 µ 11 · · · µ 1m µ 1m+1 · · · µ 1n µ 10
.
.
.
.
.
.
Mit y i1 = · · · = y im = 0 liest man
x km µ m1 · · · µ mm µ mm+1 · · · µ mn µ m0
x k1 = µ 1m+1 x km1 + · · · + µ 1n x kn + µ 10
.
x km = µ mm+1 x km1 + · · · + µ 1mn x kn + µ m0
ab, wobei die n − m Zahlen x km1 bis x kn freie Parameter sind: Das Gleichungssystem
(4.11) ist lösbar. Man erhält eine (n − m)-parametrische Lösungsschar zu 4.11.
Fall 2 Der Austausch ist nicht vollständig möglich. Es gilt e < m und man erhielt das
Tableau
T e y i1 · · · y ie x ke1 · · · x kn 1
x k1 µ 11 · · · µ 1e µ 1e+1 · · · µ 1n µ 10
.
.
.
.
.
.
x ke µ e1 · · · µ ee µ ee+1 · · · µ en µ e0
y ie1 µ e+11 · · · µ e+1e 0 · · · 0 µ e+10
.
.
.
.
.
.
y im µ m1 · · · µ me 0 · · · 0 µ m0
73

4 Das Austauschverfahren
mit den 0-Einträgen unten rechts – andernfalls wäre eine weiterer Austausch möglich
gewesen. Die letzten m − e Zeilen der nicht ausgetauschten y ie1 bis y im lauten nun
y ie1 = µ e+11 y i1 + · · · + µ e+1e y ie + µ e+10
.
y im = µ m1 y i1 + · · · + µ me y ie + µ m0 .
Fall 2a Es gilt µ e+10 = · · · = µ m0 = 0. In diesem Fall können alle y i als 0 gewählt
werden, wie es für die Lösung des Gleichungssystem benötigt wird. Mit
liest man
y i1 = · · · = y ie = 0
x k1 = µ 1e+1 x ke1 + · · · + µ 1n x kn + µ 10
.
x ke = µ ee+1 x ke1 + · · · + µ 1en x kn + µ e0
aus dem Tableau ab, wobei die n − e Zahlen x ke1 bis x kn freie Parameter sind:
Das Gleichungssystem (4.11) ist lösbar. Man erhält eine (n − e)-parametrische
Lösungsschar zu 4.11.
Fall 2b Mindestens eines der µ e+10 bis µ m0 ist 0. In diesem Fall können nicht alle
y i als 0 gewählt werden, wie es für die Lösung des Gleichungssystem benötigt
wurde: Das Gleichungssystem (4.11) ist nicht lösbar.
Obige Fallunterscheidung und die erhaltenen Lösungsdarstellung zeigen, dass die Werte der
Koeffizienten µ ik , i = 1 . . . m, k = 1 . . . e in den ersten e Spalten der in die Kopfzeile eingetauschten
y i1 bis y ie weder für die Lösbarkeitsentscheidung noch für die Lösungsdarstellung
benötigt werden: Sie brauchen daher gar nicht erst berechnet werden.
Dies führt zum
Austauschverfahren mit Spaltentilgung AVS): In jedem Austauschritt wird die aus
der Pivotspalte eigentlich entstehende neue Spalte weggelassen, da in ihr auch in den weiteren
Schritten nun nur noch Koeffizienten zum einem in die Kopfzeile eingetauschten y i stehen
und diese Koeffizienten auch keinerlei Einfluss mehr auf die weitere Rechnung haben.
Das letzte Tableau hat dann die Form
T e x ke1 · · · x kn 1
x k1 µ 1e+1 · · · µ 1n µ 10
.
.
.
.
x ke µ ee+1 · · · µ en µ e0
y ie1 µ e+1e+1 · · · µ e+1n µ e+10
.
.
.
.
y im µ me+1 · · · µ mn µ m0
74

4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens AV)
Dieses ergibt
x k1 = µ 1e+1 x ke1 + · · · + µ 1n x kn + µ 10
.
x ke = µ ee+1 x ke1 + · · · + µ 1en x kn + µ e0
mit den n − e freien Parametern x ke1 bis x kn genau dann, wenn µ e+1 0 = · · · = µ m0 = 0
gilt.
Beispiel 4.10. Für das lineare Gleichungssystem
erhält man mit dem AVS
x 1 − 2x 2 + 4x 3 − x 4 = 2
−3x 1 + 3x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 3
2x 1 − 3x 2 + 5x 3 − 3x 4 = −1
T 1 x 1 x 2 x 3 x 4 1
y 1 1 −2 4 −1 −2
y 2 −3 3 −3 4 −3
y 3 2 −3 5 −3 1
K ∗ 2 −4 1 2
T 3 x 2 x 3 1
x 1 3 −7 7
y 2 −2 6 −4
x 4 1 −3 5
K ∗ 3 −2
T 2 x 2 x 3 x 4 1
x 1 2 −4 1 2
y 2 −3 9 1 −9
y 3 1 −3 −1 5
K 1 −3 ∗ 5
T 4 x 3 1
x 1 2 1
x 2 3 −2
x 4 0 3
Der Austausch konnte vollständig durchgeführt werden (Fall 1). Wir lesen
x 1 = 2x 3 + 1 x 2 = 3x 3 − 2 x 4 = 3
mit dem freien Parameter x 3 ab. Die Gesamtheit der Lösungen ist folglich durch
gegeben.
x 1 = 2t + 1 x 2 = 3t − 2 x 3 = t x 4 = 3 für t ∈ R
Eine weitere Verkürzung des Verfahrens kann man in der Weise durchführen, dass man in
Ergänzung zu AVS sich jeweils die aus der Pivotzeile ergebende Gleichung notiert, diese
Zeile aber nicht mit ins Tableau übernimmt. Man erhält das
Austauschverfahren mit Spalten- und Zeilentilgung AVSZ): In jedem Austauschschritt
werden die aus Pivotspalte bzw. Pivotzeile eigentlich entstehende neue Spalte bzw.
Zeile weggelassen, während der Inhalt der eigentlich aus der Pivotzeile entstehenden Zeile
extra als Gleichung notiert wird.
75

4 Das Austauschverfahren
Beispiel 4.11. Ein Unternehmen stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1 , F 2 , F 3 , F 4
vier Produkte P 1 , P 2 , P 3 , P 4 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von P j , j =
1 . . . 4, werden a ij Mengeneinheiten von F i , i = 1 2 3, benötigt. Mit x j bezeichnen wir die
herzustellenden Mengeneinheiten von P j mit b j die benötigten Mengeneinheiten von F i . Die
entsprechende Koeffizientenmatrix sei
Man erhält das Gleichungssystem
⎞
2 0 4 4
⎜
⎟
A = (a ij ) i=123 j=1234 = ⎝ 6 9 3 0⎠
12 18 6 0
2x 1 + 4x 3 + 4x 4 = b 1
6x 1 + 9x 2 + 3x 3 = b 2
12x 1 + 18x 2 + 6x 3 = b 3
für die Mengeneinheiten x j von P j bei vorgegebenen Mengeneinheiten b i von F i .
Mittels AVSZ ergibt sich dann
T 1 x 1 x 2 x 3 x 4 1
y 1 2 0 4 4 −b 1
y 2 6 9 3 0 −b 2
y 3 12 18 6 0 −b 3
K ∗ 0 −2 −2 − 1 2
S 2 x 2 x 3 x 4 1
y 2 9 −9 −12 3b 1 − b 2
y 3 18 −18 −24 6b 1 − b 3
K ∗ 1 4 1
3 9 (b 2 − 3b 1 )
mit
und schließlich
x 1 = −2x 3 − 2x 4 + b 1
2
S 3 x 3 x 4 1
y 3 0 0 2(b 2 − 3b 1 ) + 6b 1 − b 3
mit
x 2 = x 3 + 4 3 x 4 + 1 9 (b 2 − 3b 1 ) .
Das Gleichungssystem ist also genau dann lösbar (Fall 2a), wenn
2(b 2 − 3b 1 ) + 6b 1 − b 3 = 0
gilt, d. h., wenn
2b 2 = b 3
76

4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens AV)
gilt. In diesem Fall hat die allgemeine Lösung die Form
x 1 = −2t 1 − 2t 2 + b 1
2
x 2 = t 1 + 4 3 t 2 + 1 9 (b 2 − 3b 1 )
x 3 = t 1
x 4 = t 2 .
Dabei sind t 1 und t 2 beliebig reelle Zahlen, die natürlich so gewählt werden müssen, dass
gilt.
x 1 ≥ 0 . . . x 4 ≥ 0
Beispiel 4.12. Es wird nochmals die schon in Beispiel 3.32 behandelte Matrix der Käuferfluktuationen
⎜
0.6 0.1 0.4
⎞
⎟
A = ⎝0.1 0.9 0.4⎠
0.3 0.0 0.2
betrachtet. Eine Marktverteilung – beschrieben durch die Marktanteile x 1 , x 2 , x 3 der Produkte
P 1 , P 2 , P 3 – heißt stationär, wenn sie bei einem Übergang von T 0 zu T 1 unverändert
bleibt, d.h.
⎞
x 1
⎜ ⎟ ⎜
0.6 0.1 0.4
⎞
⎟ ⎜
x ⎞
1 ⎟
⎝x 2 ⎠ = ⎝0.1 0.9 0.4⎠
⎝x 2 ⎠
x 3 0.3 0.0 0.2 x 3
oder in Matrizenschreibweise
x = Ax mit x = (x 1 x 2 x 3 )
Die stationären Markanteile x 1 , x 2 , x 3 sind dann wegen x = Ex die Lösung des Gleichungssystems
(E − A)x = 0
d. h. von
0.4x 1 − 0.1x 2 − 0.3x 3 = 0
−0.1x 1 + 0.1x 2 = 0
−0.4x 1 − 0.4x 2 + 0.8x 3 = 0 .
Geht man davon aus, dass der Markt vollständig durch P 1 , P 2 , P 3 abgesättigt wird, ergibt
sich außerdem die zusätzliche Gleichung
x 1 + x 2 + x 3 = 1 .
Das vollständige Gleichungssystem für die stationären Marktanteile x 1 , x 2 , x 3 wird dann
mittels AVSZ folgendermaßen gelöst:
77

4 Das Austauschverfahren
S 1 x 1 x 2 x 3 1
y 1 0.4 −0.1 −0.3 0
y 2 −0.1 0.1 0 0
y 3 −0.4 −0.4 0.8 0
y 4 1 1 1 −1
K ∗ −1 −1 1
S 3 x 3 1
y 1 −0.45 0.15
y 3 1.2 −0.4
K ∗ 1
3
S 2 x 2 x 3 1
y 1 −0.5 −0.7 0.4
y 2 0.2 0.1 −0.1
y 3 0 1.2 −0.4
K ∗ −0.5 0.5
S 4 1
y 1 0
mit
x 1 = −x 2 − x 3 + 1 x 2 = −0.5x 3 + 0.5 x 3 = 1 3 .
Wir erhalten
x 3 = 1 3
x 2 = −0.5 · 1
3 + 0.5 = 1 3
x 1 = − 1 3 − 1 3 + 1 = 1 3 .
Wir schließen diesen Abschnitt wieder mit Überlegungen zur Anzahl der maximal benötigten
Additionen und Multiplikationen bei AVMZ. Wir beschränken uns dabei auf den Fall m =
n, um mit der Cramer-schen Regel vergleichen zu können und gehen davon aus, dass der
Austausch vollständig möglich ist: Im ersten Schritt sind n Multiplikationen zur Erzeugung
der Kellerzeile (und der notierten Gleichung) erforderlich. Für die restlichen n · (n − 1)
Einträge sind je eine Addition und eine Multiplikation erforderlich. Dies ergibt
n(n − 1)
n 2
Additionen
Multiplikationen.
Insgesamt sind dies
n
k(k − 1) = 1 3 (n3 − n)
k=2
n
k 2 = 1 3 n3 + 1 3 n2 + 1 6 n − 1
k=2
Additionen
Multiplikationen.
Noch nicht einberechnet wurden die Additionen und Multiplikationen zur Auswertung der
notierten Gleichungen. Es wurden aber auch noch die Additionen und Multiplikationen
78

4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens AV)
zur Berechnung der n weiteren Determinanten und die zugehörige Division einbezogen.
Schlimmstenfalls, d. h. ohne effiziente Zwischenspeicherung, wären die Einträge für det A
noch mit n + 1 zu multiplizieren, was die letzten Spalten ergibt.
Wir erhalten beispielsweise folgende Höchstzahlen, welche in ungünstigen Fällen auch erreicht
werden:
AVSZ
allein für det A
n Add. Mult. Add. Mult. Add. Mult.
3 8 13 5 9 20 36
4 20 29 23 40 115 200
5 40 54 119 205 714 1230
10 330 384 ≈ 3.6 · 10 6 ≈ 6.2 · 10 6 ≈ 4 · 10 8 ≈ 6.8 · 10 8
100 ≈ 3.3 · 10 5 ≈ 3.4 · 10 5 ≈ 9.3 · 10 157 ≈ 1.6 · 10 158 ≈ 9.5 · 10 159 ≈ 1.6 · 10 160
Das AV und erst recht das AVSZ ist also ziemlich effizient, während die Cramer-sche Regel
für größere n in praktischen Rechnung unbrauchbar ist.
4.3.3 Berechnung von Determinanten
Auch die Berechnung von Determinanten einer n-reihigen Matrix A kann mit dem Austauschverfahren
sehr effizient durchgeführt werden: Man verwendet AVSZ für das zu A
gehörige Tableau (ohne letzte Spalte), notiert sich anstelle der aus der Pivotzeile entstehenden
Gleichung die Folge der Pivotelemente p und die jeweiligen Indizes σ und τ der Zeilen
bzw. Spalte des Pivotelements. Dann gilt
Beispiel 4.13. Zu bestimmen ist
det A =
det ⎜
⎝
n
(−1) σ +τ
p .
=1
Mit AVSZ erhalten wir die Folge von Tableaus
1 0 3 4
0 −4 1 7
8 4 0 1
2 2 0 1
⎞
⎟
⎠ .
S 1 x 1 x 2 x 3 x 4
y 1 1 0 3 4
y 2 0 −4 1 7
y 3 8 4 0 1
y 4 2 2 0 1
K ∗ 0 −3 −4
S 2 x 2 x 3 x 4
y 2 −4 1 7
y 3 4 −24 −31
y 4 2 −6 −7
K 4 ∗ −7
S 3 x 2 x 4
y 3 −92 137
y 4 −22 35
K ∗ 35
22
S 4 x 2
y 3
− 26
22
79

4 Das Austauschverfahren
und damit
⎞
1 0 3 4
0 −4 1 7
det ⎜
⎟
⎝ 8 4 0 1 ⎠ = (−1) 1+1 · 1 · (−1) 1+2 · 1 · (−1) 2+1 (−22) ·(−1) 1+1 ( 26
22 )
2 2 0 1
= 206 .
Offenbar erfolgte auch hier die Berechnung sehr effizient.
80

Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Funktionen 5
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Äquivalenz von aussagenlogischen Ausdrücken . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Prädikative Ausdrücke, Quantifikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.7 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Regeln für das Rechnen mit Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Mengenfamilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Kartesisches Produkt und Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Abbildungen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Zahlen 25
2.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Menge der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Prinzip der rekursiven Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1.1 Anordnung ohne Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1.2 Anordnung mit Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2.1 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2.2 Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung 29
2.2.3 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3.1 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3.2 Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
81

Inhaltsverzeichnis
2.3 Rationale und Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 Weitere Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Gemeinsame Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen . . . . . 32
2.3.2.1 Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2.2 Ordnungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Unterschiede der rationalen und reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Äquivalente Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Rechnen mit Beträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Weitere Definitionen und Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.1 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.2 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.3 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Matrizen und Determinanten 39
3.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Matrizen und Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.3 Addition und Subtraktion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.4 Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.5 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.6 Lineare Gleichungssysteme in Matrizen-Darstellung . . . . . . . . . . . 49
3.1.7 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Der Begriff der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Das Rechnen mit Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme im Fall m = n . . . . . . 55
3.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Das Austauschverfahren 59
4.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Das Austauschverfahren als Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes . . . . . . . 62
4.2.3 Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes . . . . . . . . 63
4.2.4 Fortsetzung des Austauschverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Anwendungen des Austauschverfahrens (AV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1 Inversion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 Lösung Linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.3 Berechnung von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
82

Index
Äquivalenz, 5
Äquivalenzrelation, 14
äquivalent, 6
Abbildung, 14, 16
Abbildung, affin-lineare, 60
Abbildung, identische, 20
Abbildung, lineare, 59
Abbildung, surjektive, 17
Addition, 32
All-Quator, 7
Antisymmetrie, 33
Argument, 16
Assoziativgesetz, 6, 12, 32
Aussage, 5
Aussageform, 5
Aussagevariable, 5
Austauschregeln, 62
Basen, negative, 38
Betrag, 35
Betragsungleichung, 36
Bijektion, 20
bijektiv, 20
Bild, 18
Definition, rekursive, 26
Definitionsbereich, 17
Determinante, 42, 51–53, 56, 57
Determinante, Eigenschaften, 54
Differenz, 11
Differenz von Matrizen, 45
Differenz, symmetrische, 11
disjunkt, 11
Disjunktion, 5
Distributivgesetz, 6, 12
Division, 32
Dreieck, Pascalsches, 30
Dreiecksmatrix, 52
Dreiecksungleichung, 37
Durchschnitt, 11, 13
durchschnittsfremd, 11
Einheitsmatrix, 44
Entwicklung, 53
Existenz-Quantor, 7
Fallunterscheidung, 36
Funktion, 14, 16
Funktion, eineindeutige, 18
Funktion, gleichheit, 17
Funktion, injektive, 18
Funktion, surjektive, 17
Gleichungssystem, allgemeines lineares, 59
Gleichungssystem, homogenes lineares, 56
Gleichungssystem, inhomogenes lineares, 56
Gleichungssystem, lineares, 42, 55, 58
Graph, 17
Hauptstützelement, 62
Identität, 20
Implikation, 5
Indexmenge, 13
Input-Output-Koeffizient, 41
invertierbar, 50
Körper, 32
Körper, total angeordneter, 33
Kellerzeile, 64
Koeffizientenmatrix, 42
Kombination, 29
Kombinationen, 29
Kommutativgesetz, 6, 12
Komplement, 12
Komposition, 18
Konjunktion, 5
83

Index
Lösung, 42
Lehrsatz, binomischer, 37
linkseindeutig, 15
linkstotal, 15
Logarithmengesetze, 38
Logarithmus, 38
Matrix, 39, 51, 53, 56
Matrix, inverse, 50
Matrix, invertierbare, 55–57
Matrix, quadratische, 44
Matrix, Rechenregeln, 51
Matrix, symmetrische, 44
Matrix, transponierte, 43
Matrixgleichung, 51
Menge, 7
Menge, leere, 10
Mengengleichheit, 9
Multiplikation, 32
Negation, 5
Normalform, 59
Nullmatrix, 43
Ordnung, totale, 33
Ordnungsrelation, 14, 32
Output-Bilanz, 41
Paar, geordnetes, 13
Permutation, 26
Pivotelement, 62
Pivotspalte, 62
Pivotzeile, 62
Potenz, n-te, 37
Potenzen mit natürlichen Exponenten, 26
Potenzen mit rationalen Exponenten, 38
Potenzgesetze, 38
Potenzmenge, 37
Potenzmenge, 10
Prädikat, einstufiges, 6
Prädikat, zweistufiges, 6
Prinzip der vollständigen Induktion, 25
Produkt von Matrizen, 47
Produkt, kartesisches, 13, 14
Produktionskoeffizient, 41
Produktmatrix, 47
Produktzeichen, 36
Quantifikator, restringierter, 7
rechtseindeutig, 15
Reflexivität, 33
Regel, Cramersche, 57, 58
Regeln, de Morgansche, 6, 12
Reihenfolge, 26, 29
Relation, 14
Sarrus-Regel, 43
Seite, rechte, 42
Skalarprodukt, 47
Spalte, 40
Spaltenvektor, 40
Subtraktion, 32
Summe von Matrizen, 45
Summenzeichen, 36
System linearer Funktionen, 60
Teilmenge, 9
Teilmengen, 30
Transitivgesetz, 33
Trichotomie-Eigenschaft, 33
Typ einer Matrix, 39
Umformungen, äquivalente, 34
Umkehrabbildung, 20
Urbild, 18
Variation, 28
Vektor, 40
Vektor der Absolutglieder, 42
Vektor der Unbekannten, 42
Vereinigung, 11, 13
Verkettung, 18
Wahrheitswert, 5
Wertebereich, 17
werteverlaufsgleich, 6
Wiederholung, 26, 29
Wurzel, n-te, 37
Zahl, irrationale, 38
Zahl, negative, 33
84

Index
Zahl, nichtnegative, 33
Zahl, nichtpositive, 33
Zahl, positive, 33
Zahlengeraden, 36
Zeile, 40
Zeilenvektor, 40
85