2. Rechenübung - Fachrichtung Mathematik - Technische ...

Dr. Hans-Otfried Müller
Institut für Mathematische Stochastik
Fachrichtung Mathematik
Technische Universität Dresden
http://www.math.tu-dresden.de/sto/mueller/
Statistik I (Sozialwissenschaften)
2. Rechenübung, WS 2012/2013, 26.11.–30.11.2012
In dieser Übung werden zunächst vorhandene Überhänge aus der 1. Rechenübung
(z.B. Boxplots) besprochen.
Bereiten Sie von diesen Zetteln die Aufgaben 12, 15 und 16 für die 2. Rechenübung
vor.
12. Bei 150 Akten zu Steuerhinterziehungen fand man die folgende gemeinsame Häufigkeitsverteilung
der Variablen X (Schulabschluss) und Y (Entdeckungszeitraum).
X (Schulabschluss)
1 (Volksschule)
2 (höhere
Schule)
∑
Y(Entdeckungszeitraum)
∑
1 (bereits 2 (innerhalb 3 (nach
bei Versuch eines Jahres einem Jahr
entdeckt) entdeckt) entdeckt)
36 30 120
40 150
16
(a) Vervollständigen Sie die Tabelle.
(b) Ist der Anteil der erst nach einem Jahr entdeckten Steuerhinterziehungen bei den
Tätern mit höherem Schulabschluss größer als bei den Volksschülern?
(c) Wie groß ist der Anteil der spätestens bis Ende eines Jahres ertappten Steuersünder?
(d) Haben die Volksschüler unter denen, die bereits beim Versuch ertappt wurden,
einen größeren Anteil als unter allen Steuersündern?
(e) Berechnen Sie Prozentsätze in den Zeilen, d.h. die bedingten Verteilungen von Y
unter den verschiedenen Ausprägungen von X sowie die (relative) Randverteilung
von Y, und stellen Sie diese in Form gestapelter Balkendiagramme für die Kategorien
von X dar. Kann man aus dieser Darstellung auf eine Abhängigkeit des
Entdeckungszeitraumes vom Schulabschluss schließen?
(f) Berechnen Sie ausgehend von den Randverteilungen die Anzahl in den einzelnen
Zellen, die sich im Falle der empirischen Unabhängigkeit ergeben würde (Indifferenztabelle,
erwartete Häufigkeiten).
(g) Berechnen Sie den Wert χ 2 = ∑ (h ij − ˜h ij ) 2
als Maß für die Abweichung der
˜h
i,j ij
beobachteten Tabelle von der bei Unabhängigkeit zu erwartenden Tabelle.
15

13. Während der ALLBUS–Umfrage 1988 wurden Kirchenmitglieder zur Häufigkeit ihres
Kirchganges befragt. Für die beiden in Deutschland bedeutendsten Kirchen sind in der
folgenden Tabelle diese Häufigkeiten dargestellt:
Evang.
Kirche
Röm.–
kath.
Kirche
mind. 1mal 1–3mal mehr- seltener nie Gesamt
2mal pro pro im mals
Woche Woche Monat im Jahr
5 55 110 308 560 234 1272
56 289 215 328 345 156 1389
Gesamt 61 344 325 636 905 390 2661
(a) Gibt es bezüglich der Anteile derjenigen Kirchenmitglieder, die die Kirche nie
besuchen, Unterschiede zwischen der evangelischen und der römisch–katholischen
Kirche?
(b) Wie groß ist der Anteil der Kirchgänger insgesamt, die wöchentlich oder häufiger
die Kirche besuchen?
(c) Bestimmen Sie die erwarteten Häufigkeiten für die Kategorien seltener“ und
”
nie“. Beurteilen Sie anhand der erhaltenen Resultate, ob empirische Unabhängigkeit
zwischen Konfession und Häufigkeit des Kirchganges
”
vorliegt.
14. Gegeben sind die folgenden Messwertpaare:
X1 Y1 X2 Y2
2,33 2,08 3,40 -7,48
4,96 1,72 2,01 -3,43
2,80 0,71 2,66 -5,93
3,59 1,65 4,33 -9,20
3,45 2,56 4,25 -12,01
3,64 3,27 2,81 -4,91
3,04 1,21 4,70 -11,59
3,00 1,58 2,83 -5,68
3,41 2,13 4,93 -13,39
2,03 2,92 2,63 -3,87
(a) Skizzieren Sie die zugehörigen Scatterplots.
(b) Berechnen Sie getrennt für beide Stichproben arithmetische Mittelwerte, Standardabweichungen,
Varianzen, Pearsonsche Korrelationskoeffizienten.
(c) Berechnen Sie außerdem die Rangkorrelationskoeffizienten.
(d) Interpretieren Sie die Ergebnisse.
16

15. Die folgende Tabelle enthält die Klausurergebnisse einer Gruppe von Studenten in
einer Mathematik- und einer Statistikklausur.
Student Punkte Punkte
Mathematik
Statistik
1 38 39
2 47 34
3 44 31
4 51 48
5 35 46
6 29 23
7 22 17
8 14 12
9 12 16
10 19 28
11 9 10
(a) Welches Skaleniveau weisen die Variablen Punkte Mathematik und Punkte
Statistik auf?
(b) Berechnen Sie für die Variable Punkte Mathematik folgende beschreibende
Statistiken: arithmetisches Mittel, Median, unteres Quartil, oberes Quartil, Standardabweichung,
Quartilsabstand, und zeichnen Sie den Boxplot.
(c) Wieviel Prozent der Werte einer beliebigen Datenreihe liegen (näherungsweise)
zwischen dem oberen und dem unteren Quartil?
16. (a) Stellen Sie den in Aufgabe 15 angegebenen Datensatz mit Hilfe eines Scatterplots
grafisch dar. Verwenden Sie dazu das vorbereitete Koordinatensystem:
Scatterplot
56 ✻
52
P unkte 48
44
40
36
S 32
tatistik
28
24
20
16
12
8
4
0
✲
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56
Punkte Mathematik
(b) Berechnen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten für die Variablen
Punkte Mathematik und Punkte Statistik.
(c) Wie ist die Abhängigkeit zwischen den beiden Datenreihen einzuschätzen (stark,
mittel, schwach, nicht vorhanden)?
(d) Berechnen Sie den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten.
(e) Wie ist das Vorzeichen des Pearsonschen Korrelationskoeffizienten zu interpretieren?
17

17. Im Rahmen einer Studie wurde bei 10 Personengruppen einerseits der Schulbildungsstatus
und andererseits der Berufsstatus jeweils in Form eines Gruppendurchschnittswertes
erfasst. Die Ergebnisse zeigt die folgende Tabelle:
Gruppe Schulbildungsstatus Berufsstatus
1 13,0 50,4
2 13,8 58,0
3 11,4 46,5
4 13,7 59,2
5 12,2 49,9
6 10,2 36,0
7 9,5 32,0
8 12,0 44,1
9 11,2 43,3
10 12,7 51,1
(a) Zeichnen Sie den zugehörigen Scatterplot:
62 ✻
60
58
56
Scatterplot
B 54
erufsstatus 52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
✲
9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0
Schulbildungsstatus
(b) Berechnen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten zwischen den
Variablen Schulbildungsstatus und Berufsstatus.
(c) Wie ist die statistische Abhängigkeit der erhobenen Merkmale einzuschätzen
(stark, mittel, schwach, nicht vorhanden)?
18. Man lässt 5 Personen, die sich für eine ausgeschriebene Stelle beworben haben, jeweils
die beiden Intelligenztests I und II durchlaufen und erhält folgende Punktzahlen:
Person Nr. i Punktzahl der Person i Punktzahl der Person i
bei Test I
bei Test II
1 95 109
2 110 126
3 121 117
4 87 89
5 105 81
18

(a) Zeichnen Sie den zugehörigen Scatterplot:
Y
Scatterplot
✻
135
125
115
105
95
85
75
✲
80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 X
(b) Berechnen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten.
19. Bei einem Gebrauchtwagenhändler wurde für 7 Wagen desselben Typs der Preis und
das Alter festgestellt:
Alter in Jahren 1.5 4 7 1.3 2 1 6
Preis in 1000 EURO 6 3 2 7.5 4 9.5 1.5
Berechnen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten und den Korrelationskoeffizienten
nach Pearson. Wie ist das negative Vorzeichen zu erklären?
20. (a) Ein Landwirt möchte feststellen, ob ein Zusammenhang zwischen Blütebeginn
und Erntebeginn bei Süßkirschen besteht. In einem Jahr machte er an 5 Bäumen
folgende Beobachtungen:
Baum: 1 2 3 4 5
Blütebeginn: 28.04.2001 29.04.2001 01.05.2001 02.05.2001 03.05.2001
Erntebeginn: 02.07.2001 25.06.2001 27.06.2001 03.07.2001 26.06.2001
Berechnen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten für die beiden
Datenreihen.
(b) Die Leistungen von 6 Studenten der Soziologie wurden von Prüfer M. wie folgt
geordnet:
Student: A B C D E F
Rang Prüfer M.: 4 2 1 3 5 6
Rang Prüfer H.:
Prüfer H. hatte die Leistungen ebenfalls geordnet und es ergab sich ein Rangkorrelationskoeffizient
(nach Spearman) von r s = −1 zwischen den Rangreihen von
M. und H. Wie lautet die Rangfolge der Leistungsbewertung von H.?
19

21. Ein Consultingunternehmen testet die analytischen Fähigkeiten von Bewerbern. Von
2000 Bewerbern erzielten 600 ein gutes, 900 ein mittelmäßiges und 500 ein schlechtes
Testergebnis. Routinemäßig wurde auch die Haarfarbe der Bewerber erfasst: 1000 hatten
braune Haare, 400 waren blond und 600 waren schwarz. Man darf erwarten, dass das
Testergebnis weitgehend unabhängig von der Haarfarbe ist. Bei den 2000 Bewerbern
lag sogar exakte empirische Unabhängigkeit vor.
(a) Stellen Sie die zugehörige Kontingenztafel auf.
(b) Geben Sie χ 2 und den Kontingenzkoeffizienten an.
22. Zwei Hochschullehrer A. und B. beurteilen die Leistungen ihrer Studenten durch Punkte.
Die folgende Tabelle enthält die Bewertungen einer Teilgruppe von 8 Studenten.
Berechnen Sie den Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten für diese Daten.
Student: 1 2 3 4 5 6 7 8
Punkte A.: 25 33 46 17 11 50 28 44
Punkte B.: 40 33 22 17 45 16 35 25
Das studentische Evaluationsbüro errechnet aus den dort vorliegenden Daten für alle
Studenten einen Spearmanschen Rangkorrelationskoeffizienten von −0.9. Welche der
folgenden Aussagen sind richtig?
(a) Einer der Hochschullehrer beurteilt die Studenten um 90% schlechter als der andere.
(b) Die meisten Studenten, die bei dem einen Hochschullehrer eine hohe Punktzahl
haben, haben bei dem anderen Hochschullehrer eine niedrige Punktbewertung.
(c) Die beiden Hochschullehrer haben hinsichtlich der Leistungsreihenfolge in der
Studentengruppe weitgehend entgegengesetzte Vorstellungen.
(d) Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient kann keine negativen Werte annehmen.
20