Der Vektorraum R^n - Fachbereich 4: HTW Berlin

Der Vektorraum R n
Im Folgenden rekapitulieren wir die wichtigsten Fakten über den Vektorraum R n .
• R n = R × · · · × R = {(x 1 , ..., x n ) | x 1 , ..., x n ∈ R}
• Die Elemente des R n heißen (n-dimensionale) Vektoren. Bezeichnung entweder mit
Fettdruck x, mit Vektorpfeil ⃗x oder ohne zusätzliche Kennung x. Letzteres nur,
wenn eindeutig klar ist, dass es sich um einen Vektor handelt und keine (reelle)
Zahl. Der k-te Eintrag x k in (x 1 , ..., x n ) heißt die k-te Komponente oder Koordinate
des Vektors.
• Die korrekte Notation für einen Vektor lautet
⎛ ⎞
x 1
x 2
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
x n
also die Darstellung als Spaltenvektor (im Gegensatz zum Zeilenvektor (x 1 , ..., x n )).
Durch Transponieren wird ein Spalten- zu einem Zeilenvektor und umgekehrt:
⎛
⎜
⎝
t
⎞
x 1
x 2
⎟
. ⎠
x n
= (x 1 , ..., x n ) sowie (x 1 , ..., x n ) t = ⎜
⎝
⎛
⎞
x 1
x 2
⎟
. ⎠
x n
Aus Platzgründen verwenden wir meist die Zeilenschreibweise und nennen das Ganze
dann trotzdem ⃗x (nicht ⃗x t ), wenn keine besonderen Gründe für die Verwendung der
exakten Notation vorliegen.
• Vektoren kann man addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren:
– (x 1 , ..., x n ) + (y 1 , ..., y n ) := (x 1 + y 1 , ..., x n + y n )
– λ · (x 1 , ..., x n ) := (λx 1 , ..., λx n )
Es gibt ein neutrales Element der Addition: ⃗0 = (0; ...; 0), der Nullvektor.
• Einen Vektor ⃗x kann man darstellen als Punkt im R n oder als Pfeil vom Nullpunkt
zum Punkt (x 1 , ..., x n ), den sog. Ortsvektor. Dazu muss zunächst ein Koordinatensystem
festgelegt werden.
In der bildlichen Darstellung kann man Addition und skalare Multiplikation veranschaulichen:
Die Addition entspricht der Parallelogrammkonstruktion, die skalare
Mutiplikation ist eine Verlängerung (|λ| > 1) bzw. Stauchung (|λ| < 1), evtl. auch
in die Gegenrichtung (λ < 0)

• Besondere Vektoren sind
⃗e k := (0; ...; 0; 1; 0; ...; 0) (1 ≤ k ≤ n)
wobei die 1 an der k-ten Stelle steht. Das sind die sog. Standard- oder Einheitsvektoren.
Bei der bildlichen Darstellung liegen sie auf den Koordinatenachsen im
jeweiligen Wert 1.
• Für ⃗x = (x 1 , ..., x n ) gilt
⃗x =
n∑
x k · ⃗e k = x 1 · ⃗e 1 + . . . + x n · ⃗e n .
k=1
• In 2 bzw. 3 Dimensionen schreibt man oft x, y, z statt x 1 , x 2 , x 3 .